最新高考理数考点一遍过讲义 考点39 双曲线

这是一份最新高考理数考点一遍过讲义 考点39 双曲线，共37页。学案主要包含了双曲线的定义和标准方程，双曲线的几何性质等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题39 双曲线
（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
（3）了解双曲线的简单应用.
（4）理解数形结合的思想.
一、双曲线的定义和标准方程
1．双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）符号语言：.
（3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；
当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；
当时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；
当时，动点轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程有两种形式：
（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且，如图1所示；
（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距为2c，且，如图2所示．
图1 图2
注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．
3．必记结论
（1）焦点到渐近线的距离为b.
（2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为．
（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或．
（4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为
．
（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．
（6）与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为．
二、双曲线的几何性质
1．双曲线的几何性质
2．等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率．
考向一 双曲线的定义和标准方程
1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.
典例1 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，其中在左支上，在右支上.若，则
A．B．8
C．D．4
【答案】A
【解析】由可知，.由双曲线定义可知，，，两式相加得，.
故选A.
【名师点睛】本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.由得，再由定义即可求解.
典例2 已知F为双曲线C:x29−y216=1的左焦点，P,Q为双曲线C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则ΔPQF的周长为__________．
【答案】44
【解析】易知双曲线C:x29−y216=1的左焦点为F−5,0，
∴点A5,0是双曲线的右焦点，虚轴长为8，
双曲线的图象如图：
∴PF−AP=2a=6，①
QF−QA=2a=6，②
而PQ=16，
则①+②得PF+QF−PQ=12，
∴ΔPQF的周长为PF+QF+PQ=12+2PQ=44，
故答案为44.
1．已知双曲线上一点到的距离为，为坐标原点，且，则
A．B．
C．或D．或
考向二 求双曲线的方程
求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.
在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.
典例3 已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为x23−y2=1，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为__________________.
【答案】
【解析】由题意得C1的焦点为(±2,0),所以双曲线C2的焦点为(±2,0),即c=2.
而C1的一条渐近线为,其斜率,
即C1的一条渐近线的倾斜角α=π6.
而C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍,所以C1的一条渐近线的倾斜角为,其斜率k=3,即C2的一条渐近线为,即ba=3.
而a2+b2=c2,解得a=1,b=3,
所以C2的方程为.
典例4 如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【解析】依题意,知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为3.
设动圆的半径为R,则|MC1|=R+1,|MC2|=R+3,
所以|MC2|-|MC1|=2,
因此,圆心M的轨迹是以C1,C2为左、右焦点的双曲线的左支,
且a=1,c=3,
所以b2=c2-a2=8.
于是所求动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
2．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为
A．B．
C．D．
考向三 双曲线的渐近线
对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：
（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.
典例5 已知分别是双曲线的左、右焦点，的坐标为，若双曲线的右支上有一点，且满足，则该双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵的坐标为（−7，0），∴c=7，
∵双曲线的右支上有一点P，满足，
∴2a=4，即a=2，
则b2=c2﹣a2=7﹣4=3，即b=3，
则双曲线的渐近线方程为，故选A.
典例6 如图,已知F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足|F2P|=a,(F1P+F1F2)·F2P=0,线段F2P与双曲线C交于点Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线C的渐近线方程为
A．y=±x B．y=±x
C．y=±x D．y=±x
【答案】B
【解析】取线段F2P的中点E,连接F1E,
因为(F1P+F1F2)·F2P=0,所以F1E⊥F2P,
故三角形PF1F2为等腰三角形,且|F1P|=|F1F2|=2c.
在中，,
连接F1Q,
又|F2Q|=,点Q在双曲线C上,
所以由双曲线的定义可得,|QF1|-|QF2|=2a,
故|QF1|=2a+=.
在中,由余弦定理得,,整理可得4c2=5a2,
所以b2a2=c2−a2a2=54-1=14,
故双曲线C的渐近线方程为y=±x.
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为
A．B．
C．D．
考向四 双曲线的离心率
1.求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.
（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.
2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
典例7 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由⇒|AF1|=3a|AF2|=a,
由∠F1AF2=90°,得,
即(3a)2+a2=(2c)2,
得e=,选B.
典例8 已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P，使得=8a,则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】(1,3]
【解析】∵P为双曲线左支上一点,∴|PF1|﹣|PF2|=﹣2a,∴|PF2|=|PF1|+2a ①,
又=8a ②,
∴由①②可得,|PF1|=2a,|PF2|=4a.
∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即2a+4a≥2c,∴≤3 ③,
又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|,∴2a+2c＞4a,∴＞1 ④.
由③④可得1＜≤3.
