专题29圆的有关计算：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编

这是一份专题29圆的有关计算：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编，共95页。试卷主要包含了圆心角为，半径为3的扇形弧长为等内容，欢迎下载使用。
专题29圆的有关计算三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
专题29圆的有关计算
一．选择题（共20小题）
（2023•大连）
1．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（    ）
A． B． C． D．
（2023•湘潭）
2．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•鄂州）
3．如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（　　）
  
A． B． C． D．
（2023•通辽）
4．如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•张家界）
5．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•滨州）
6．如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）
  
A． B． C． D．
（2023•广元）
7．如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为(　　)
  
A． B． C． D．
（2023•宜宾）
8．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）
  
A． B． C． D．
（2023•连云港）
9．如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（    ）
  
A． B． C． D．20
（2023•山西）
10．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）
    
A． B． C． D．
（2023•河北）
11．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )
  
A． B． C． D．a，b大小无法比较
（2023•内江）
12．如图，正六边形内接于，点P在上，点Q是的中点，则的度数为（　　）
  
A． B． C． D．
（2022•绵阳）
13．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（    ）

A． B． C． D．
（2022•泰安）
14．如图，四边形中．，，交于点E，以点E为圆心，为半径，且的圆交于点F，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
（2022•山西）
15．如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
（2022•广西）
16．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（    ）

A． B． C． D．
（2022•绵阳）
17．如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（    ）

A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
18．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
（2022•连云港）
19．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
（2021•包头）
20．如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（   ）

A． B．
C． D．
二．填空题（共20小题）
（2023•吉林）
21．如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）
  
（2023•徐州）
22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ．

（2023•内蒙古）
23．如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
  
（2023•齐齐哈尔）
24．若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 （结果保留）．
（2023•邵阳）
25．如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）
  
（2023•扬州）
26．用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
（2023•金华）
27．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．
  
（2023•苏州）
28．如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）
  
（2023•云南）
29．数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 分米．
（2023•浙江）
30．一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．
  
（2023•重庆）
31．如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点M，N，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
  
（2023•重庆）
32．如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
  
（2022•重庆）
33．如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）

（2022•广州）
34．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 （结果保留）

（2022•重庆）
35．如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）

（2023•陕西）
36．如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．
  
（2023•河北）
37．将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
  
（2023•衡阳）
38．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．
  
（2023•杭州）
39．如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
  
（2023•连云港）
40．以正六边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转 °．

三．解答题（共20小题）
（2022•福建）
41．如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
（2022•泰州）
42．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
  
(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
（2022•潍坊）
43．在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图

小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
（2022•益阳）
44．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
    
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
（2022•衢州）
45．如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．

(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
（2022•湘潭）
46．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．

(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________
(2)求点旋转到点的弧长．
（2022•荆门）
47．如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．

(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
(2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
（2021•扬州）
48．如图，四边形中，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
  
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
（2021•贵阳）
49．如图，在中，为的直径，为的弦，点E是的中点，过点E作的垂线，交于点M，交于点N，分别连接，．
  
(1)与的数量关系是　　；
(2)求证：；
(3)若，，求阴影部分图形的面积．
（2021•邵阳）
50．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角的大小
（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）

（2023•齐齐哈尔）
51．如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

（2023•郴州）
52．如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．
  
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
（2023•十堰）
53．如图，在中，，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，，于点，，，且点是弧的中点．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若CE，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
（2023•巴中）
54．如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．
  
(1)求证：是的切线．
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果用表示）
（2022•日照）
55．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
（2022•东营）
56．如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
（2022•阜新）
57．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．
    
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
（2022•齐齐哈尔）
58．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．

(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．
（2021•孝感）
59．如图，在中，，⊙O与，分别相切于点E，F，平分，连接．
  
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
（2021•襄阳）
60．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．

(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若，CD＝6，求图中阴影部分的面积．



参考答案：
1．C
【分析】根据弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此计算即可．
【详解】解：该扇形的弧长，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），正确记忆弧长公式是解答此题的关键．
2．C
【分析】根据底面周长等于的长，即可求解．
【详解】解：依题意，的长，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键．
3．C
【分析】连接，，作交于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出、的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，，作交于点
  
∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，
∴是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
4．A
【分析】由于是定值，只需求解的最小值即可，作点D关于对称点，连接、、，则最小值为的长度，即阴影部分周长的最小最小值为．利用角平分线的定义可求得，进而利用勾股定理和弧长公式求得和即可．
【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，
  
则，，，
∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为．
∵平分，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．
5．B
【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．
6．C
【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答.
【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；
如图，连接，则，是等边三角形，
∴，弓形的面积相等，
∴阴影的面积＝扇形的面积，
∴图中三个阴影部分的面积之和；
故选：C.
  
