最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题08 反比例函数（6大考点）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第三部分 函数
专题08 反比例函数（6大考点）
核心考点一 反比例函数的定义
例1 （2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
例2 （2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
【答案】
【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点代入得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．
例3 （2021·浙江金华·统考中考真题）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
【答案】（1）4；（2）①；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6．
【分析】（1）利用待定系数法解题；
（2）①设点A坐标为，继而解得点D的横坐标为，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点的直线与x轴垂直时，或当过点的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可．
【详解】解：（1）由题意得，，
点A的坐标是，所以；
（2）①设点A坐标为，所以点D的横坐标为，
所以这个“Z函数”表达式为；
②画出的图象如图：
性质如下（答案不唯一）；
（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线
（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．
（c）当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大．
③第一种情况，当过点的直线与x轴垂直时，；
第二种情况，当过点的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为，
，即，
，
由题意得，
，
（a）当时，，解得；
（b）当时，，
解得，
当时，．解得；
当时，，解
所以x的值为．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
知识点：反比例函数的概念
定义：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成或的形式．自变量x的取值范围是的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
【变式1】（2022·浙江温州·统考二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图可求出压强与气体的体积的关系式为，为了不让气球爆炸，则需要，结合图象可知：若，则．
【详解】解：由图可知函数为反比例函数，且过，
设气球内气体的压强与气体的体积的关系为，
则，即，
为了不让气球爆炸，则需要，
当时，，如图：
结合图象可知：若，则，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是结合函数图象求出压强与气体的体积的关系，并根据的取值求出的取值．
【变式2】（2021·广东广州·统考三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点（ ）
A．（3，1）B．（0，3）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，1）
【答案】D
【分析】由方程根的情况可求得m的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m＜0，
解得m＜﹣1，
∴m+1＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，
∴反比例函数的图象可能经过点（﹣3，1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m的取值范围是解题的关键．
【变式3】（2021·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．若，则点在第________象限．
【答案】二
【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得ab=-1，由可得到点的坐标，进而得出答案．
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴ab=-1，
∵
∴
∴点A在第二象限．
故答案为：二．
【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出是解答此题的关键．
【变式4】（2022·河北邯郸·校考三模）如图，在x轴上方有①～⑥六个台阶，它们的拐角处均为90°，每个台阶的高、宽分别是1和2个单位长度，若反比例函数y＝﹣的图象经过，则反比例函数y＝的图象经过两个工台阶的横面（与x轴平行的面，包括横面的两端点），这两个台阶是 _____和 _____．
【答案】 ④
⑤
【分析】先根据题意求出的横坐标，进而求出的横坐标，据此求解即可．
【详解】解：由题意得的纵坐标为6，
∵反比例函数经过，
∴当y=6时，对于反比例函数，，
∴点的横坐标为-2，
∴点的横坐标为0，的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为6，的横坐标为8，
当时，对于反比例函数，，
当时，对于反比例函数，
当时，对于反比例函数，
当时，对于反比例函数，
又∵点的纵坐标为5，的纵坐标为4，的纵坐标为3，的纵坐标为2，的纵坐标为1，
∴反比例函数经过的两个台阶为④和⑤，
故答案为：④；⑤．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数函数值，正确求出点的横坐标是解题的关键．
【变式5】（2022·湖北襄阳·统考一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图像
列表：下表是x与y的几组对应值，其中_________．
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图像，请你把图像补充完整；
(2)观察函数图像；下列关于该函数图像的性质表述正确的是：__________；（填写代号）
①函数值y随x的增大而增大；②函数图像关于y轴对称；③函数值y都大于0．
(3)运用函数性质：若点，则、、大小关系是__________．
【答案】(1)，见解析；
(2)②③；
(3)
【分析】（1）把x=3代入函数，即可求得m的值，见解析；
（2）通过观察函数图像即可得到答案；
（3）分别把x=-0.5、x=1.5、x=2.5代入函数，求得、、的值，即可判断.
（1）
解：）把x=3代入函数，
得：；
如图
（2）
解：由函数图像可知，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；函数图像关于y轴对称；函数值y都大于0，
∴下列关于该函数图像的性质表述正确的是②③；
（3）
解：分别把x=-0.5、x=1.5、x=2.5代入函数，
得=4，=，=，
∴.
