专题06 向量专题（新定义）-新高考数学创新题型微专题（数学文化、新定义）

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1．（2023·全国·高三专题练习） 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的．令，下面说法错误的是（ ）
A．若与共线，则
B．
C．对任意的,,
D．
2．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）平面内任意给定一点和两个不共线的向量，，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以唯一表示成，的线性组合，，则把有序数组称为在仿射坐标系下的坐标，记为，在仿射坐标系 下，，为非零向量，且，，则下列结论中（ ）
① ②若，则
③若，则 ④
一定成立的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·高一单元测试）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．12个
5．（2017·四川广元·统考三模）对于个向量，若存在个不全为0的示数，使得：成立；则称向量是线性相关的，按此规定，能使向量，，线性相关的实数，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
6．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）对任意两个非零的平面向量，定义，若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=（ ）
A．B．1C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）
A．当时与距离为
B．点关于原点的对称点为
C．向量与平行的充要条件是
D．点到直线的距离为
8．（2022春·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，﹒则下列结论中，错误的是（ ）
①；②；③；④在上的投影为
A．②③B．②④C．③④D．②③④
9．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义、的向量积，为当、的起点相同时，由的方向逆时针旋转到与方向相同时，旋转过的最小角，对于，，的向量积有如下的五个结论：
①； ②；
③； ④；
⑤；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
10．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足下列条件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)对于任意的，恒有，现给出下面结论的编号，
①.②.③.④.⑤.
则以上正确的编号为（ ）
A．①③B．②④C．③④D．①⑤
11．（2018·湖南·统考一模）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，则；
③若，则对于任意的，；
④对于任意的向量，其中，若，则．
其中正确的命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
12．（2017秋·河南郑州·高三郑州一中阶段练习）若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”.已知被“同余”，则在上的投影是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期中）设定义一种向量积：．已知， ，点 在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，πB．2,4π
C．，4πD．，π
14．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2022春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）记，设，为平面内的非零向量，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2021·全国·高三专题练习）对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（ ）
A．的“平衡点”为.
B．的“平衡点”为的中点.
C．的“平衡点”存在且唯一.
D．的“平衡点”必为
二、多选题
17．（2022春·浙江·高一期中）如图所示，在平面上取定一点O和两个以点O为起点的不共线向量，，称为平面上的一个仿射坐标系，记作，向量与有序数组之间建立了一一对应关系，有序数组称为在伤射坐标系下的坐标，记作．已知，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影向量为
18．（2022春·河南·高一校联考阶段练习）对任意两个非零向量，定义新运算：.已知非零向量满足且向量的夹角，若和都是整数，则的值可能是（ ）
A．2B．C．3D．4
19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（ ）
A．线段A，B的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量平行于向量，则
D．若向量垂直于向量，则
20．（2022·江苏南京·统考模拟预测）设是大于零的实数，向量，其中，定义向量，记，则（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2022·浙江温州·高一永嘉中学统考竞赛）设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、、，下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意，
C．若、为不共线向量，满足，则，
D．
22．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ）
A．若时，则
B．若时，则
C．若时，则的取值个数最多为7
D．若时，则的取值个数最多为
23．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的，有
B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立
C．若与垂直，则与共线
D．若与共线，则与的模相等
三、填空题
24．（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”，是一个向量，它的模等于，若，，则______．
25．（2018春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______
26．（2019春·安徽芜湖·高一校联考期中）定义，若，，则与方向相反的单位向量的坐标为______________．
27．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量．如图所示，顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、，则顶点R的坐标为______．
28．（2022春·北京海淀·高一校考期中）设平面中所有向量组成集合，为中的一个单位向量，定义.则下列结论中正确的有___________（只需填写序号）.
①若､，则；
②若，，则；
③若，，，则有唯一解.
29．（2022春·江苏南通·高一海安市曲塘中学校考期中）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若，，则.试用上述成果解决问题：已知，，，则___________.
30．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v变换和4种w变换
：模变为原来的倍，同时逆时针旋转90°；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转90°；
：模变为原来的倍，同时逆时针旋转45°；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转45°；
：模变为原来的倍，同时逆时针旋转135°；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转135°．
记集合，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取，依次将第i次抽取的变换记为，即可得到一个n维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是______．
①单位向量经过2022次v变换后所得向量一定与向量垂直；
②单位向量经过2022次w变换后所得向量一定与向量平行；
③单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个v变换；
④单位向量经过变换后不可能得到向量；
⑤存在n，使得单位向量经过次变换后，得到．
31．（2022春·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射满足：对所有及任意实数都有，则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，，则；
②若是平面M上的单位向量，对，设，则f是平面M上的线性变换；
③对，设，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，，则对任意实数k均有．
其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）．
32．（2021春·重庆南岸·高一重庆第二外国语学校校考阶段练习）定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记，其中是非零向量的夹角，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值为_________.
33．（2021春·陕西宝鸡·高一统考期末）设､是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在坐标系中的坐标．假设，则的大小为________．
34．（2018春·浙江台州·高一台州中学校考期中）已知向量及向量序列: 满足如下条件: ，且,当且时, 的最大值为__________．
35．（2017春·北京东城·高二统考期末）已知平面向量，平面向量，（其中）．
定义：．若，，则=_____________；
若，且，，则_________，__________（写出一组满足此条件的和即可）．
36．（2014·安徽·高考真题）已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.
①有5个不同的值.
②若则与无关.
③若则与无关.
④若，则.
⑤若，则与的夹角为
37．（2021春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）定义：对于实数和两个定点、，在某图形上恰有个不同的点，使得，称该图形满足“度囧合”，若在边长为的正方形中，，，且该正方形满足“度囧合”，则实数的取值范围是_________.
38．（2022·全国·高三专题练习）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．
39．（2022·北京顺义·统考二模）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
② 若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是_____________________．
四、解答题
40．（2022秋·河北沧州·高二校考开学考试）平面内一组基底及任一向量，若点在直线上或在平行于的直线上，我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”，此时为定值，请证明该结论.
41．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为
(1)已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；
(2)已知点满足条件：，，若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围；
(3)当向量时，“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围.
42．（2022春·上海奉贤·高一校考期末）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”
(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；
(2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．
43．（2021春·山西临汾·高一统考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的二等分点．
（1）EF，EG有什么关系？用向量方法证明你的结论．
（2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针旋转角得到向量，叫做把点N绕点M沿逆时针方向旋转角得到点P．已知正方形ABCD中，点，点，把点G绕点E沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标．
44．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
(2)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．