新高考数学二轮复习创新题型专题15 集合专题（新定义）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9B．4C．27D．8
2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 SKIPIF 1 < 0 ，设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中元素的个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中元素的个数是（ ）
A．3B．4C．12D．16
5．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为 SKIPIF 1 < 0 ，定义一种运算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若全集 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果a、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（ ）
①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③集合 SKIPIF 1 < 0 是一个数域；④有理数集Q是一个数域．
A．1B．2C．3D．4
7．（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称 SKIPIF 1 < 0 为集合U的一种真分拆，并规定 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为集合U的同一种真分拆．
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则集合 SKIPIF 1 < 0 的真分拆的种数是（ ）
A．4B．8C．10D．15
8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个 SKIPIF 1 < 0 位正整数的所有数位上数字的 SKIPIF 1 < 0 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 真子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
9．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；（3）若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．则称A为“好集”．已知命题：①集合 SKIPIF 1 < 0 是好集；②对任意一个“好集”A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
10．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M，定义函数 SKIPIF 1 < 0 ，对于两个集合 SKIPIF 1 < 0 ，定义集合， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示有限集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数，则对于任意集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
11．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 就称A是伙件关系集合，集合 SKIPIF 1 < 0 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ）
A．15B．16C．64D．128
12．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，对它的非空子集 SKIPIF 1 < 0 ，可将 SKIPIF 1 < 0 中的每一个元素 SKIPIF 1 < 0 都乘以 SKIPIF 1 < 0 再求和（如 SKIPIF 1 < 0 ，可求得和为： SKIPIF 1 < 0 ），则对 SKIPIF 1 < 0 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（ ）
A．18B．16C．-18D．-16
13．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如 SKIPIF 1 < 0 的交替和是 SKIPIF 1 < 0 ；而 SKIPIF 1 < 0 的交替和是5，则集合 SKIPIF 1 < 0 的所有非空子集的交替和的总和为（ ）
A．32B．64C．80D．192
14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若 SKIPIF 1 < 0 ，且A为互斥集，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2022·上海·高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；
④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（ ）
A．②B．①③C．②④D．②③
16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 称为集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 的差集；定义集合运算 SKIPIF 1 < 0 称为集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 的对称差，有以下4个命题：
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 个命题中是真命题的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、多选题
17．（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集 SKIPIF 1 < 0 中，被4除所得余数为 SKIPIF 1 < 0 的所有整数组成一个“类”，其中 SKIPIF 1 < 0 ，记为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，以下判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 属于同一个类
18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 SKIPIF 1 < 0 划分为两个非空的子集M与N，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 SKIPIF 1 < 0 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M没有最大元素，N没有最小元素
D．M有一个最大元素，N有一个最小元素
19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A．集合 SKIPIF 1 < 0 为闭集合；
B．集合 SKIPIF 1 < 0 为闭集合；
C．集合 SKIPIF 1 < 0 为闭集合；
D．若集合 SKIPIF 1 < 0 为闭集合，则 SKIPIF 1 < 0 为闭集合．
三、填空题
20．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合 SKIPIF 1 < 0 ，若把集合 SKIPIF 1 < 0 的集合 SKIPIF 1 < 0 叫做集合 SKIPIF 1 < 0 的配集，则 SKIPIF 1 < 0 的配集有___________个.
21．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合 SKIPIF 1 < 0 ，其所有元素的几何平均数记为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．若非空数集 SKIPIF 1 < 0 满足下列两个条件：① SKIPIF 1 < 0 A；② SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个“保均值真子集”，据此，集合 SKIPIF 1 < 0 的“保均值真子集”有__个．
22．（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 的所有元素的乘积称为 SKIPIF 1 < 0 的容量（若 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若 SKIPIF 1 < 0 的容量为奇（偶）数，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的奇（偶）子集，则 SKIPIF 1 < 0 的所有奇子集的容量之和为______.
23．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则称k是A的一个“孤立元”，集合 SKIPIF 1 < 0 中的“孤立元”是___________；对给定的集合 SKIPIF 1 < 0 ，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．
24．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域 SKIPIF 1 < 0 有非零元素，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）集合 SKIPIF 1 < 0 为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
25．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .给出以下命题：
①若集合 SKIPIF 1 < 0 中没有最大数，则集合 SKIPIF 1 < 0 中有最小数；
②若集合 SKIPIF 1 < 0 中没有最大数，则集合 SKIPIF 1 < 0 中可能没有最小数；
③若集合 SKIPIF 1 < 0 中有最大数，则集合 SKIPIF 1 < 0 中没有最小数；
④若集合 SKIPIF 1 < 0 中有最大数，则集合 SKIPIF 1 < 0 中可能有最小数.
其中，所有正确结论的序号是___________.
26．（2022秋·江苏淮安·高三校联考期中）用 SKIPIF 1 < 0 表示非空集合A中的元素个数，定义 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若B中元素取最少个数时m=______.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B=______.
27．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合 SKIPIF 1 < 0 ，我们把 SKIPIF 1 < 0 称为该集合的长度，设集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 都是集合 SKIPIF 1 < 0 的子集，则集合 SKIPIF 1 < 0 的长度的最小值是_______．
28．（2023·全国·高一专题练习）设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数 SKIPIF 1 < 0 满足：（ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（ⅱ）对任意 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：
① SKIPIF 1 < 0 ，B为正整数集；
② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）
四、解答题
29．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；③若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
（1）判断 SKIPIF 1 < 0 是否正确，说明理由；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）证明：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
30．（2022秋·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A是实数集的非空子集，称集合 SKIPIF 1 < 0 为集合A的生成集．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值．