最新中考数学重难点与压轴题型训练（讲义） 专题15 一次函数与几何图形综合问题（重点突围）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题15 一次函数与几何图形综合问题
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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16958" 【直击中考】 PAGEREF _Tc16958 \h 1
\l "_Tc3663" 【考向一 一次函数与三角形的综合问题】 PAGEREF _Tc3663 \h 1
\l "_Tc5954" 【考向二 一次函数与菱形的综合问题】 PAGEREF _Tc5954 \h 11
\l "_Tc5669" 【考向三 一次函数与矩形的综合问题】 PAGEREF _Tc5669 \h 22
\l "_Tc26807" 【考向四 一次函数与正方形的综合问题】 PAGEREF _Tc26807 \h 30
\l "_Tc28159" 【考向五 一次函数与圆的综合问题】 PAGEREF _Tc28159 \h 37
【直击中考】
【考向一 一次函数与三角形的综合问题】
例题：（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作，射线交线段于点D，将射线绕点O顺时针旋转交射线于点E，连接．
(1)证明：；（用图1）
(2)当为直角三角形时，求的长度；（用图2）
(3)点A关于射线的对称点为F，求的最小值．（用图3）
【变式训练】
1．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，以线段为边在第一象限内作等腰直角三角形，．
(1)求的值，以及点的坐标；
(2)求过，两点的直线解析式．
2．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y=kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
(1)求k的值及△AOB的面积；
(2)点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；
(3)点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．
3．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）探究与应用：在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模块”化.例如在相似三角形中，“K”字形是非常重要的基本图形 .
(1)如图①，已知：∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，求证：△ABC∽△DCE；
(2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点A（－2，1），点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，则此时点B的坐标为 ；
②如图③，过点A（－2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C，D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标.
【考向二 一次函数与菱形的综合问题】
例题：（2022春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图①，若点M（x，y）在线段AB上运动（不与端点A、B重合），连接OM，设的面积为S，写出S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图②，点C在直线AB上，若四边形OADC是菱形，求菱形对角线OD的长．
【变式训练】
1．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；
(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为，它与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线y=-x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，运动时间为t秒．
(1)求△AOC的面积；
(2)设△PAO的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线OC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接.
(1)填空：菱形的边长_________；
(2)求直线的解析式；
(3)动点从点出发，沿折线方向以3个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，
①当时，求与之间的函数关系式；
②在点运动过程中，当，请直接写出的值.
【考向三 一次函数与矩形的综合问题】
例题：（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和，点C是线段AO上的动点，点D在C的右侧，以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，其中，，点C从O出发向终点A运动，速度是每秒1个单位，设运动时间为t秒（）．
(1)求直线AB的解析式；
(2)①若点F落在直线AB上，则t的值为 ；
②若直线AB平分矩形CDEF的面积，则t的值为 ；
(3)当线段DE与直线AB有交点时，请直接写出t的取值范围．
【变式训练】
1．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知直线l1：y＝与直线l2：y＝﹣2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
(1)求△ABC的面积；
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；
(3)若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．
①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．
②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点落在线段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．
【考向四 一次函数与正方形的综合问题】
例题：（2022·辽宁大连·统考一模）平面直角坐标系中，直线l与y轴，x轴分别交于点和点，点C在直线l上且不与A，B重合，过点O，B，C的抛物线解析式为．
(1)求直线l的解析式；
(2)当抛物线在△AOB内部的图象从左到右上升时，求a的取值范围；
(3)以OC为边，向射线OC右侧作正方形OCDE，正方形OCDE的面积为，正方形OCDE在第一象限内的面积为，当时，求抛物线的解析式．
【变式训练】
1．（2023秋·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）
(1)【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为，则正方形的周长为______，面积为______（都用含的代数式表示）．
(2)【拓展·综合】如图1，若点、是某个正方形的两个对角顶点，则称、互为“正方形关联点”，这个正方形被称为、的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系中，点是原点的“正方形关联点”．若，则、的“关联正方形”的周长是______；若点在直线上，则、的“关联正方形”面积的最小值是______．
5．②如图2，已知点，点在直线上，正方形是、的“关联正方形”，顶点、到直线的距离分别记为和，求的最小值．
【考向五 一次函数与圆的综合问题】
例题：（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．
【变式训练】
1．（2021·宁夏吴忠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，点与点关于轴对称，点为线段上一动点（不与、重合），的延长线与交于点，过、、三点的圆与轴交于点．
(1)求、、三点的坐标；
(2)求证：；
(3)若，求点的坐标．
2．（2022·浙江温州·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，以为直径的圆交y轴于点C，D为圆上一点，，直线交x轴于点E，交y轴于点F，连结．
(1)求的值和直线的函数表达式．
(2)求点D，E的坐标．
(3)动点P，Q分别在线段，上，连结．若，当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．