最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题21 与圆有关的计算（6大考点）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第五部分 圆
专题21 与圆有关的计算（6大考点）
核心考点一 弧长与扇形面积的相关计算
例1 （2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
例2 （2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．
例3 （2022·山东东营·统考中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
知识点一、弧长及扇形的面积
设的半径为，圆心角所对弧长为，
（一）弧长的计算
（1）弧长公式：
（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所
对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为
注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角
所对弧长时，不要错写成
（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。
（二）扇形面积的计算
（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。
（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。
（3）公式推导：
①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是
②即其中为扇形的弧长，为半径。
点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。
（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是
（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。
（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。
【变式1】（2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，⊙O的半径为，为⊙O的内接三角形，，连接并延长，交⊙O于点D，连接，，若，则劣弧的长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·山西吕梁·统考一模）如图所示的网格中小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，点C是以为直径的圆与网格线的交点，O为圆心，点D是的中点，，则图中阴影部分的的面积为（ ）（用含的式子表示）
A．B．C．D．
【变式3】1（2023·安徽合肥·校考一模）如图，四边形内接于，，，，则劣弧的长度为______．
【变式4】（2023·河北邢台·统考一模）如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形．
(1)的度数为______．
(2)若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______．
【变式5】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，点在的直径的延长线上，点在上，平分，于点．
(1)求证：是的切线．
(2)是的切线，为切点，若，，求的长．
核心考点二 与扇形有关的阴影部分面积计算
例1 （2022·宁夏·中考真题）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
例2 （2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）
例3 （2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
【变式1】（2023·山东枣庄·校考一模）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧的点B′处，点C的对应点为点，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C． D．
【变式2】（2023·山西临汾·统考一模）如图，内接于圆，已知，，顶点，，恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，以为直径作半圆，为的中点，连接，以为直径作半圆，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 _____．
【变式4】（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，曲线和是两个半圆，，大半圆半径为4，则阴影部分的面积是______．
【变式5】（2022·广东梅州·统考一模）如图，在中，与分别相切于点E，F，平分，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积．
核心考点三 圆切线与阴影部分求面积结合
例1 （2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
例2 （2022·山东青岛·统考中考真题）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为__________．
例3 （2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【变式1】5．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·吉林长春·模拟预测）如图，与外切于点，它们的半径分别为和，直线与它们都相切，切点分别为，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点．则图中阴影部分的面积是______．
【变式4】（2023·安徽池州·校联考一模）如图，，与的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且，，则扇形的面积为____________
【变式5】（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
(1)求∠EOD的度数；
(2)若r＝2，求阴影部分的面积．
核心考点四 圆锥、圆柱的相关计算
例1 （2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
例2 （2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，从一个边长是的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为_______（用含的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为_______．
例3 （2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Gegebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
知识点、圆锥的侧面积与全面积
（1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。
圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。

（2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。
（3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积，
计算公式为：
圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。
【变式1】（2022·四川遂宁·模拟预测）如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2020·四川绵阳·统考二模）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径，高，则这个零件的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·广东珠海·统考二模）如图，圆雉的高，底面圆半径为3，则圆雉的侧面积为___________．
【变式4】（2022·广东中山·校联考三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
【变式5】（2022·广东深圳·统考二模）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
(1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______；
(2)连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______；
(3)连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．
核心考点五 圆与正多边形的相关计算
例1 （2021·山西·统考中考真题）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
例2 （2021·山东青岛·统考中考真题）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．
例3 （2021·湖北随州·统考中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）
（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．
知识点、正多边形的有关计算
（1）正边形的每个内角都等于
（2）正边形的每个中心角都等于
（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，
设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形
的周长面积

【变式1】（2023·四川成都·模拟预测）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）如图，将边长为 6 的正六边形铁丝框（面积记为）变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．
【变式4】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，内切于正方形中，与边相切的点分别为，对角线交于点，连接，则的值是______．
【变式5】（2022·浙江宁波·统考二模）项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形, 这里面有什么数学原理?
