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最新中考数学重难点与压轴题型训练（讲义） 专题09 圆的综合问题（重点突围）
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这是一份最新中考数学重难点与压轴题型训练（讲义） 专题09 圆的综合问题（重点突围），文件包含专题09圆的综合问题重点突围原卷版docx、专题09圆的综合问题重点突围解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题09 圆的综合问题
【中考考向导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30271" 【直击中考】 PAGEREF _Tc30271 \h 1
\l "_Tc19849" 【考向一 利用圆性质求角的度数】 PAGEREF _Tc19849 \h 1
\l "_Tc19677" 【考向二 利用圆性质求线段的长度】 PAGEREF _Tc19677 \h 3
\l "_Tc3195" 【考向三 利用圆性质求圆的半径】 PAGEREF _Tc3195 \h 11
\l "_Tc27968" 【考向四 利用圆性质求线段的最值】 PAGEREF _Tc27968 \h 12
\l "_Tc8903" 【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】 PAGEREF _Tc8903 \h 15
\l "_Tc5792" 【考向五 切线的证明综合应用】 PAGEREF _Tc5792 \h 16
【直击中考】
【考向一 利用圆性质求角的度数】
例题：（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，A为中点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，、、、四个点均在上，，，则的度数为___________．
3．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图所示，已知四边形是的一个内接四边形，且，则_______．
【考向二 利用圆性质求线段的长度】
例题：（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，点A为的中点，交弦于点E．若，，则的长是（ ）
A．2B．4C．D．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以为直径的与相切于点，点、在上，连接、、，连接并延长交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若点是弧的中点，的半径为，，求的长．
2．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
3．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，为的直径，为弦，过点C的切线与的延长线交于点P，E为上一点，且，连接并延长交于点H．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【考向三 利用圆性质求圆的半径】
例题：（2022·福建福州·校考一模）如图，四边形内接于，，，则的半径为（ ）
A．4B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·校考一模）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于___________．
2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，点A，B，C在上， ，，则的半径为 _____．
3．（2022·云南文山·统考三模）如图，在中，，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作，交延长线于点F，，，．
(1)求证：；
(2)当与相切于点D时，求的半径；
(3)若，求的值．
【考向四 利用圆性质求线段的最值】
例题：（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，是的直径，，点在上，是的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
1．（2022·广东江门·校考一模）矩形中，，，点P为矩形内一个动点且满足，则线段的最小值为________．
2．（2022·广东江门·校考一模）中，，，点为的对称轴上一动点，过点作与相切，与相交于点，那么的最大值为______________．
【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】
例题：（2022·广东江门·校考一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形中，，，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为______．
3．（2022秋·四川泸州·九年级统考期中）如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
4．（2022·江苏扬州·校考三模）如图，Rt△ABC中，，，为上一点，，以为圆心，以为半径作圆与相交于点，点是⊙O与线段BC的公共点，连接，并且．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为 的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【考向五 切线的证明综合应用】
例题：（2022·湖南株洲·校考二模）如图，在菱形中，是对角线上一点，，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若是的中点，，．
①求扇形的面积；
②求的长．
【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
2．（2022·广东云浮·校联考三模）如图1，⊙O是的外接圆，是直径，，交⊙O于点E，且．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若点E为线段的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；
(3)如图2，作于点F，连接交于点G，求的值．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题09 圆的综合问题
【中考考向导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30271" 【直击中考】 PAGEREF _Tc30271 \h 1
\l "_Tc19849" 【考向一 利用圆性质求角的度数】 PAGEREF _Tc19849 \h 1
\l "_Tc19677" 【考向二 利用圆性质求线段的长度】 PAGEREF _Tc19677 \h 3
\l "_Tc3195" 【考向三 利用圆性质求圆的半径】 PAGEREF _Tc3195 \h 11
\l "_Tc27968" 【考向四 利用圆性质求线段的最值】 PAGEREF _Tc27968 \h 12
\l "_Tc8903" 【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】 PAGEREF _Tc8903 \h 15
\l "_Tc5792" 【考向五 切线的证明综合应用】 PAGEREF _Tc5792 \h 16
【直击中考】
【考向一 利用圆性质求角的度数】
例题：（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，，A为中点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，、、、四个点均在上，，，则的度数为___________．
3．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图所示，已知四边形是的一个内接四边形，且，则_______．
【考向二 利用圆性质求线段的长度】
例题：（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，点A为的中点，交弦于点E．若，，则的长是（ ）
A．2B．4C．D．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以为直径的与相切于点，点、在上，连接、、，连接并延长交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若点是弧的中点，的半径为，，求的长．
2．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
3．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，为的直径，为弦，过点C的切线与的延长线交于点P，E为上一点，且，连接并延长交于点H．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【考向三 利用圆性质求圆的半径】
例题：（2022·福建福州·校考一模）如图，四边形内接于，，，则的半径为（ ）
A．4B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·校考一模）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于___________．
2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，点A，B，C在上， ，，则的半径为 _____．
3．（2022·云南文山·统考三模）如图，在中，，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作，交延长线于点F，，，．
(1)求证：；
(2)当与相切于点D时，求的半径；
(3)若，求的值．
【考向四 利用圆性质求线段的最值】
例题：（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，是的直径，，点在上，是的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
1．（2022·广东江门·校考一模）矩形中，，，点P为矩形内一个动点且满足，则线段的最小值为________．
2．（2022·广东江门·校考一模）中，，，点为的对称轴上一动点，过点作与相切，与相交于点，那么的最大值为______________．
【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】
例题：（2022·广东江门·校考一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形中，，，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为______．
3．（2022秋·四川泸州·九年级统考期中）如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
4．（2022·江苏扬州·校考三模）如图，Rt△ABC中，，，为上一点，，以为圆心，以为半径作圆与相交于点，点是⊙O与线段BC的公共点，连接，并且．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为 的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【考向五 切线的证明综合应用】
例题：（2022·湖南株洲·校考二模）如图，在菱形中，是对角线上一点，，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若是的中点，，．
①求扇形的面积；
②求的长．
【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
2．（2022·广东云浮·校联考三模）如图1，⊙O是的外接圆，是直径，，交⊙O于点E，且．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若点E为线段的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；
(3)如图2，作于点F，连接交于点G，求的值．
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