中考数学二轮专题复习—— 构造辅助圆

这是一份中考数学二轮专题复习—— 构造辅助圆，共17页。试卷主要包含了圆中最值，定边对直角，如图，已知正方形的边长为6等内容，欢迎下载使用。
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1、圆中最值
(1)点-圆
若点是圆外一点．
在圆上确定一点使得最大？
分析：．
在圆上确定一点使得最小？
分析：，．
引例1：如图，已知圆的半径为3，圆外一定点满足，点为圆上一动点，经过点的直线上有两点，且，不经过点，则的最小值为_______．
解析：连接，根据为直角三角形且是斜边中点，可得是的一半，若最小，则最小即可．连接，与圆交点即为所求点，此时最小，∵，圆半径，∴，∴的最小值为4．
(2)线-圆
如图，在圆取一点使到直线的距离最大？
分析：过点作直线的垂线，与圆(点上方)、直线的交点即为，此时最大．
如图，在圆取一点使到直线的距离最小？
分析：过点作直线的垂线，与圆(点下方)、直线的交点即为，此时最小．
引例2：如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接，则面积最大值是______．
解析：过点作的垂线，垂足记为点，与圆左上方交点即为点，又圆半径为，面积最大值为．
*2定点连定长
(1)圆的定义：平面内到定点距离等于定值的所有点的集合．
(2)构造辅助圆：若动点满足到定点距离等于定值，则动点轨迹是圆(或圆弧)．
引例4：(2016-淮安)如图，在Rt中，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是________．
解析：，可得点轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧．过点作，与圆的交点即为所求点，，又∴最小值是．
3、定边对直角
(1)圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角．
(2)定边对直角：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
点是动点，且，其中是一条定线段，则点轨迹是以为直径的圆或圆弧．
引例5：已知正方形边长为2，分别是上的动点，且满足，连接，交点为点，则的最小值为________．
解析：考虑，可得，即在运动过程中，，∴点轨迹是以为直径的圆．
连接，与圆的交点即为点，，∴．∴的最小值为．
引例6：如图，是半圆的直径，点在半圆上，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为________．
解析：点是动点，，且是一条定线段，∴点轨迹是以为直径的圆弧．
当共线时，取到最小值．连接，勾股定理可得，
∴的最小值是．
(1)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．
(2)定边对定角：一条定边所对角是定角，则这个角的顶点轨迹是圆弧．
点是动点，且是定值，其中是一条定线段，以为底边构造顶角为的等腰三角形，顶点记为，则点轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧．
(3)特别地，若是特殊角：
(1)若，以为边，同侧构造等边，即为圆心．
(2)若，以为斜边，同侧构造等腰直角，即为圆心．
(3)若，以为底，同侧构造顶角为的等腰三角形，即为圆心．
(4)若，以为底，异侧为边构造顶角为的等腰三角形即为圆心．
引例7：如图，等边边长为分别是上两个动点，且，连接，交点为点，则的最小值为________．
解析：由可推得，可得，但所对的边是变化的．考虑，其对边是定值．
∴点轨迹是以点为圆心的圆弧(构造且．当共线时，，，∴最小值是．
5问题设计
(1)定边对直角：隐藏的定边
引例8：(2019-苏州园区一模)如图，正方形的边长为4，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为________．
解析：首先考虑整个问题中的不变量，仅有，但所对的边是不确定的．重点放在，可得必过正方形中心点，连接，与交点即为点．为直角且边为定直线，∴点轨迹是以为直径的圆．
记中点为点，当共线时，取到最小值，勾股定理可求，
，∴长的最小值是．
(2)定边对定角：动点轨迹长度探究
引例9：(2020•大庆)如图，等边中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为________．
解析：由题意得：，∴，如图，以为底边作顶角为的等腰，可得点轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧．
∵，∴即点运动路径长为．
(3)视角转换：动静互逆
引例10：(2019-益阳改编)如图，在平面直角坐标系中，矩形的边．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．连接，线段的最大值为________．
解析：动静互逆，保持矩形不动，旋转坐标系，即定边对直角，可得点轨迹，如图，当中点共线时，取到最大值，即的最大值为8．
1、(2020-东营)如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为________．
【答案】．
【解析】：连接，则，当最小时，即最小，当时，可得最小值为3，又，∴的最小值为．
2、(2020-西藏)如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，则的最小值为________．
【答案】8．
【解析】：由题意可得点轨迹是以点为圆心，5为半径的圆弧，的最小值为，即的最小值为．
3、(2014-成都)如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
【答案】．
【解析】考虑沿所在直线翻折得到，可得，所以轨迹是以点为圆心，为
半径的圆弧．连接，与圆的交点即为所求的，此时的值最小．构造直角，勾股定理可得最小值为．
