中考数学复习指导：例析可考虑构造辅助圆解题的三种情况

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一、条件中有一锐角为45°时，可考虑构造辅助圆
例1 如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC＝45°，BD＝3，CD＝2．求△ABC的面积．

分析 本题主要求出△ABC的高AD即可获解，而利用“∠BAC＝45°’这个条件是关键，不妨构造辅助圆．让∠BAC变为圆周角，那么圆心角∠BOC为90°，这时△BOC为等腰直角三角形了，再利用圆的有关知识就可求出高AD了．
解 如图1，作△ABC的外接圆O．过点O作OE⊥BC，于点E，由∠BAC＝45°知∠BOC为90°，则△OBE.△OBC均为等腰直角三角形，且OE＝EC＝BE＝2.5，则ED＝CE－CD＝0.5，过点O作OF⊥AD于点F，连OA，则四边形OEDF为矩形，于是OF＝DE＝0.5，DF＝OE＝2.5．在Rt△AOF中，由勾股定理AF＝3.5，所以AD＝AF＋FD＝6，即S△ARC＝×5×6＝15．
另解 （构造相似）如图2，以BD.CD为直角边在△ABC内作等腰Rt△BDE和等腰Rt△CDF，交AD于点E.F．则DE＝DB＝3，DF＝CF＝2，FE＝1．设AE＝x．由∠BAD＋∠ABE＝∠BED＝45°，∠BAD＋∠DAC＋∠BAC＝45°，知∠ABE＝∠DAC，又∠BEA＝∠AFC＝135°，则△BEA~△AFC．于是，，解得x＝3（负根已舍）．故AD＝AE＋DE＝6．
即S△ARC＝×5×6＝15．
二、条件中有共顶点的两边或三边相等时，可考虑构造辅助圆
例2 在四边形ABCD中，∠BAD＝100°，∠BCD＝130°，
AB＝AD＝2，求AC．
解 如图3，以点A为圆心，AB为半径作⊙A．则点D在圆上，
由∠BAD＝100°知的度数为260°，正好为∠BCD度数的2倍，
故点C在⊙A上，所以AC＝2．
例3 在四边形ABCD中， AB∥CD，AD＝DC＝DB＝2，BC＝．求对角线AC的长．
分析 由 “AD＝DC＝DB＝2”可知A,B,C在半径为2的⊙D上．利用圆的性质可找到AC与CD.BC的关系，
解 如图4，延长CD交半径为2的⊙D于点E，连AE，显然
点A.B.C在⊙上，因AB∥CD，则＝从而BC＝AE＝
．在△ACE中，∠BOC＝90°，CE＝4，AE＝，故AC＝3．
三、条件中有一角是另一角的2倍时，可考虑构造辅助圆
例4 如图5，在△ABP中，PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交PB于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC等于( )
(A)6 (B)7 (C)12 (D)16

分析 构造以点P为圆心，PA为半径的⊙P．由“∠APB＝2∠ACB”可知点C在⊙O上．利用圆的有关性质可求出AD·DC的值．
解 如图5，延长BP交OP于点E，由相交弦定理，得AD·DC＝DE·DB
＝(PE＋PD)·(PB－PD)＝(4＋3)(4－3)＝7．
故选 B．
另解 如图6，由“∠APB＝2∠ACB”可作∠APB的角平分线交AC于点F，由角平分线定理可设AF＝4x，FD＝3x，易证△PDF∽△CDB．所以，，即DC＝
从而AD·DC＝7x·＝7．故选B．