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是正确识图和应用数形结合思想.
核心考点二 反比例函数的图象与性质
例1 （2021·山东德州·中考真题）已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小．
【详解】解：∵，
∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限，
如图所示：
当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小．
例2 （2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___．
【答案】（﹣3，﹣2）
【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A的坐标为（3，2），
∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
例3 （2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程-|x|＝5的解 ；
②写出不等式-|x|≤1的解集 ．
【答案】(1)①1；②见解析，③见解析
(2)的图象关于轴对称轴（答案不唯一）
(3)①或；②或
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【详解】（1）①列表：当x=2时，，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：的图象关于y轴对称，
故答案为：的图象关于y轴对称；
（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
知识点：反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：
当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当kc>a
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过二、四象限可知k＜0，再根据反比例函数的性质进行判断即可；
（2）根据反比例函数的图象在二四象限可得点A、B在第二象限，再根据反比例函数的性质可得a-b与a-c的大小，即可求解．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
∴-k＞0，
∴点P（-k，k）在第四象限，
故答案为：四；
（2）∵k＜0，点A（a-b，3），B（a-c，5），
∴反比例函数，y随x的增大而增大，点A、B在第二象限，
∴a-b＜0，a-c＜0，a-b＜a-c，
∴a＜b，a＜c，b＞c，
∴b＞c＞a，
故答案为：b＞c＞a．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的图象判断出k的取值范围是解答此题的关键．
【变式5】（2022·河南濮阳·统考二模）研究函数图象性质，需要“列表、描点、用平滑的线依次连接各点“画出函数图象，这个方法叫作描点法．为研究函数图象性质我们也可以利用它们的数学关系去理性分析，对函数的图象作合情推理，然后利用描点法画出图象进行验证．
(1)在研究函数的图象前，老师预先给出了下面四个图象．请你利用函数关系，分析下列图象中可能是函数图象的是（ ）
(2)结合分析的函数图象，写出函数图象的二条性质；
①性质一： ；
②性质二： ．
(3)若与函数图象的两个分支都有交点，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)C
(2)①关于轴对称，与坐标轴无交点；②在时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；
(3)
【分析】（1）根据绝对值的性质，可知函数值都大于0，据此即可求解；
（2）根据函数图象与坐标轴的无交点，对称性，增减性分析即可求解．；
（3）根据题意分情况讨论，当时，，当时，，联立直线，根据一元二次方程根的判别式的意义即可求解．
（1）
解：∵，
∴函数图象在轴上方，
故选C；
（2）
①关于轴对称，与坐标轴无交点；②在时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；
故答案为：①关于轴对称，与坐标轴无交点；②在时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；
（3）
①当时，，根据题意可得：，
即，
即，
，
则为全体实数，
②当时，，
即，
即，
，
，
当时，，
当时，，
结合函数图象可知，当时，与无交点，不符合题意，
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，数形结合是解题的关键．
核心考点三 反比例函数的解析式
例1 （2021·浙江温州·统考中考真题）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．
【详解】解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵轴于点，轴于点，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵轴
∴A（，n）
∴，解得，n=，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中，，
由勾股定理得，
解得，（负值舍去）
∴
故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
例2 （2022·广东深圳·统考中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为________________．
【答案】
【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．
【详解】解：连接，作轴于点，
由题意知，是中点，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
例3 （2022·山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
【答案】(1)y=x+，y=；
(2)△AOB的面积为；
(3)10）的图象于点，，，．．．．，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为， 的面积为…，的面积为，则线段的长等于_______， 等于____．
【答案】
【分析】由可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为…，点的坐标为，把，，，…代入反比例函数的解析式即可求出、、的值，再由三角形的面积公式可得出、、…的值，故可得出结论．
【详解】解：∵，
∴设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……，点的坐标为，
∵点，，，．．．．，在反比例函数（）的图象上，
∴，，，……，，
∴，
∴；
；
；
…
，
∴
故答案为，．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（2022秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将绕着顶点B旋转后，点C的对应点落在y轴上，点A的对应点落在反比例函数在第一象限的图像上，如果点B、C的坐标分别是、，且那么k的值是______.
