最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题04 方程（组）及其应用（8大考点）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
第二部分 方程（组）与不等式（组）
专题04 方程（组）及其应用 （8大考点）
核心考点一 等式的基本性质
例1 （2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B、若，则，故此选项错误；
C、若，则，故此选项正确；
D、若，则，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
例2 （2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】解：A．当，，时，，故A错误；
B．当，，时，，故B错误；
C．整理可得，故C错误；
D．整理可得，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
例3 （2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
【答案】④
【分析】根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；
故答案为：④．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
知识点、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）
基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.
基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.
性质3：如果，那么（对称性）
性质4：如果，，那么（传递性）
【变式1】（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．a，b，c不可能同时相等D．若，则
【答案】B
【分析】A.根据，则，根据，得出；
B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；
C.当时，可以使，，即可判断出答案；
D.根据解析B可知，，即可判断．
【详解】A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A错误；
B.∵，即，
∴，
把代入得：，
，
解得：，故B正确；
C.当时，可以使，，
∴a，b，c可能同时相等，故C错误；
D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．
【变式2】（2022·安徽芜湖·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将等式整理得，，①+②可求值，进而可判断B的正误，将代入①式得，可判断C的正误，由，，，计算求解可判断A，D的正误．
【详解】解：∵，
∴，
①+②得，即
解得
∴B正确，故不符合题意；
将代入①式得
∴C正确，故不符合题意；
∵
∴
∴，
∴
∴D正确，故不符合题意；A错误，故符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对等式性质的熟练掌握与灵活运用．
【变式3】（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.
【答案】
【分析】根据可得到，将代入求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
将代入得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，根据条件用一个未知数表示另一个未知数代入求值是解决问题的关键．
【变式4】（2021·江苏·正衡中学一模）设实数a、b、c满足，，则=_______．
【答案】3
【分析】将变形，分别代入原式的分子中，得到，化为最简后，代入即可.
【详解】解：∵，，
∴===2-c+2-a+2-b=6-=3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查了分式中的条件求值，需注意观察条件与结论区别与联系，整体代入是解题的关键.
【变式5】（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知，且，求证： ．
【答案】见解析
【分析】将和两边都同时乘abc，整理，再相加，最后再除，即可证明．
【详解】解：，
，
将①，②两边同时乘abc，得，
，
整理，得：
③+④，得：，
整理，得：．
由题意可知abc都不为0，
∴可将⑤两边同时除，
得：．
【点睛】本题考查等式的性质，整式的混合运算，分式的混合运算，分式有意义的条件．熟练掌握等式的性质是解题关键．
核心考点二 一元一次方程的解法及其应用
例1 （2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
例2 （2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件______元．
【答案】15
【分析】设该商品的标价为每件x元，根据八折出售可获利2元，可得出方程：80%x-10=2，再解答即可．
【详解】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x-10=2，
解得：x=15．
所以该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般．
例3 （2022·江苏镇江·中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：
其中车速为40、43（单位：）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．
(1)求出表格中的值；
(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．
【答案】(1)16
(2)19200辆
【分析】（1）由车速的占比求得总的车辆数，然后相乘可得
（2）先计算安全行驶的占比，再用该占比估算即可
（1）
方法一：由题意得，
；
方法二：由题意得，
解得：；
（2）
由题意知，安全行驶速度小于等于．
因为该时段监测车辆样本中安全行驶的车辆占总监测车辆的占比为，
所以估计其中安全行驶的车辆数约为：（辆）
【点睛】本题考查了频数的计算，掌握频率的计算公式是解题关键，频率=频数÷总数．本题的占比就是频率．
知识点一、一元一次方程及其解法
一元一次方程:只含有1个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可
以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。
温馨提示
形如(其中，为常数，且)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。
知识点二、一次方程（组）的实际应用
1、列一次方程(组)解应用题的步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；
设：设关键未知数；
列：根据题中的等量关系，列方程(组)；
解：解方程(组)；
验：检验所解答案是否符合题意；
答：规范作答，注意单位名称。
2、常见的关系式
【变式1】（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，M老师组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】D
【分析】设报D的人心里想的数是x，则再分别表示报A，C，E，B的人心里想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．
【详解】解：设D同学心里想的那个数是x，报A的人心里想的数是10-x，报C的人心里想的数是x-6，报E的人心里想的数是14-x，报B的人心里想的数是x-12，
所以有x-12+x=2×3，
解得：x=9．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
【变式2】（2022·浙江金华·二模）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是－8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B=4，则C点表示的数是（ ）
A．1B．－1C．1或－2D．1或－3
【答案】D
【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出AC的距离，在根据A′B=4，表示出A′C，由折叠得，AC=A′C，列方程即可求解．
【详解】解：设点C所表示的数为x，AC=x-（-8）=x+8，
∵A′B=4，B点所表示的数为6，
∴A′表示的数为4+6=10或6-4=2，
∴AA′=10-（-8）=18，或AA′=2-（-8）=10，
根据折叠得，AC=AA′，
∴x+8=×18或x+8=×10，
解得：x=1或-3，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，则AB=|a-b|．
【变式3】（2020·浙江·模拟预测）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是______．
【答案】
【分析】设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，根据AC＝A′C，列出关于x的方程，解出方程即可．
【详解】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，
∵A′B＝3，B点表示的数为9，
∴点A′表示的数为9+3＝12，
根据折叠得，AC＝A′C
∴x+16＝12﹣x，
解得，x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离问题，能用两点间的坐标正确地表示出两点间的距离是解题的关键．
【变式4】（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______．
【答案】6
