2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练46双曲线

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练46双曲线，共7页。
一、选择题
1．平面内到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为( )
A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,9)＝1
C． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1 D． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1
答案：D
解析：由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1.
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( )
A．19 B．26 C．43 D．50
答案：B
解析：x2－y2＝9可化为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,9)＝1，
∴a＝3，由双曲线的定义知
|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，
∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.
3．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A． eq \f(\r(2),2) B．1
C． eq \r(2) D．2
答案：C
解析：因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝ eq \r(2)a，所以双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(2).故选C.
4．若a>1，则双曲线 eq \f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．( eq \r(2)，＋∞) B．( eq \r(2)，2)
C．(1， eq \r(2)) D．(1，2)
答案：C
解析：∵c2＝a2＋1，∴e2＝ eq \f(c2,a2)＝ eq \f(a2＋1,a2)＝1＋ eq \f(1,a2)，
又a2>1，∴0< eq \f(1,a2)0)的离心率为 eq \r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(2\r(5),5) C． eq \f(3\r(5),5) D． eq \f(4\r(5),5)
答案：D
解析：根据双曲线的离心率e＝ eq \r(5)＝ eq \f(c,a)，得c＝ eq \r(5)a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2， eq \f(b2,a2)＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
方法一 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,（x－2）2＋（y－3）2＝1))，得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(16,5)，x1x2＝ eq \f(12,5).所以|AB|＝ eq \r(1＋22)|x1－x2|＝ eq \r(5) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))\s\up12(2)－4×\f(12,5))＝ eq \f(4\r(5),5)，故选D.
方法二 则圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝ eq \f(|2×2－3|,\r(22＋（－1）2))＝ eq \f(\r(5),5)，所以|AB|＝2 eq \r(1－d2)＝2 eq \r(1－（\f(\r(5),5)）2)＝ eq \f(4\r(5),5)，故选D.
7．设双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( )
A． eq \f(19,2) B．11 C．12 D．16
答案：B
解析：由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|AF2|－|AF1|＝2a＝4，,|BF2|－|BF1|＝2a＝4，))所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，当AB为通径时，其长度最短，|AB|min＝2· eq \f(b2,2)＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.
8．双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝ eq \f(3,4)相切，则该双曲线的方程为( )
A．x2－ eq \f(y2,3)＝1 B． eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,9)＝1
C． eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,5)＝1 D． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1
答案：A
解析：由题意得到e＝ eq \f(c,a)＝2，∴b＝ eq \r(3)a，则双曲线的渐近线方程为y＝± eq \r(3)x.渐近线与圆(x－a)2＋y2＝ eq \f(3,4)相切，∴ eq \f(|\r(3)a|,2)＝ eq \f(\r(3),2)，又a>0，∴a＝1，b＝ eq \r(3).
则双曲线方程为：x2－ eq \f(y2,3)＝1.
故答案为A.
9．已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
答案：B
解析：∵x2－y2＝1的焦点(± eq \r(2)，0)，e1＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(2)，
∴由题意得 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1的焦点坐标为(± eq \r(2)，0)，e＝ eq \f(\r(2),2)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＝c2＝2，,\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(2),2)，))∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝2.))
∴椭圆方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1.
设P为两曲线右边的交点，由椭圆、双曲线的定义知，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2×2，,|PF1|－|PF2|＝2，))∴|PF1|＝3，|PF2|＝1，
又|F1F2|＝2 eq \r(2)，且|PF2|2＋|F1F2|2＝1＋(2 eq \r(2))2＝1＋8＝9＝|PF1|2，
∴△F1PF2为直角三角形．
二、填空题
10．双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1上一点M到其中一个焦点的距离为7，则点M到另一个焦点的距离为________．
答案：13
解析：由题意，a2＝9，所以a＝3.设点M到另一个焦点的距离为d，由双曲线的定义知，|7－d|＝2a＝2×3＝6，所以d＝1(舍)或d＝13.即点M到另一个焦点的距离为13.
11．已知双曲线 eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 eq \r(3)x＋y＝0，则a＝________．
答案： eq \f(\r(3),3)
解析：∵双曲线 eq \f(x2,a2)－y2＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(x,a)，
∴ eq \f(1,a)＝ eq \r(3)，a＝ eq \f(\r(3),3).
12．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－ eq \f(2,3)F2B，则C的离心率为________．
答案： eq \f(3\r(5),5)
解析：方法一 由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A＝(x1－c，y1)，F2B＝(－c，y0)，因为F2A＝－ eq \f(2,3)F2B，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1－c＝\f(2,3)c,y1＝－\f(2,3)y0))，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\f(5,3)c,y1＝－\f(2,3)y0))，所以A( eq \f(5,3)c，－ eq \f(2,3)y0).
＝( eq \f(8,3)c，－ eq \f(2,3)y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即 eq \f(8,3)c2－ eq \f(2,3)y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝0，解得y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝4c2.