4．如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为
A．B．2
C．D．
1．双曲线的焦点坐标是
A．B．
C．D．
2．双曲线的焦点到渐近线的距离为
A．1B．2
C．D．
3．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是
A．B．
C．D．
4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则a等于
A．1B．2
C．3D．
5．若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为
A． B．
C． D．
6．已知点，动圆与直线相切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．D．
7．已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的面积是
A．B．
C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，成等差数列，则该双曲线的方程为
A．B．
C．D．
9．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则双曲线的渐近线方程为
A．B．
C．D．
10．已知是双曲线的右焦点，点在的右支上，坐标原点为，若，且，则的离心率为
A．B．
C．2D．
11．设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于两点，若四边形的面积为，则
A．B．
C．D．
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若|PF1|,|PF2|分别是RtΔF1PF2的“勾”“股”，且|PF1|⋅|PF2|=4ab，则双曲线的离心率为
A．2 B．3
C．2 D．5
13．过双曲线的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为
A．B．
C．D．
14．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数__________．
15．过点M−6,3且和双曲线x2−2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为__________．
16．设F1 、F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1 (a>0 ，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，点P为双曲线C右支上一点，|F1F2|=10，PF2⊥F1F2，|PF2|=163，O为坐标原点，则OA⋅OP=__________．
17．已知双曲线上的一点到两渐近线的距离之积为，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为__________．
18．已知F是双曲线的右焦点,C的右支上一点P到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点Q满足FP=λPQ,则λ=___________.
19．若双曲线的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e1+e2的最小值为___________.
20．已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点使得点到直线的距离为，则离心率的取值范围是___________.
21．已知双曲线（）.
（1）若的一条渐近线方程为，求的方程；
（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的值.
22．已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）若点M在双曲线上, 是双曲线的左、右焦点，且，试判断的形状.
1．（2019年高考浙江卷）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A．B．1
C．D．2
2．（2018浙江）双曲线的焦点坐标是
A．(−，0)，(，0)B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，−)，(0，)D．(0，−2)，(0，2)
3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2D．
4．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A．B．
C．D．
5．（2019年高考天津卷理数）已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A．B．
C．D．
6．（2017天津理科）已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A．B．
C．D．
7．（2018新课标全国Ⅱ理科）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A．B．
C．D．
8．（2017新课标全国II理科）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为
A．2B．
C．D．
9．（2017新课标全国III理科）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A．B．
C．D．
10．（2018新课标全国Ⅲ理科）设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A．B．
C．D．
11．（2017北京理科）若双曲线的离心率为，则实数m=_______________．
12．（2018江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________________．
13．（2018北京理科）已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为________________；双曲线的离心率为________________．
14．（2017山东理科）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________．
15．（2017江苏）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是_______________．
16．（2017新课标全国I理科）已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为_______________．
17．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
18．（2019年高考江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .
变式拓展
1．【答案】D
【解析】设双曲线另一个焦点为，因为 所以是的中点，
由中位线定理知.
当在右支时，由双曲线定义可知：
当在右支时，由双曲线定义可知：
故本题选D.
【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、向量的加法几何意义.要注意到点在不同位置时，等式的不同.
2．【答案】D
【解析】，即的焦点坐标为，即的焦点坐标为，
，①
又的面积为，时，，，
∴，得，②
由①②得，，
∴双曲线的方程为，故选D.
【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型的一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.
3．【答案】D
【解析】由题意知直线的斜率为，，
又，由双曲线定义知，，.
由余弦定理得：，，即，
即，解得.
故双曲线渐近线的方程为.
故选D.
【名师点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.求解时，易知直线的斜率为，计算，，利用余弦定理得到，化简知，得到答案.
4．【答案】D
【解析】连接，依题意知：，，
所以，
所以.故选D.
【名师点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到的关系式是解题的关键.求解时，连接，利用三角形边之间的关系得到，，代入离心率公式得到答案.
专题冲关
1．【答案】B
【解析】由题意得双曲线的焦点在轴上，
又，
所以双曲线的焦点坐标为．
故选B．
【名师点睛】本题考查双曲线的基本性质，属于简单题．判断双曲线的焦点位置要看正负，即双曲线的焦点在正的项对应的变量所在的轴上．同时解题时要准确判断出的值，要注意之间关系的利用.
2．【答案】D
【解析】双曲线的一个焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为即.
所以焦点到渐近线的距离为.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，先求出双曲线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，再求焦点到渐近线的距离.也可熟记双曲线的焦点到渐近线的距离为b直接求出.
3．【答案】B
【解析】方程表示双曲线，
选项是的充分不必要条件，
选项范围是的真子集，
只有选项B符合题意，故选B．
【名师点睛】根据充分条件和必要条件的定义，结合双曲线方程的性质进行判断即可．
4．【答案】B
【解析】抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0），所以双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以a2+5＝32＝9，
结合a＞0，解得a＝2，
故选B．
【名师点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c的值，然后根据a、b、c的关系可求出a的值．
5．【答案】A
【解析】∵双曲线的离心率为，∴，解得，
∴，即焦距为，故选A．
6．【答案】B
【解析】如图所示，设两切线分别与圆相切于点，
则（定值），且2