【合作探究】
(1)探究组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心到地面的距离始终为______．
(2)探究组：如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差．
(3)探究组：如图3, 有一个破损的圆形车轮, 半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，其车轮轴心为，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点经过的路程．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．
【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．
(4)探究组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是______．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．
核心考点六 圆的其他计算问题
例1 （2022·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
例2 （2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．
例3 （2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
(2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
【变式1】（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，在中，，，，以B为圆心为半径画弧交平行四边形的对边分别于F、E，再以C为圆心为半径画弧恰好交边于E点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·山东泰安·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为_____．
【变式4】（2023·辽宁大连·统考一模）如图，在中，，以点B为圆心、为半径作弧交射线于点D，若，，则的值为__________．
【变式5】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，星海湾大桥是大连壮观秀丽的景点之一，主桥面是水平且笔直的，此时一个高的人站在C点望该桥的主塔，此时测得点D关于点F的俯角为，关于点E的俯角为，已知主塔，为该桥的主缆，与线段交于的中点G．
(1)请在图中作出关于所对应圆的圆心O并补全所对应的圆（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）；
(2)若关于所对应圆的半径为R，求的长（用含有，R的代数式表示）；
(3)求星海湾大桥两座主塔之间的距离（结果取整数）．
（参考数据：）
【新题速递】
1．（2023·浙江舟山·校考一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
2．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（ ）
A．B．C．3D．
3．（2022·广东东莞·校考一模）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是( )
A．4B．4C．8D．9
5．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．
【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧交矩形的边于点，交对角线于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·福建·福建省福州外国语学校校考模拟预测）如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的半圆O与直角边BC相切于点F，分别交AC、AB于点D、E．已知CD=1，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏徐州·校考一模）已知圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积为______．
10．（2022·河南焦作·统考一模）如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，弧交于点C．若，则阴影部分的面积为_______．
11．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形中，，，扇形的半径为6，圆心角为，则阴影部分的面积是______．
12．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在中，，以为直径作半圆，交边于点D，点O为圆心，连接，则图中阴影部分的面积是_____．
13．（2023·山东泰安·校考模拟预测）如图，在长方形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，两弧均交对角线AC于点O．若，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值）
14．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在和中，，，，将绕点旋转，连接，若点为中点，绕点旋转，则点的运动轨迹的长为______．
15．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.
‘’
16．（2023·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的．
(2)画出绕O点顺时针旋转后得到的．
(3)直接写出点B所经过的路径长 ．
17．（2022·江西新余·新余市第一中学校考模拟预测）如图，为等腰三角形，，O是底边的中点，⊙O与腰相切于点D．
(1)求证：与⊙O相切；
(2)已知半径为，，求阴影部分的面积．
18．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，四边形中，连接，，以为直径的过点，交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．（结果保留）
19．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，已知以为直径的与锐角的边交于点，与边交于点，过点作，垂足为点，连接，．
(1)求证：；
(2)若．
①求证：是的切线；
②若，，求，和弧围成的阴影部分的面积．
20．（2023·河北衡水·校考二模）如图1，，，，点C在上，点D在上，于点E，是半圆O的直径，且，G为上靠近点D的三等分点，F是上的动点．
(1)的最小值为______，的最大值为______；
(2)沿直线向右平移半圆O，若半圆O的右移速度为每秒2个单位长，求点G在的区域内部（包括边界）的时长；
(3)过点B作于点H，且，沿直线向右平移半圆O．
①如图2，当点E与点H重合时，求半圆O在上截得的线段的长；
②将半圆O移动到如图13-2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆O按顺时针方向开始旋转，如图13-3所示，设旋转角为．当半圆O与的边相切时，直接写出点E运动的路径长．（注：结果保留，，）
核心考点
核心考点一 弧长与扇形面积的相关计算
核心考点二 与扇形有关的阴影部分面积计算
核心考点三 圆切线与阴影部分求面积结合
核心考点四 圆锥、圆柱的相关计算
核心考点五 圆与正多边形的相关计算
核心考点六 圆的其他计算问题
新题速递