新高考数学二轮复习创新题型专题06 向量专题（新定义）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2023·全国·高三专题练习） 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，下面说法错误的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．对任意的 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）定义 SKIPIF 1 < 0 .若向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021春·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点 SKIPIF 1 < 0 和两个不共线的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量 SKIPIF 1 < 0 都可以唯一表示成 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的线性组合， SKIPIF 1 < 0 ，则把有序数组 SKIPIF 1 < 0 称为 SKIPIF 1 < 0 在仿射坐标系 SKIPIF 1 < 0 下的坐标，记为 SKIPIF 1 < 0 ，在仿射坐标系 SKIPIF 1 < 0 下， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
一定成立的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量 SKIPIF 1 < 0 ，即为“等模整向量”，那么模为 SKIPIF 1 < 0 的“等模整向量”有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．12个
5．（2017·四川广元·统考三模）对于 SKIPIF 1 < 0 个向量 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 个不全为0的示数 SKIPIF 1 < 0 ，使得： SKIPIF 1 < 0 成立；则称向量 SKIPIF 1 < 0 是线性相关的，按此规定，能使向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 线性相关的实数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
6．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）对任意两个非零的平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 ，若平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都在集合 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2023·全国·高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记 SKIPIF 1 < 0 ，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 距离为 SKIPIF 1 < 0
B．点 SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0
C．向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行的充要条件是 SKIPIF 1 < 0
D．点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
8．（2022春·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成 SKIPIF 1 < 0 角的两条数轴， SKIPIF 1 < 0 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为 SKIPIF 1 < 0 斜坐标系，若 SKIPIF 1 < 0 ，则把有序数对 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的斜坐标，记为 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 的斜坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ﹒则下列结论中，错误的是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0
A．②③B．②④C．③④D．②③④
9．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的向量积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的起点相同时，由 SKIPIF 1 < 0 的方向逆时针旋转到与 SKIPIF 1 < 0 方向相同时，旋转过的最小角，对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的向量积有如下的五个结论：
① SKIPIF 1 < 0 ； ② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ； ④ SKIPIF 1 < 0 ；
⑤ SKIPIF 1 < 0 ；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
10．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）定义 SKIPIF 1 < 0 为两个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 间的“距离”，若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足下列条件：(ⅰ) SKIPIF 1 < 0 ；(ⅱ) SKIPIF 1 < 0 ；(ⅲ)对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，现给出下面结论的编号，
①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0 ③. SKIPIF 1 < 0 ④. SKIPIF 1 < 0 ⑤. SKIPIF 1 < 0
则以上正确的编号为（ ）
A．①③B．②④C．③④D．①⑤
11．（2018·湖南·统考一模）在实数集 SKIPIF 1 < 0 中，我们定义的大小关系“ SKIPIF 1 < 0 ”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合 SKIPIF 1 < 0 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ SKIPIF 1 < 0 ”．定义如下：对于任意两个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”，按上述定义的关系“ SKIPIF 1 < 0 ”，给出下列四个命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
④对于任意的向量 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
其中正确的命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
12．（2017秋·河南郑州·高三郑州一中阶段练习）若非零向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 “同余”.已知 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 “同余”，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 定义一种向量积： SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图象上运动，点Q在 SKIPIF 1 < 0 的图象上运动，且满足 SKIPIF 1 < 0 (其中O为坐标原点)，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，πB．2,4π
C． SKIPIF 1 < 0 ，4πD． SKIPIF 1 < 0 ，π
14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 .已知向量 SKIPIF 1 < 0 为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2022春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）记 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平面内的非零向量，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．（2021·全国·高三专题练习）对于向量 SKIPIF 1 < 0 ，把能够使得 SKIPIF 1 < 0 取到最小值的点 SKIPIF 1 < 0 称为 SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”.如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 的两条对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，联结 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.下列的结论中，正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为 SKIPIF 1 < 0 .
B． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
C． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”存在且唯一.