【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．
【详解】解：根据题意可得
10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k
解得k=6
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键．
【变式5】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）根据小王在两个超市看到的商品促销信息解决下列问题：
(1)当一次性购物标价总额是元时，甲、乙两超市实付款分别是多少？
(2)当一次性购物标价总额是多少时，甲、乙两超市实付款一样？
【答案】(1)甲超市实付款340元，乙超市实付款360元；
(2)当一次性购物标价总额为1000元时，甲、乙两超市实付款一样．
【分析】（1）根据两家超市的优惠方案，可知当一次性购物标价总额是400元时，甲超市实付款=购物标价，乙超市实付款，分别计算即可；
（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据甲超市实付款=乙超市实付款列出方程，求解即可．
【详解】（1）当一次性购物标价总额是400元时，
甲超市实付款为（元），
乙超市实付款为（元），
答：甲超市实付款340元，乙超市实付款360元；
（2）由题意可知：当一次性购物标价总额不超过500元时，
乙超市实付款一定比甲超市多，
设一次性购物标价总额为x元时，甲、乙两超市实付款一样，
由题意可得：，
解得：，
答：当一次性购物标价总额为1000元时，甲、乙两超市实付款一样．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解两家超市的优惠方案，进行分类讨论是解题的关键．
核心考点三 二元一次方程的解法及其应用
例1 （2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故选：D．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．
例2 （2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
【答案】1
【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
【详解】解：①，②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1．
【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．
例3 （2022·贵州黔西·中考真题）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
(1)每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
(2)若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
【答案】(1)每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元
(2)种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元
【分析】（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据“3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元”列二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据“两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆”列不等式求得m的范围，再求得w与m的关系式，利用一次函数的性质求解．
（1）解：设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，得，解这个方程组，得答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）解：设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据题意，得，解得，，∵，∴w随m增大而减小，当时，．答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
知识点一、二元一次方程（组）及其解法
1、二元一次方程（组）定义
二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）
（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可以使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）
一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法较简单。
当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关
系时，选择加减消元法较简单。
注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。
知识点二、三元一次方程组
1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的
次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
【变式1】（2022·广东·华南师大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非负数，所以这个数都是0．
【变式2】（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】B
【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值．
【详解】解：，
由，可得：，
∵，为整数，
∴当为时，为整数，
∴把的值代入，可得：，，，，，，，，
∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，，
∴方程组的整数解为，，，，
把方程组的整数解代入，可得：，，，．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
【变式3】（2021·四川成都·三模）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为_________________．
【答案】－
【详解】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围从而求得m的最小值．
【解答】解：由题意可得，
解得，，c＝，
由于a，b，c是三个非负实数，
∴a≥0，b≥0，c≥0，
∴﹣≥m≥．
所以m最小值＝．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式组的解法，难点是部分同学不会解含参数m的三元一次方程组．
【变式4】（2022·甘肃庆阳·二模）已知，关于x，y的二元一次方程组的解为，则2a－b＝______．
【答案】4
【分析】把 代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：把代入得：
，
解得：，
∴2a－b=2×1-（-2）=2+2=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题的关键是得出关于a、b的方程组．
【变式5】（2022·河南洛阳·二模）已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数，的系数与所求代数式中，的系数之间的关系，本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：，由①②得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
(1)已知二元一次方程组，则值为 ，的值为 ．
(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为 ．
【答案】(1)5，
(2)30元
(3)
【分析】（1）根据方程组中两个方程的特点，由即可求出的值，即可求出的值；
（2）设1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，列出方程组，先求出，再求出，即可得出答案；
（3）根据题意得出方程组，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：由，可得 ，
∴，
由，可得 ．
故答案为：5，；
（2）（2）设1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，
由题意，可得，
由，可得 ，
∴（元，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；
（3）∵，，
∴，
由，可得 ，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方法是解题关键．
核心考点四 分式方程的解法及其应用
例1 （2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
【答案】B
【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程无解，
则，解得；
②关于的方程有增根，
则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
例2 （2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
例3 （2020·新疆·中考真题）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大， A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元
(2)进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元
