新高考数学一轮复习微专题专练46双曲线（含详解）

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一、选择题
1．平面内到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为( )
A． eq \f(x2,25) － eq \f(y2,16) ＝1 B． eq \f(y2,16) － eq \f(x2,9) ＝1
C． eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1 D． eq \f(x2,16) － eq \f(y2,9) ＝1
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( )
A．19 B．26
C．43 D．50
3．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A． eq \f(\r(2),2) B．1
C． eq \r(2) D．2
4．若a>1，则双曲线 eq \f(x2,a2) －y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．( eq \r(2) ，＋∞) B．( eq \r(2) ，2)
C．(1， eq \r(2) ) D．(1，2)
5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A． eq \r(2) B． eq \r(3) C．2 D． eq \r(5)
6．[2023·全国甲卷(理)]已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为 eq \r(5) ，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(2\r(5),5) C． eq \f(3\r(5),5) D． eq \f(4\r(5),5)
7．设双曲线 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,3) ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( )
A． eq \f(19,2) B．11 C．12 D．16
8．双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝ eq \f(3,4) 相切，则该双曲线的方程为( )
A．x2－ eq \f(y2,3) ＝1 B． eq \f(x2,3) － eq \f(y2,9) ＝1
C． eq \f(x2,2) － eq \f(y2,5) ＝1 D． eq \f(x2,4) － eq \f(y2,12) ＝1
9．已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
二、填空题
10．双曲线 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,16) ＝1上一点M到其中一个焦点的距离为7，则点M到另一个焦点的距离为________．
11．已知双曲线 eq \f(x2,a2) －y2＝1(a>0)的一条渐近线为 eq \r(3) x＋y＝0，则a＝________．
12．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－ eq \f(2,3) ，则C的离心率为________．
[能力提升]
13．[2022·全国乙卷(理)，11]双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cs ∠F1NF2＝ eq \f(3,5) ，则C的离心率为( )
A． eq \f(\r(5),2) B． eq \f(3,2) C． eq \f(\r(13),2) D． eq \f(\r(17),2)
14．[2023·全国乙卷(理)]设A，B为双曲线x2－ eq \f(y2,9) ＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－4))
15．[2022·全国甲卷(文)，15]记双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
16．若双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是________．
专练46 双曲线
1．D 由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为 eq \f(x2,16) － eq \f(y2,9) ＝1.
2．B x2－y2＝9可化为 eq \f(x2,9) － eq \f(y2,9) ＝1，
∴a＝3，由双曲线的定义知
|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，
∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.
3．C 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝ eq \r(2) a，所以双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(2) .故选C.
4．C ∵c2＝a2＋1，∴e2＝ eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(a2＋1,a2) ＝1＋ eq \f(1,a2) ，
又a2>1，∴0< eq \f(1,a2) <1，∴1<1＋ eq \f(1,a2) <2，∴15．D 由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x.将x＝－1代入y＝± eq \f(b,a) x，得y＝± eq \f(b,a) ，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为 eq \f(b,a) .由|AB|＝4|OF|可得 eq \f(2b,a) ＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(\f(a2＋b2,a2)) ＝ eq \r(5) .
6．D 根据双曲线的离心率e＝ eq \r(5) ＝ eq \f(c,a) ，得c＝ eq \r(5) a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2， eq \f(b2,a2) ＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
方法一 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,（x－2）2＋（y－3）2＝1)) ，得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(16,5) ，x1x2＝ eq \f(12,5) .所以|AB|＝ eq \r(1＋22) |x1－x2|＝ eq \r(5) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))\s\up12(2)－4×\f(12,5)) ＝ eq \f(4\r(5),5) ，故选D.
方法二 则圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝ eq \f(|2×2－3|,\r(22＋（－1）2)) ＝ eq \f(\r(5),5) ，所以|AB|＝2 eq \r(1－d2) ＝2 eq \r(1－（\f(\r(5),5)）2) ＝ eq \f(4\r(5),5) ，故选D.
7．B 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF2|－|AF1|＝2a＝4，,|BF2|－|BF1|＝2a＝4，)) 所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，当AB为通径时，其长度最短，|AB|min＝2· eq \f(b2,2) ＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.
8．A 由题意得到e＝ eq \f(c,a) ＝2，∴b＝ eq \r(3) a，则双曲线的渐近线方程为y＝± eq \r(3) x.渐近线与圆(x－a)2＋y2＝ eq \f(3,4) 相切，∴ eq \f(|\r(3)a|,2) ＝ eq \f(\r(3),2) ，又a>0，∴a＝1，b＝ eq \r(3) .
则双曲线方程为：x2－ eq \f(y2,3) ＝1.
故答案为A.
9．B ∵x2－y2＝1的焦点(± eq \r(2) ，0)，e1＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(2) ，
∴由题意得 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1的焦点坐标为(± eq \r(2) ，0)，e＝ eq \f(\r(2),2) ，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＝c2＝2，,\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(2),2)，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝2.))
∴椭圆方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,2) ＝1.
设P为两曲线右边的交点，由椭圆、双曲线的定义知，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2×2，,|PF1|－|PF2|＝2，)) ∴|PF1|＝3，|PF2|＝1，
又|F1F2|＝2 eq \r(2) ，且|PF2|2＋|F1F2|2＝1＋(2 eq \r(2) )2＝1＋8＝9＝|PF1|2，
∴△F1PF2为直角三角形．
10．13
解析：由题意，a2＝9，所以a＝3.设点M到另一个焦点的距离为d，由双曲线的定义知，|7－d|＝2a＝2×3＝6，所以d＝1(舍)或d＝13.即点M到另一个焦点的距离为13.