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.
7．B
【分析】连接，证明四边形是正方形，进而得出，，然后根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
  
∵，，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴图中阴影部分面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形是正方形是解题的关键．
8．B
【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．
【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，
  
得，
∴点M，N，O三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．D
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
       
∵矩形内接于，
∴
∴阴影部分的面积是


，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．A
【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，
∴，
即；
∴，，
∴点M的坐标为．
故选：A．
  
【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
11．A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，
  
∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴

在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
12．B
【分析】连接，根据圆内接正六边形的性质和点Q是的中点，得到，，得到，根据圆周角定理即可得到的度数．
【详解】解：如图，连接，
  
∵正六边形内接于，Q是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆的知识是解题的关键．
13．A
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P，

根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，
∴，BP=1，
∴点C的纵坐标为1+2=3，
∴点C的坐标为．
故选：A
【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
14．B
【分析】过点E作EG⊥CD于点G，根据平行线的性质和已知条件，求出，根据ED=EF，得出，即可得出，解直角三角形，得出GE、DG，最后用扇形的面积减三角形的面积得出阴影部分的面积即可．
【详解】解：过点E作EG⊥CD于点G，如图所示：

∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=90°-∠A=30°，
∵，
∴，
∵ED=EF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DE=6，，  
∴，
，
∴，
∴

，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，解直角三角形，作出辅助线，求出∠DEF=120°，DF的长，是解题的关键．
15．B
【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可
【详解】依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC

∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：






故选：B
【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形
16．B
【分析】先证，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得．
【详解】解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的长=，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．
17．A
【分析】求出圆锥的表面积，圆柱的表面积，进一步求出组合体的表面积为：，即可求出答案．
【详解】解：如图：

由勾股定理可知：圆锥的母线长，
设底圆半径为r，则由图可知，
圆锥的表面积：，
圆柱的表面积：，
∴组合体的表面积为：，
∵每平方米用锌0.1千克，
∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌．
故选：A
【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表面积公式．
18．B
【分析】图中，据此求解即可．
【详解】解：以为半径作弧，

∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出．
19．B
【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，

∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
20．D
【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠B=90°，根据S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD即可得答案．
【详解】∵，
∴∠A+∠B=90°，
∵，，
∴=1，
∴S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD
=BC·AC-
=×1×2-
=1-，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理及扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
21．
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
【详解】∵半径，圆心角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键．
22．2
【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的半径长．
【详解】∵母线l长为6，扇形的圆心角，
∴圆锥的底面圆周长，
∴圆锥的底面圆半径．
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长是求解本题的关键．
23．
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：正方形，
∴，，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴
∴阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．
24．
【分析】根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式．
25．
【分析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积．
【详解】解：帽子底面圆周长为：，
则扇形弧长为， 扇形面积
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握圆锥的性质和扇形的面积公式是求解的关键．
26．
【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，，
由扇形的面积：，
得：
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．
27．##
【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，，
    
∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴弧的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
28．##
【分析】由，，，，，，，，求解，，证明，可得，再分别计算圆锥的底面半径即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．
29．
【分析】根据勾股定理得，圆锥的高=母线长底面圆的半径得到结果．
【详解】解：由圆锥的轴截面可知：
圆锥的高=母线长底面圆的半径
圆锥的高，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥，勾股定理，其中对圆锥的高，母线长，底面圆的半径之间的关系的理解是解决本题的关键．
30．
【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可．
【详解】解：如图1，过点G作于H，
  