【分析】（1）设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，根据用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；
（2）设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，根据题意求出0< y≤40，设总销售利润为W元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
（1）
解：设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，
，
解答x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
∴x+10=40，
答：A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元；
（2）
B款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，
设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，
120-y≥2y，
解得y≤40，
∴0< y≤40，
设总销售利润为W元，
W=（30-20）（120-y）+（36-20）y=6y+1200，
∵W随y的增大而增大，
∴当y=40时，利润W最大，最大为6×40+1200=1440元，
进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
知识点一、分式方程的相关概念
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别。
增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0，这样的根叫方程的增根。
知识点二、解分式方程
例：
解：最简公分母：
检验：当时，
所以原分式方程的解为
知识点三、分式方程的实际应用
列分式方程解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清等量关系。
设：设出未知数。
列：根据题中的等量关系，列出分式方程。
解：解分式方程
验：既要检验所得的解是否适合分式方程，又要检验是否符合实际问题。
答：完整作答（包括单位）
常见模型及关系式
【变式1】（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用解分式方程的一般步骤解分式方程即可求解．
【详解】
解：去分母，得，
∴，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
故选：D
【点睛】本题考查了分式方程的解法，注意：解分式方程时，一定不能漏掉检验．
【变式2】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据关于的不等式组无解求出数的范围，再根据关于的分式方程的解不小于1求出数的范围，然后再取数的范围的公共部分，从而即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
于x的不等式组无解，
，
；
又解分式方程，得且，
关于y的分式方程的解不小于1，
且，
且；
综上可知：，
满足条件的所有整数a的和为：，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握已知一元一次不等式组的解集求参数的范围、已知分式方程的解的范围求参数的取值范围的解题方法是解答此题的关键．
【变式3】（2022·山东省淄博第六中学模拟预测）关于x的分式方程有增根，则m的值为______ ．
【答案】2
【分析】分式方程有增根，说明增根一定是分母为0时未知数的值，即可求出增根，再代入去分母后的方程中即可求出参数的值．
【详解】解：∵关于x的分式方程有增根
∴，即
去分母，得：
把代入，得

故答案是：2
【点睛】本题考查分式方程的增根和参数的求法，正确理解增根的概念是解题的关键．
【变式4】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∵有解，
则或，
∴，
当时，，
故a的取值是1，
当时，，
两边同乘，，
∴，
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
【变式5】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
(2)①②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元
【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.
（2）①设“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润关系即可表示w与a的关系式.
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解.
（1）
解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）
解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.
核心考点五 一元二次方程及其解法
例1 （2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
【答案】C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
例2 （2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
【答案】−1
【分析】根据一元二次方程的解把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0，
解得a＝±1，
∵a−1≠0，
∴a＝−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
例3 （2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
知识点、一元二次方程及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的整式方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）
，其中叫做二次项 ，是二次项的系数；叫做一次项，是一次项的系数；叫常数项。，，是任意实数，且。
一元二次方程的解法
对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。
【变式1】（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）已知（为任意实数），则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】利用作差法比较即可．
【详解】根据题意，得
＝，
∵
∴
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．
【变式2】（2021·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
【变式3】（2022·广东深圳·模拟预测）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x=-1时，突发奇想：x=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么当x2=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个根．据此可知：方程x2-4x+5=0的两根为 __．(根用i表示)
【答案】，
【分析】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．
【详解】解：方程整理，得x2-4x＝－5，
配方得x2－4x＋4＝－1，即(x-2)2＝－1，
开方，得x-2＝±i，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】题考查了解一元二次方程-直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
【变式4】（2022·广西南宁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【详解】解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴

∴当b=2时，S有最大值为．
【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
【变式5】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【答案】(1)-2
(2)当时，有最大值
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得，然后问题可求解；
（3）由题意可得，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：
，
∵
∴
∴当时，有最小值．
(2)
解：由题意得：，
∵
∴
∴当时，有最大值．
(3)
解：由题意得：
=
=；
∵
∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【点睛】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
核心考点六 一元二次方程根的判别式
例1 （2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
例2 （2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】##-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
例3 （2021·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m