最新中考数学重难点与压轴题型训练（讲义） 专题02 整式、乘法公式、因式分解（重点突围）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题02 整式、乘法公式、因式分解
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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2999" 【直击中考】 PAGEREF _Tc2999 \h 1
\l "_Tc16625" 【考向一 整式的有关概念】 PAGEREF _Tc16625 \h 1
\l "_Tc11957" 【考向二 整式的运算】 PAGEREF _Tc11957 \h 4
\l "_Tc11329" 【考向三 与乘法公式有关的运算】 PAGEREF _Tc11329 \h 7
\l "_Tc20865" 【考向四 因式分解】 PAGEREF _Tc20865 \h 11
【直击中考】
【考向一 整式的有关概念】
例题：（2022·青海·统考中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
【答案】
【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．
【详解】解：∵第一个图形有根木料，
第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，
第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3B．aC．D．
【答案】C
【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．(2n-1)B．(2n+1)C．(n-1)D．(n+1)
【答案】A
【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．
【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
3．（2022·江西·统考中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
4．（2022·广东·统考中考真题）单项式的系数为___________．
【答案】3
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．
【详解】的系数是3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．
5．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
【答案】
【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案．
【详解】解：，，，，，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：

指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
6．（2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【答案】
【分析】由题意推导可得an=，即可求解．
【详解】解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=，
∵，
∴2+=7，
∴a4=，
∵，
∴a5=，
同理可求a6=，
∴an=，
∴a2022=，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．
【考向二 整式的运算】
例题1．（2022·湖南永州·统考中考真题）若单项式的与是同类项，则______．
【答案】6
【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同．
例题2．（2022·青海西宁·统考中考真题）=_________
【答案】
【分析】根据积的乘方法则计算即可．
【详解】解：=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
【变式训练】
1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，即可得．
【详解】=
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解题的关键．
2．（2022·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝abB．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2bD．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【答案】A
【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．
3．（2022·青海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．
【详解】A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
C.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意；
D.选项，原式=，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．
4．（2022·甘肃武威·统考中考真题）计算：_____________．
【答案】
【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________．
【答案】
【分析】设这个多项式为A，由题意得：，求解即可．
【详解】设这个多项式为A，由题意得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
6．（2022·山东威海·统考中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．
【答案】1
【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．
【详解】如图，根据题意，可得
第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m
可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4
第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4
第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6
第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：

解得
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．
7．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，y＝－1．
【答案】，
【分析】根据整式的加减运算化简，然后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：原式＝4xy－2xy+3xy
＝
＝5xy；
当x＝2，y＝－1时，
原式＝．
【点睛】本题考查了整式加减的化简求值，正确的计算是解题的关键．
8．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．
【详解】解：原式=
=；
当x=时，
原式=
=3+1-
=-．
【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【考向三 与乘法公式有关的运算】
例题：（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，-9
【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式
．
，
，
原式
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
【变式训练】
1．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式展开即可．
【详解】解：原式=
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2．（2022·上海·统考中考真题）下列运算正确的是……（ ）
A．a²+a³=a6B．（ab）2 =ab2C．（a+b）²=a²+b²D．（a+b）（a-b）=a² -b2
【答案】D
【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．
【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
3．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24B．C．D．
【答案】B
【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．
【详解】解：
；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．
4．（2022·湖南益阳·统考中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
【答案】3
【分析】观察已知和所求可知，，将代数式的值代入即可得出结论．
【详解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
5．（2022·四川广安·统考中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
【答案】10
【分析】根据平方差公式，把原式化为，可得，即可求解．
【详解】解：a2﹣b2 +2b+9


故答案为：10
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．
6．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为____________．
【答案】或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴，
解得或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
7．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
8．（2022·广东广州·统考中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】(1)；
(2)T=
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．
（1）
解：T=
=；
（2）
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
则T=．
【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
【考向四 因式分解】
例题：（2022·贵州黔东南·统考中考真题）分解因式：_______．
【答案】##
【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．
【详解】解：原式=；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济宁·统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．
【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．
2．（2022·广西柳州·统考中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
【答案】A
【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】
故选A
【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．
3．（2022·广西河池·统考中考真题）多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．
4．（2022·江苏扬州·统考中考真题）分解因式：_____．
【答案】##
【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．
【详解】
，
故答案：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．
5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）因式分解：_________．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．
6．（2022·广东广州·统考中考真题）分解因式：________
【答案】
【分析】直接提取公因式3a即可得到结果．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．
7．（2022·山东济南·统考中考真题）因式分解：______．
【答案】
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．（2022·湖北恩施·统考中考真题）因式分解：______．
【答案】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．
9．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知，，则的值为_____．
【答案】6
【分析】将因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【详解】解：

．
故答案为：6
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】(1)
(2)
(3)，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根据题意得，，
∴原式．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．