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，
由旋转的性质得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即垂直平分，
∵是等腰直角三角形，
∴点在直线上，
连接，是旋转到的过程中任意位置，
则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，
∵，
∴，
∴，
作于N，则，
∴，
过点B作交的延长线于M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴线段扫过的面积，
，
，
，
故答案为：，．
  
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键．
31．
【分析】利用矩形的性质求得，进而可得，然后根据解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，E为的中点，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为的扇形面积是解题关键．
32．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴的半径为，
∴的面积为，矩形的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为；
    
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
33．
【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．
【详解】解：连接BD交AC于点G，
∵四边形是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
∴BG＝，
∴，
∴AC＝，
∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，
故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
34．
【分析】如图，连接OD，OE，证明 可得 再证明 可得 再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴






∵与边AB相切于点D，
∴
∴


的长
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长的计算，求解是解本题的关键．
35．
【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出，进而求出，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形，
，
以B为圆心，的长为半轻画弧，交于点E， ，
，
在中，，
，
，
，
S阴影 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．
36．
【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可．
【详解】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，
  
在中，，，
，
同理，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
37．
【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；
（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出即可求解．
【详解】解：（1）作图如下：
  
根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得，
，
故答案为：；
（2）取中间正六边形的中心为，作如下图形，
  
由题意得：，,，
四边形为矩形，
，
，
，
，
在中，，
由图1知，
由正六边形的结构特征知：，
，
，
，
又，
，

故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征．
38．10
【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
故答案为：10．
  
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
39．2
【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接，
  
∵六边形是的内接正六边形，
∴，
∴是的内接正三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
又∵，
∴，
∴，
由圆和正六边形的性质可得，，
由圆和正三角形的性质可得，，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
40．60
【分析】以正六边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即是旋转角，，要使新正六边形的顶点落在直线上，则为．
【详解】解：∵多边形是正六边形，
∴它的一个外角，
∴，
要使新正六边形的顶点落在直线上，
则至少为，
即正六边形至少旋转．
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉旋转的性质：对应边的夹角等于旋转角，是解题关键．
41．(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；
（2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图，

由（1）得，
∵，
∴，
∴的长．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
42．(1)
(2)8或9秒

【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解；
(2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
    
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴．
（2）解：连接GO和HO，如下图所示：
    
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键．
43．不认同，理由见详解
【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案．
【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，
乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，，
∵，
∴，
故不认同小亮的说法．
【点睛】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式．
44．(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2

【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．
【详解】（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
45．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
【详解】（1）证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，     
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，  
∴；
（2）解：如图，连结OC，OD．

∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，                             
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．                      
∴S阴影=．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
46．(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）
(2)2π

【分析】（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．
（2）由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90º，OB=4，根据弧长公式即可计算求出．
【详解】（1）解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，
所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）
（2）解：由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，
∴点旋转到点的弧长==2π
【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．
47．(1)扇形面积S＝，阴影部分面积S＝﹣
(2)π

【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算．
【详解】（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝＝，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB＝，
∴阴影部分的面积S阴＝﹣．
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，

∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∵OC=OO1+O1C，O1E=O1C，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
【点睛】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．
48．(1)相切；理由见解析
(2)

【分析】（1）如图：过点B作，证明得到，即可证明与相切即可；
（2）先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用求出阴影部分面积即可．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
过点B作，垂足为F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，则点F在圆B上，
∴与相切．
  
（2）解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积，

．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、扇形面积、三角函数的定义等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
49．(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）证得是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据点E是的中点，得出，由，证得，得到，根据题意得到，进一步得到；
（3）先解直角三角形得到，从而得到，证得是等边三角形，则，然后证得，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：∵为的直径，点E是的中点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为： ；
（2）解：连接，
∵是的直径，E是的中点，
∴，
∴，
∵，垂足为点M，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，，，过点O作于点F，
∵，垂足为点M，
∴，
∵，由（2）得，
∴，
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴．
  
【点睛】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
50．（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2．
【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可；
（2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可．
【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，
∴弧长，
∴，
∴=90°；
（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵，=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC=cm2，
∴，
∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2．
【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．
51．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，，由角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定可得 ，从而可得，再根据切线的判定即可得出结论；
（2）连接，，由，，可得，，再由直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，根据角平分线的定义可得，利用锐角三角函数求得，再由直角三角形的性质可得 ，证明是等边三角形，可得，从而证明是等边三角形，可得垂直平分，再由，可得，从而可得，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
  