4、(2020-广东)有一架坚直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点分别在射线上，长度始终保持不变，，为的中点，点到的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为________．
【答案】．
【解析】：连接，则，∴点轨迹是以点为圆心，2为半径的圆弧，当共线时，取到最小值，最小值为．
5、(2019-扬州改编)如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点(与点不重合)．直线是经过点的一条直线，把沿直线折叠，点的对应点是点．当时，在直线变化过程中，面积的最大值是________．
【答案】．
【解析】：考虑是经过点的直线，且沿直线折叠，所以轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧．考虑面积最大，因为是定值，只需到距离最大即可．过作作交于点，与圆的交点即为所求点，此时，，
∴面积最大值是．
6、(2020-宿迁)如图，在矩形中，，，为上一个动点，连接，线段与线段关于所在的直线对称，连接，当点从点运动到点时，线段在平面内扫过的面积为________．
【答案】．
【解析】：考虑点轨迹从到，点轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，
∴故线段扫过的面积为．
7、(2016•安徽)如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是________．
【答案】2．
【解析】∵，∴，
∴点轨迹是以为直径的圆弧．当共线时，取到最小值，勾股定理可得，，∴长的最小值是2．
8、(2021•鄂尔多斯)如图，已知正方形的边长为6、点是正方形内一点，连接，且，点是边上一动点，连接，则长度的最小值为________．
【答案】．
【解析】：∵，∴，∴，∴点轨迹是以为直径的圆弧，作点关于的对称点，连接，则，取中点，当共线时，取到最小值，此时，∴最小值为，
9、(2017•威海)如图，为等边三角形，，若为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为________．
【答案】．
【解析】：由，可得，可得点轨迹，，
∴长度最小值为．
10、(2019-南京)在中，，，则的长的取值范围是_____________．
【答案】．
【解析】：，即定边对定角．故点的轨迹是以点为圆心的圆弧(作且)，题意要求，即，故点的轨迹如下图．当为直径时，取到最大值，考虑为中最大角，故为最长边，．综上，长的取值范围是．
11、(2020-徐州)在中，若．则的面积的最大值为________．
【答案】．
【解析】：∵，，以为边，在同侧作等腰直角，则点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，连接，当时，的高最大，面积最大，最大面积为．
12、(2021•东)在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值是________．
【答案】．
【解析】：如图，以为斜边在等腰直角，则点在以点为圆心，为半径的圆上．勾股定理得：长度的最小值是．
13、(2019•武汉)如图，是圆的直径，是弧(异于)上两点，是弧上一动点，的角平分线交圆于点的平分线交于点，当点从点运动到点时，则两点的运动路径长的比是________．
【答案】．
【解析】：分别考虑两点的轨迹，点轨迹上是弧，其对应圆心角为，半径为(或)．
再考虑点轨迹，考虑到都是角平分线，所以连接，平分，可得：．
考虑到是定角，其对边是定线段，根据定边对定角，所以点轨迹是个圆，考虑到，所以点即为圆心，为半径．点轨迹所对的圆心角为，是的一半，所以两点轨迹圆半径之比为，圆心角之比为，所以弧长比为．
14、(2020-成都)如图，在矩形中，，分别为边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为________，线段长度的最小值为________．
【答案】；．
【解析】：当点到达点时，长度最大，最大值是；连接与交于点，∵，
∴，即点是靠近点的三等分点，连接，中点记为，则点轨迹是以点为圆心，为直径的圆，∴，当共线时取到最小值，最小值是．
15、(2021-广东)设为坐标原点，点为抛物线上的两个动点，且，连接点，过作于点，则点到轴距离的最大值是( )
A、B、C、D、1
【答案】A．
【解析】：设点坐标为，点坐标为，分别过作轴的垂线，垂足分别记为，∵，易证，∴，得．由题意得，
∴直线解析式为，即，当时，，记与轴交于点，则点坐标为，∵，可得点轨迹是以为直径的圆弧，∴点到轴的最大距离为，∴选A．
法2：分别过作轴的垂线，垂足分别记为，连接交轴于点，设，则，设，则，由可得，即，，
∴，，∴，
∴，∴点坐标为，最大值为．
16、(2021•扬州)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：
(1)这样的点唯一吗？
(2)点的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上(点除外)，……小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1)．
(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为________．
②面积的最大值为________．
(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．
(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，点在直线的左侧，且．
①线段长的最小值为________．
②若，则线段长为________．

【答案】(1)①2；②．(2)证明略；(3)①．②．
【解析】：(1)①2；②．
(2)延长至交圆弧于点，连接，则，
∴，．
(3)①取中点，过点作，且点轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，连接，与圆弧交点即为所求点，此时取到最小值，∴长的最小值为．
②∵，∴若，则点到的距离相等，作角平分线，
与圆弧交点即为所求点，连接，过点作交于点，
∵，∴∴，
∴∴的长为．