D． SKIPIF 1 < 0 的“平衡点”必为 SKIPIF 1 < 0
二、多选题
17．（2022春·浙江·高一期中）如图所示，在平面上取定一点O和两个以点O为起点的不共线向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，称为平面上的一个仿射坐标系，记作 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 与有序数组 SKIPIF 1 < 0 之间建立了一一对应关系，有序数组 SKIPIF 1 < 0 称为 SKIPIF 1 < 0 在伤射坐标系 SKIPIF 1 < 0 下的坐标，记作 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是夹角为 SKIPIF 1 < 0 的单位向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
18．（2022春·河南·高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，定义新运算： SKIPIF 1 < 0 .已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是整数，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内的一组基向量，O为 SKIPIF 1 < 0 内的定点，对于 SKIPIF 1 < 0 内任意一点P，当 SKIPIF 1 < 0 时，则称有序实数对 SKIPIF 1 < 0 为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，关于下列命题正确的是（ ）
A．线段A，B的中点的广义坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．A，B两点间的距离为 SKIPIF 1 < 0
C．若向量 SKIPIF 1 < 0 平行于向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若向量 SKIPIF 1 < 0 垂直于向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
20．（2022·江苏南京·统考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 是大于零的实数，向量 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，定义向量 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
21．（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是平面上任意三点，定义向量的运算： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 由向量 SKIPIF 1 < 0 以点 SKIPIF 1 < 0 为旋转中心逆时针旋转直角得到（若 SKIPIF 1 < 0 为零向量，规定 SKIPIF 1 < 0 也是零向量）.对平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为不共线向量，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
22．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 ，若平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都在集合 SKIPIF 1 < 0 中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的取值个数最多为7
D．若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的取值个数最多为 SKIPIF 1 < 0
23．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“ SKIPIF 1 < 0 ”如下：对任意的两个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0
B．存在唯一确定的向量 SKIPIF 1 < 0 使得对于任意向量 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立
C．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线
D．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的模相等
三、填空题
24．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的“向量积”， SKIPIF 1 < 0 是一个向量，它的模等于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
25．（2018春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，平面上任一点 SKIPIF 1 < 0 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴方向相同的单位向量），则 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 关于斜坐标系 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______
26．（2019春·安徽芜湖·高一校联考期中）定义 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则与 SKIPIF 1 < 0 方向相反的单位向量的坐标为______________．
27．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知对任意平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 绕其起点沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到向量 SKIPIF 1 < 0 ．如图所示，顶角 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点R的坐标为______．
28．（2022春·北京海淀·高一校考期中）设平面中所有向量组成集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中的一个单位向量，定义 SKIPIF 1 < 0 .则下列结论中正确的有___________（只需填写序号）.
①若 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有唯一解 SKIPIF 1 < 0 .
29．（2022春·江苏南通·高一海安市曲塘中学校考期中）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .试用上述成果解决问题：已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
30．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v变换和4种w变换
SKIPIF 1 < 0 ：模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，同时逆时针旋转90°；
SKIPIF 1 < 0 ：模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，同时顺时针旋转90°；
SKIPIF 1 < 0 ：模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，同时逆时针旋转45°；
SKIPIF 1 < 0 ：模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，同时顺时针旋转45°；
SKIPIF 1 < 0 ：模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，同时逆时针旋转135°；
SKIPIF 1 < 0 ：模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，同时顺时针旋转135°．
记集合 SKIPIF 1 < 0 ，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取，依次将第i次抽取的变换记为 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到一个n维有序变换序列，记为 SKIPIF 1 < 0 ，则以下判断中正确的序号是______．
①单位向量 SKIPIF 1 < 0 经过2022次v变换后所得向量一定与向量 SKIPIF 1 < 0 垂直；
②单位向量 SKIPIF 1 < 0 经过2022次w变换后所得向量一定与向量 SKIPIF 1 < 0 平行；
③单位向量 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 变换后得到向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中有且只有2个v变换；
④单位向量 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 变换后不可能得到向量 SKIPIF 1 < 0 ；
⑤存在n，使得单位向量 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 次变换后，得到 SKIPIF 1 < 0 ．
31．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的象为 SKIPIF 1 < 0 ．若映射 SKIPIF 1 < 0 满足：对所有 SKIPIF 1 < 0 及任意实数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 是平面M上的单位向量，对 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则f是平面M上的线性变换；
③对 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换， SKIPIF 1 < 0 ，则对任意实数k均有 SKIPIF 1 < 0 ．
其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）．
32．（2021春·重庆南岸·高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是非零向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为_________.