∵，是的半径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴于点D，
又∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∵，，
∴，
∴，
∴．
  
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
52．(1)见解析；
(2)．

【分析】（1）连接，由是直径，得，再证，从而有，于是即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理求得，在中，解直角三角形得，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
  
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键．
53．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接、，证出，即可得出结论，
（2）根据，分别求出和扇形的面积即可．
【详解】（1）证明：连接、，如图：
  
，，
，
，
，
，
点是弧的中点．
，

，
是半径，
是的切线，
（2）解：，，
是等腰三角形，
设，则，
，
，
，
解得，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
54．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OD，证明，推出，即可证明结论成立；
（2）连接，在中，求得利用三角形函数的定义求得，，在中，利用勾股定理列式计算求得圆的半径，利用即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，
  
∵，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，设半径为r
在中，
，
，
又，
，
，
，
是的直径．
，
，
∵，
∴，
又，
，
(负值已舍)，
，


．
【点睛】本题主要考查切线的性质和判定及扇形面积的计算，掌握切线问题中的辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键．
55．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
【详解】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD=AB，
∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，
∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，
又∵AC=，
∴BD=AC=，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，
∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，
即（2OD）2=OD2+（）2，
解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
56．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论；
（2）过点O作于F，利用即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）过点O作于F，如图，

∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．
57．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及圆的性质可得，．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得，最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【详解】（1）证明：连接．
  
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
在中，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
58．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接BD，得；利用AB=AC得到，由得到，故；利用SAS证明，得到，最后同旁内角互补，即可得
（2）连接OE，与BD相交于M点，根据∠BAC=45°，得是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，OB，OE长度；和是共一底角的等腰三角形，故，，，是等腰直角三角形，即可算出阴影部分面积
【详解】（1）连接BD

∵AB是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴BF是的切线
（2）连接OE，与BD相交于M点

∵，，
∴为等腰直角三角形
∴，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
【点睛】本题考查圆，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟练运用各种几何知识是本题关键
59．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，，过点O作于点D,由切线性质得，进而根据角平分线性质得，命题得证；
（2）方法一：由图知，易证四边形是正方形，所以，，进一步证得平分，可求，组合图形思路求面积，；方法二：求证四边形是正方形，进一步可证，，所以．
【详解】（1）证明:
连接，，过点O作于点D,
  
∵与相切于点E,
∴,
∵是的平分线，
∴，
∴是圆的半径，
∴是⊙O的切线.
（2）方法一：由图知，,
∴四边形是正方形,
∴
∴，
∴，
由（1）得，
∴平分
∴
∴=.
答：图中阴影部分的面积.
  
方法二
由法一，四边形是正方形,
∴,
∴
∴，
∵、是⊙O的切线
∴，
又∵
∴，
同理可证
求得
=（）=.
【点睛】本题考查角平分线性质和判定、正方形的判定和性质、切线的判定、扇形面积计算、组合图形面积计算；识别组合图形，明确图形间面积的和差关系是解题的关键．
60．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OC， 由OA＝OB，CA＝CB，可得OC⊥AB，即可证明AB是⊙O的切线
（2）根据条件，求得∠DOE＝60°，解Rt△ODG，根据S阴影＝S扇形ODE－S△DOG即可求解．
【详解】（1）证明：连接OC
∵OA＝OB，CA＝CB
∴OC⊥AB.
∵OC是⊙O的半径
∴AB是⊙O的切线

（2）∵DF是⊙O的直径  
∴∠DCF＝90°
∵FC//OA
∴∠DGO＝∠DCF＝90°
∴OG⊥CD
∴DG＝CD＝×6＝3.
∵OD＝OC
∴∠DOG＝∠COG.
∵OA＝OB  AC＝CB  
∴∠AOC＝∠BOC.
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°
在Rt△ODG中：sin∠DOG＝  cos∠DOG＝
∴OD＝，OG＝OD·cos∠DOG＝2×＝；
S阴影＝S扇形ODE－S△DOG＝
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，求扇形面积，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．