因为点A( eq \f(5,3)c，－ eq \f(2,3)y0)在双曲线C上，所以 eq \f(25c2,9a2)－ eq \f(4y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9b2)＝1，又y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝4c2，所以 eq \f(25c2,9a2)－ eq \f(16c2,9b2)＝1，即 eq \f(25（a2＋b2）,9a2)－ eq \f(16（a2＋b2）,9b2)＝1，化简得 eq \f(b2,a2)＝ eq \f(4,5)，所以e2＝1＋ eq \f(b2,a2)＝ eq \f(9,5)，所以e＝ eq \f(3\r(5),5).
方法二 由前面方法一得A( eq \f(5,3)c，－ eq \f(2,3)y0)，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝4c2，所以|AF1|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c＋c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)y0))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(64c2,9)＋\f(4y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9))＝ eq \r(\f(64c2,9)＋\f(16c2,9))＝ eq \f(4\r(5)c,3)，|AF2|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)y0))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(4c2,9)＋\f(4y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9))＝ eq \r(\f(4c2,9)＋\f(16c2,9))＝ eq \f(2\r(5)c,3)，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即 eq \f(4\r(5)c,3)－ eq \f(2\r(5)c,3)＝2a，即 eq \f(\r(5),3)c＝a，所以双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,\r(5))＝ eq \f(3\r(5),5).
方法三 由＝－ eq \f(2,3)可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝ eq \f(2,3)|F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝ eq \r(|AB|2－|BF1|2)＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则 eq \f(1,2)|AB|·|F1D|＝ eq \f(1,2)|F1A|·|F1B|，即 eq \f(1,2)×5m×|F1D|＝ eq \f(1,2)×4m×3m，所以|F1D|＝ eq \f(12,5)m，所以|BD|＝ eq \r(|BF1|2－|F1D|2)＝ eq \f(9,5)m，所以|F2D|＝ eq \f(6,5)m，则|F1F2|＝ eq \r(|F1D|2＋|F2D|2)＝ eq \f(6\r(5),5)m＝2c，即c＝ eq \f(3\r(5),5)m，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3\r(5),5).
[能力提升]
13．[2024·全国甲卷(理)]已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，且经过点(－6，4)，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3 C．2 D． eq \r(2)
答案：C
解析：方法一 由题可设双曲线的方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).根据已知条件可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝c2＝42，,\f(42,a2)－\f(（－6）2,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝4.))则该双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(4,2)＝2.故选C.
方法二 设该双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，由题知c＝4，2a＝ eq \r(（－6）2＋（4＋4）2)－ eq \r(（－6）2＋（4－4）2)＝4，则a＝2，则该双曲线的离心离e＝ eq \f(c,a)＝2.故选C.
方法三 记A(0，4)，B(0，－4)，C(－6 ，4)，则AB⊥AC，|AB|＝8，|AC|＝6，则|BC|＝10，又因为该双曲线的半焦距c＝4，实轴长2a＝|BC|－|AC|＝4，则a＝2，则该双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝2.故选C.
14．设A，B为双曲线x2－ eq \f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－4))
答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9)＝1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＝1))，两式作差，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)，即(x1－x2)(x1＋x2)＝ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9)，化简得 eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）)＝9，即 eq \f(y1－y2,x1－x2)· eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2))＝kAB· eq \f(y0,x0)＝9，因此kAB＝9· eq \f(x0,y0).
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9× eq \f(1,1)＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,2)＝－ eq \f(9,2)＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9× eq \f(1,3)＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,－4)＝ eq \f(9,4)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为( )
A． eq \r(2) B．2 C． eq \r(5) D． eq \r(7)
答案：D
解析：由双曲线的对称性可知 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1A))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2B))， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1B))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2A))，有四边形AF1BF2为平行四边形，
令 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1A))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2B))＝m，
则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1B))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2A))＝2m，
由双曲线定义可知 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2A))－ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1A))＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1A))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2B))＝m＝2a， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1B))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2A))＝4a，
·＝·cs ∠AF2B＝2a×4a cs ∠AF2B＝4a2，
则cs ∠AF2B＝ eq \f(1,2)，即∠AF2B＝ eq \f(π,3)，故∠F2BF1＝ eq \f(2π,3)，
则有cs ∠F2BF1
＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1B))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2B))2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))2,2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1B))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2B)))
＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c))2,2×4a×2a)＝－ eq \f(1,2)，
即 eq \f(20a2－4c2,16a2)＝－ eq \f(1,2)，即 eq \f(20,16)－ eq \f(4e2,16)＝－ eq \f(1,2)，则e2＝7，由e>1，故e＝ eq \r(7).故选D.
16．[2024·新课标Ⅰ卷]设双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点．若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为____________．
答案： eq \f(3,2)
解析：因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF2|＝|BF2|＝5.又|F1A|＝13，所以|F1F2|＝ eq \r(|F1A|2－|AF2|2)＝ eq \r(132－52)＝12，则c＝6，而2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，所以a＝4，所以离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,2).