33．（2021春·陕西宝鸡·高一统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 是平面内相交成 SKIPIF 1 < 0 角的两条数轴， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正方向同向的单位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则把有序数对 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 在坐标系 SKIPIF 1 < 0 中的坐标．假设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小为________．
34．（2018春·浙江台州·高一台州中学校考期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 及向量序列: SKIPIF 1 < 0 满足如下条件: SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________．
35．（2017春·北京东城·高二统考期末）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，（其中 SKIPIF 1 < 0 ）．
定义： SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =_____________；
若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________， SKIPIF 1 < 0 __________（写出一组满足此条件的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 即可）．
36．（2014·安徽·高考真题）已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.
①有5个不同的值.
②若则与无关.
③若则与无关.
④若，则.
⑤若 SKIPIF 1 < 0 ，则与的夹角为
37．（2021春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）定义：对于实数 SKIPIF 1 < 0 和两个定点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，在某图形上恰有 SKIPIF 1 < 0 个不同的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，称该图形满足“ SKIPIF 1 < 0 度囧合”，若在边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且该正方形满足“ SKIPIF 1 < 0 度囧合”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_________.
38．（2022·全国·高三专题练习）定义两个向量组 SKIPIF 1 < 0 的运算 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，向量组 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的一个排列，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______．
39．（2022·北京顺义·统考二模）向量集合 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以及任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称集合 SKIPIF 1 < 0 是“凸集”，现有四个命题：
①集合 SKIPIF 1 < 0 是“凸集”；
② 若 SKIPIF 1 < 0 为“凸集”，则集合 SKIPIF 1 < 0 也是“凸集”；
③若 SKIPIF 1 < 0 都是“凸集”，则 SKIPIF 1 < 0 也是“凸集”；
④若 SKIPIF 1 < 0 都是“凸集”，且交集非空，则 SKIPIF 1 < 0 也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是_____________________．
四、解答题
40．（2022秋·河北沧州·高二校考开学考试）平面内一组基底 SKIPIF 1 < 0 及任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上或在平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线上，我们把直线 SKIPIF 1 < 0 以及与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线称为“等和线”，此时 SKIPIF 1 < 0 为定值，请证明该结论.
41．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，定义非零向量 SKIPIF 1 < 0 的“相伴函数”为 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 称为函数 SKIPIF 1 < 0 的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 SKIPIF 1 < 0
(1)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 为集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 满足条件： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 的“相伴函数” SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，当 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 变化时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)当向量 SKIPIF 1 < 0 时，“相伴函数”为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 存在4个不相等的实数根，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
42．（2022春·上海奉贤·高一校考期末）对于一个向量组 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 是该向量组的“好向量”
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是向量组 SKIPIF 1 < 0 的“好向量”，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是向量组 SKIPIF 1 < 0 的“好向量”，试探究 SKIPIF 1 < 0 的等量关系并加以证明．
43．（2021春·山西临汾·高一统考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的二等分点．
（1）EF，EG有什么关系？用向量方法证明你的结论．
（2）已知对任意平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 绕其起点沿逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到向量 SKIPIF 1 < 0 ，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角得到点P．已知正方形ABCD中，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，把点G绕点E沿顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到点P，求点P的坐标．
44．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）定义非零向量 SKIPIF 1 < 0 的“相伴函数”为 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 称为函数 SKIPIF 1 < 0 的“相伴向量”（其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，请问函数 SKIPIF 1 < 0 是否存在相伴向量 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出与 SKIPIF 1 < 0 共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 的“相伴函数” SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．