新高考数学二轮复习创新题型专题12 立体几何专题（新定义）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式 SKIPIF 1 < 0 中的常数 SKIPIF 1 < 0 称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式 SKIPIF 1 < 0 求体积（在等边圆柱中， SKIPIF 1 < 0 表示底面圆的直径；在正方体中， SKIPIF 1 < 0 表示棱长，在球中， SKIPIF 1 < 0 表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为 SKIPIF 1 < 0 ），正方体（棱长为 SKIPIF 1 < 0 ），球（直径为 SKIPIF 1 < 0 ）的“立圆率”分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2022秋·江苏南京·高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V= SKIPIF 1 < 0 h（S+4S0+S'），其中S，S'分别是上､下底面的面积，S0是中截面的面积，h为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长､宽比下底长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（ ）
（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
A．63车B．65车C．67车D．69车
【答案】B
【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽，进而求出各个面的面积、体积以及重量，进一法求出所需要的车次.
【详解】解：由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积 SKIPIF 1 < 0 ，中截面积 SKIPIF 1 < 0 ，下底面积 SKIPIF 1 < 0 ，所以该建筑材料的体积为V= SKIPIF 1 < 0 立方米，
所以建筑材料重约 SKIPIF 1 < 0 （吨），
需要的卡车次为 SKIPIF 1 < 0 ，所以至少需要运65车.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JhnTaylr，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例 SKIPIF 1 < 0 ，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若 SKIPIF 1 < 0 ，则由勾股定理， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此可求得 SKIPIF 1 < 0 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 的投影在底面中心 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，根据以上信息， SKIPIF 1 < 0 的长度（单位：英尺）约为（ ）．
A．611.6B．481.4C．692.5D．512.4
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可得
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C
【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.
4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 SKIPIF 1 < 0 与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.
【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为 SKIPIF 1 < 0 ，该正面体共 SKIPIF 1 < 0 个顶点，
因此，该正八面体的总曲率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， SKIPIF 1 < 0 为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即 SKIPIF 1 < 0 ．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬 SKIPIF 1 < 0 ，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）
A．北纬 SKIPIF 1 < 0 B．南纬 SKIPIF 1 < 0
C．北纬 SKIPIF 1 < 0 D．南纬 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角 SKIPIF 1 < 0 可得结果.
【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角 SKIPIF 1 < 0 ，
由华表的高和影长相等可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以该天太阳直射纬度为南纬 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.
【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的圆弧构成，所以该零件底面周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故其侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为 SKIPIF 1 < 0 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意给的定义，结合图形，分别求出a、b、c、d的值即可比较大小.
【详解】对于正四面体，其离散曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于正八面体，其离散曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于正十二面体，其离散曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于正二十面体，其离散曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
8．（重庆市2023届高三第七次质量检测数学试题）如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为 SKIPIF 1 < 0 ，球缺的体积公式为 SKIPIF 1 < 0 ，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则这两个球缺的体积之比为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据已知条件求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入体积公式计算即可.
【详解】设小球缺的高为 SKIPIF 1 < 0 ，大球缺的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，①
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，②
所以由①②得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以小球缺的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
大球缺的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以小球缺与大球缺体积之比为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
9．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）碳 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）是一种非金属单质，它是由 SKIPIF 1 < 0 个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）.
A．12B．20C．32D．60
【答案】B
【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有 SKIPIF 1 < 0 个，正六边形有 SKIPIF 1 < 0 个，根据面数和棱数即可得关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求解.
【详解】根据题意， 碳 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）由 SKIPIF 1 < 0 个顶点，有 SKIPIF 1 < 0 个面，
由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为 SKIPIF 1 < 0 ，
设正五边形有 SKIPIF 1 < 0 个，正六边形有 SKIPIF 1 < 0 个，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以六元环的个数为 SKIPIF 1 < 0 个，
故选：B.
10．（2018春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，定义区间 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长度均为 SKIPIF 1 < 0 .在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 长的取值区间的长度为
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【解析】由题意画出图形，得到三棱锥A- BCD存在时CD的范围，则答案可求.