11. eq \f(\r(3),3)
解析：∵双曲线 eq \f(x2,a2) －y2＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(x,a) ，
∴ eq \f(1,a) ＝ eq \r(3) ，a＝ eq \f(\r(3),3) .
12. eq \f(3\r(5),5)
解析：方法一 由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－ eq \f(2,3) ，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1－c＝\f(2,3)c,y1＝－\f(2,3)y0)) ，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\f(5,3)c,y1＝－\f(2,3)y0)) ，所以A( eq \f(5,3) c，－ eq \f(2,3) y0).
＝( eq \f(8,3) c，－ eq \f(2,3) y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即 eq \f(8,3) c2－ eq \f(2,3) y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝0，解得y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝4c2.
因为点A( eq \f(5,3) c，－ eq \f(2,3) y0)在双曲线C上，所以 eq \f(25c2,9a2) － eq \f(4y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9b2) ＝1，又y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝4c2，所以 eq \f(25c2,9a2) － eq \f(16c2,9b2) ＝1，即 eq \f(25（a2＋b2）,9a2) － eq \f(16（a2＋b2）,9b2) ＝1，化简得 eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(4,5) ，所以e2＝1＋ eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(9,5) ，所以e＝ eq \f(3\r(5),5) .
方法二 由前面方法一得A( eq \f(5,3) c，－ eq \f(2,3) y0)，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝4c2，所以|AF1|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c＋c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)y0))\s\up12(2)) ＝ eq \r(\f(64c2,9)＋\f(4y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)) ＝ eq \r(\f(64c2,9)＋\f(16c2,9)) ＝ eq \f(4\r(5)c,3) ，|AF2|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)y0))\s\up12(2)) ＝ eq \r(\f(4c2,9)＋\f(4y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)) ＝ eq \r(\f(4c2,9)＋\f(16c2,9)) ＝ eq \f(2\r(5)c,3) ，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即 eq \f(4\r(5)c,3) － eq \f(2\r(5)c,3) ＝2a，即 eq \f(\r(5),3) c＝a，所以双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(3,\r(5)) ＝ eq \f(3\r(5),5) .
方法三 由F2A＝－ eq \f(2,3) F2B可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝ eq \f(2,3) |F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝ eq \r(|AB|2－|BF1|2) ＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则 eq \f(1,2) |AB|·|F1D|＝ eq \f(1,2) |F1A|·|F1B|，即 eq \f(1,2) ×5m×|F1D|＝ eq \f(1,2) ×4m×3m，所以|F1D|＝ eq \f(12,5) m，所以|BD|＝ eq \r(|BF1|2－|F1D|2) ＝ eq \f(9,5) m，所以|F2D|＝ eq \f(6,5) m，则|F1F2|＝ eq \r(|F1D|2＋|F2D|2) ＝ eq \f(6\r(5),5) m＝2c，即c＝ eq \f(3\r(5),5) m，所以e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(3\r(5),5) .
13.
C 由题意，知点N在双曲线的右支上，不妨设点N在第一象限，如图．设切点为点A，连接DA，则DA⊥MN，易知|DA|＝a，|DF1|＝c，则|AF1|＝ eq \r(c2－a2) ＝b.过点F2作F2B⊥MN交直线MN于点B，则F2B∥DA.又因为点D为F1F2的中点，所以|F2B|＝2|DA|＝2a，|F1B|＝2|AF1|＝2b.由cs ∠F1NF2＝ eq \f(3,5) ，得sin∠F1NF2＝ eq \f(4,5) ，tan ∠F1NF2＝ eq \f(4,3) ，所以|F2N|＝ eq \f(|F2B|,sin ∠F1NF2) ＝ eq \f(5a,2) ，|BN|＝ eq \f(|F2B|,tan ∠F1NF2) ＝ eq \f(3a,2) ，所以|F1N|＝|F1B|＋|BN|＝2b＋ eq \f(3a,2) .由双曲线的定义，得|F1N|－|F2N|＝2a，则2b－a＝2a，即 eq \f(b,a) ＝ eq \f(3,2) .所以双曲线C的离心率e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2)) ＝ eq \r(1＋\f(9,4)) ＝ eq \f(\r(13),2) .故选C.
14．D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9)＝1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＝1)) ，两式作差，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9) ，即(x1－x2)(x1＋x2)＝ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9) ，化简得 eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）) ＝9，即 eq \f(y1－y2,x1－x2) · eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2)) ＝kAB· eq \f(y0,x0) ＝9，因此kAB＝9· eq \f(x0,y0) .
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9× eq \f(1,1) ＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,2) ＝－ eq \f(9,2) ＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9× eq \f(1,3) ＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,－4) ＝ eq \f(9,4) <3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.
15. eq \r(5) (答案不唯一)
解析：双曲线C的一条渐近线与C没有公共点，所以可令 eq \f(b,a) ＝2，则e＝ eq \r(1＋（\f(b,a)）2) ＝ eq \r(5) .
16. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞))
解析：由题意，|OP|＝ eq \r(2ab) ，又|OP|≥a，
则 eq \r(2ab) ≥a，即2ab≥a2，得2b≥a，4b2＝4(c2－a2)≥a2，所以 eq \f(c2,a2) ≥ eq \f(5,4) ，
所以e≥ eq \f(\r(5),2) ，即e的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞)) .