【答案】
【分析】根据旋转的性质可知，然后利用解直角三角形可求得点的坐标，将点的坐标代入反比例函数即可求得k的值
【详解】∵，且，
∴，
∵点B、C的坐标分别是、，
∴，，，，
∴在中，，，
∵，将绕着顶点B旋转后，点C的对应点落在y轴上，
∴，，
设（，），
∴，
∴，，
将点代入反比例函数得：
，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数和三角形综合、解直角三角形及旋转的性质，掌握解直角三角形是解决问题的关键
13．（2022春·广东广州·九年级广州市天河中学校考期末）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题：
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？
(2)若点均在反比例函数的图象上，若，比较的大小关系．
【答案】(1)图象的另一支位于第四象限，
(2)
【分析】（1）根据反比例函数图象的对称性可得图象的另一支位于第四象限，根据反比例函数图象所在的象限可得，即可求解；
（2）根据反比例函数图象可知在第四象限内，随的增大而增大，即可得出的大小关系．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象一支在第二象限，
∴图象的另一支位于第四象限，
∴，
解得：；
（2）解：∵
∴时，随的增大而增大，
∵点均在反比例函数的图象上，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．
14．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是轴上一点，连接，，且的面积为，求点的坐标.
【答案】(1)；，图见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）将点，分别代入，求得以及的值，进而待定系数法求一次函数解析式，根据两点画出一次函数图象即可；
（2）根据函数图象，结合两点的横坐标，根据直线在双曲线的上方时的自变量的取值范围，即可求解；
（3）设一次函数与轴的交点为，求得，设，则，根据的面积为，可得列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：点，分别代入，
即，
解得：，
∴
∴,
将代入，
即
解得：
∴,
如图所示，
（2）解：根据函数图象可知，不等式的解集为或，
（3）解：设一次函数与轴的交点为，
由一次函数，令，解得，则，
设，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得：或，
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，求直线围成的三角形面积，数形结合是解题的关键．
15．（2022春·河北·九年级校联考期末）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；
信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；
(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数)
【答案】(1)
(2)
(3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场
(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元
【分析】（1）根据第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台求出y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（3）已知函数值求自变量时可将问题转化为解方程进行求解即可；
（4）设每场获得的利润为w万元，分两种情况求出w与x的函数解析式，并求出最大值，进行比较即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
；
（2）解：设基本价为b，
①∵第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，
∴设p与x的函数关系式为，
依题意得，
解得，
∴；
②∵第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，由①知，
∴设p与x的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴；
综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为：
；
（3）解：当时，或，
解得：或．
∴当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场；
（4）解：设每场获得的利润为w万元，
①当时，，
∵，
∴当时，w最大，最大利润为50万元；
②当时，，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，最大利润 (万元)，
∵，
∴在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元 ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数不等式，反比例函数不等式和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
16．（2022春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点．
(1)求直线的解析式
(2)如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标；
(3)如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质，先求出点A、点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）由菱形的性质，得到，即当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，然后求出点C的坐标，再求出点P的坐标即可；
（3）先求出和的长度，然后分两种情况进行分析：当点N在线段上运动时，即时；当点N在线段上运动时，即时；分别求出解析式即可．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，即，
∴点A为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点B的坐标为：；
设直线为，
∴，
解得，
∴直线的解析式；
（2）连接、，与相交于点P，则，即当有最小值时，有最小值，如图
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴点C是点O关于的对称点，
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，
即当时，有最小值，
∵点C是点A向右平移5个单位得到，
∴点C的坐标为：，
把代入，则，
∴点P的坐标为：；
（3）如图，
在函数中，令，，
∴点D为，
∵，，，
∴，
∴，，
∴；
当点N在线段AC上运动时，即时，
；
当点N在线段CB上运动时，即时，
；
∴S与t的函数关系式为：
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题．
核心考点
核心考点一 反比例函数的定义
核心考点二 反比例函数的图象与性质
核心考点三 反比例函数的解析式
核心考点四 反比例函数的实际应用
核心考点五 反比例函数与几何图形综合
核心考点六 反比例函数与一次函数综合
新题速递
…
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
1
m
…
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k