【详解】如图，
△ABC是边长为2的等边三角形，取AB中点O,连接CO，DO,可得CO= SKIPIF 1 < 0 ,
因为AD⊥BD,当AD=BD时，OD最长为1,则当等腰直角三角形ABD在平面ABC上时，CD的最小值为 SKIPIF 1 < 0 -1，最大值为 SKIPIF 1 < 0 +1,
则要使三棱锥A- BCD存在，CD∈( SKIPIF 1 < 0 -1, SKIPIF 1 < 0 +1) ,
所以CD长的取值区间的长度为( SKIPIF 1 < 0 +1) - ( SKIPIF 1 < 0 -1)=2.
故选：B
【点睛】本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题，属于较难题.
二、多选题
11．（2022·全国·高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的 SKIPIF 1 < 0 倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0
B．侧面积为 SKIPIF 1 < 0
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
D．底面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】不妨过斜圆柱的最高点 SKIPIF 1 < 0 和最低点 SKIPIF 1 < 0 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．
【详解】不妨过斜圆柱的最高点 SKIPIF 1 < 0 和最低点 SKIPIF 1 < 0 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 是圆柱的轴截面，平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，
由圆柱的性质知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以斜圆柱侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，C错．
故选：ABD．
12．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于 SKIPIF 1 < 0 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 SKIPIF 1 < 0 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，故其总曲率为 SKIPIF 1 < 0 ．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（ ）
A．正方体在每个顶点的曲率均为 SKIPIF 1 < 0
B．任意四棱锥的总曲率均为 SKIPIF 1 < 0 ；
C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是 SKIPIF 1 < 0 ；
D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足 SKIPIF 1 < 0 ，则该类多面体的总曲率是常数
【答案】ABD
【分析】根据曲率的定义依次判断即可.
【详解】对于A，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，由定义可得多面体的总曲率 SKIPIF 1 < 0 顶点数 SKIPIF 1 < 0 各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，由多面体顶点数、面数、棱数的关系有 SKIPIF 1 < 0 ，而选项C中所给的多面体的顶点数、面数、棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C不正确；
对于D，设每个面记为 SKIPIF 1 < 0 边形，
则所有的面角和为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据定义可得该类多面体的总曲率 SKIPIF 1 < 0 为常数，故D正确.
故选：ABD.
13．（2020秋·山东济南·高三统考期末）给定两个不共线的空间向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，定义叉乘运算： SKIPIF 1 < 0 ．规定：① SKIPIF 1 < 0 为同时与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直的向量；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三个向量构成右手系（如图1）；③ SKIPIF 1 < 0 ．如图2，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可.
【详解】在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，AB=AD=2， SKIPIF 1 < 0 ，
A： SKIPIF 1 < 0 同时与 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成右手系，
故 SKIPIF 1 < 0 成立，故A正确；
B：根据 SKIPIF 1 < 0 三个向量构成右手系，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向共线，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向共线，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向共线，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
D：长方体 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD
14．（2022春·全国·高一期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）
A．长方体中含有两个相同的等腰四面体
B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形
C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到
D．三组对棱长度分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“等腰四面体”的外接球直径为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项．
【详解】如图，长方体 SKIPIF 1 < 0 有两个相同的等腰四面体： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
如等腰四面体 SKIPIF 1 < 0 中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的，
如图，设 SKIPIF 1 < 0 的长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最大，
其所对角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B正确；
把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线，
如等腰四面体 SKIPIF 1 < 0 ，沿 SKIPIF 1 < 0 剪开摊平， SKIPIF 1 < 0 共线，同理可得 SKIPIF 1 < 0 共线， SKIPIF 1 < 0 共线， SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形（与等腰四面体 SKIPIF 1 < 0 的面相似），且 SKIPIF 1 < 0 是这个三角形的中位线，因此C正确；
如上等腰四面体 SKIPIF 1 < 0 中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外接球直径，因此直径长为 SKIPIF 1 < 0 ，D错。
故选：ABC．
三、填空题
15．（2022·高二课时练习）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°