人教版七年级下册9.3 一元一次不等式组精练

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1．（2016•宜宾）宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
思路引领：设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件，根据生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，列出不等式组，求出不等式组的解，再根据x为整数，得出有5种生产方案．
解：设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件，根据题意得：
3x+2(20−x)≤522x+4(20−x)≤64，
解得：8≤x≤12，
∵x为整数，
∴x＝8，9，10，11，12，
∴有5种生产方案：
方案1，A产品8件，B产品12件；
方案2，A产品9件，B产品11件；
方案3，A产品10件，B产品10件；
方案4，A产品11件，B产品9件；
方案5，A产品12件，B产品8件；
故选：B．
总结提升：此题考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系，列出不等式组．
2．（2022春•藤县期中）为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对安居琼江河周边污水进行处理．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080t．
（1）求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨．
（2）经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500t，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？
思路引领：（1）根据题意列方程组，解方程组即可；
（2）根据题意，列不等式组，求不等式组的解集，然后取正整数确定购买方案，再求出最小值．
解：（1）设每周每台A，B两种污水处理设备分别可以处理污水x吨和y吨，
根据题意，得x+2y=6402x+3y=1080，
解得x=240y=200，
∴每周每台A种污水设备处理污水240吨，B种污水设备处理污水200吨；
（2）设购买A中污水设备a台，则购买B种污水设备（20﹣a）台，
根据题意，得12a+10(20−a)≤230240a+200(20−a)≥4500，
解不等式组，得252≤a≤15，
∴当a＝13时，A买13台，B买7台；
当a＝14时，A买14台，B买6台；
当a＝15时，A买15台，B买5台．
∵每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元，
∴A买的越少，资金越少，
∴A买13台，B买7台需要的资金最少，
最小值为13×12+7×10＝226万元．
总结提升：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，能根据题意列出二元一次方程组和不等式组是解决本题的关键．
应用2 购买方案
3．（2022•固原校级一模）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．
（1）A，B两种商品的单价分别是多少元？
（2）已知该商店购买A，B两种商品共30件，要求购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A，B两种商品的总费用不超过276元，那么该商店有几种购买方案？
思路引领：（1）A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，根据“购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商店购买m件A商品，则购买（30﹣m）件B商品，根据“购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A，B两种商品的总费用不超过276元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该商店有4种购买方案．
解：（1）设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，
依题意得：60x+30y=108050x+20y=880，
解得：x=16y=4．
∴A商品的单价是16元，B商品的单价是4元．
（2）设该商店购买m件A商品，则购买（30﹣m）件B商品，
依题意得：30−m≤2m16m+4(30−m)≤276，
解得：10≤m≤13，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，13，
∴该商店有4种购买方案．
答：（1）A商品的单价是16元，B商品的单价是4元；（2）该商店有4种购买方案．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
4．（2020•喀喇沁旗模拟）由于新冠肺炎影响，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案？
（3）请你通过计算说明，哪种方案最省钱？
思路引领：（1）设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，根据“1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型口罩m个，则购进B型口罩（50﹣m）个，根据“购进A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案；
（3）利用总价＝单价×数量，可分别求出3个购买方案所需费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，
依题意得：x+3y=263x+2y=29，
解得：x=5y=7．
答：一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为7元．
（2）设购进A型口罩m个，则购进B型口罩（50﹣m）个，
依题意得：m≥35m≤3(50−m)，
解得：35≤m≤3712．
又∵m为整数，
∴m可以为35，36，37，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A型口罩35个，B型口罩15个；
方案2：购进A型口罩36个，B型口罩14个；
方案3：购进A型口罩37个，B型口罩13个．
（3）选择方案1所需费用为5×35+7×15＝280（元），
选择方案2所需费用为5×36+7×14＝278（元），
选择方案3所需费用为5×37+7×13＝276（元）．
∵280＞278＞276，
∴方案3最省钱．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总价＝单价×数量，分别求出各购买方案所需费用．
应用3 调运方案
5．（2021•雨花区校级开学）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式运营，为市民出行提供了方便．磁浮快线实行一人一票制，目前发行的车票种类分为机售票和储值卡票．磁浮高铁站——磁浮机场站单程票价：机售成人票20元/张，机售儿童票10元/张（儿童票不再享受其他优惠），持储值卡的乘客无需购买机售票，直接刷卡进站上车，并享受机售成人票价的九折优惠．
（1）星辰旅行社接待了一个来自外省的旅游团，从机场站乘磁浮列车去高铁站，导游提前为游客买好了机售成人票和机售儿童票共计50张，购票总费用为920元，则导游本次购买机售成人票和机售儿童票各多少张？
（2）磁浮公司票务处在统计每趟列车票务情况时，发现有一趟列车售出从高铁站至机场站机售票和储值卡票共计120张，其中包含有20张机售儿童票，总票款不超过2120元，则这120张票中储值卡票至少有多少张？
思路引领：（1）设导游本次购买机售成人票x张，机售儿童票y张，利用总价＝单价×数量，结合购买50张机售票共花费920元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设这120张票中包含m张储值卡票，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2120元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
解：（1）设导游本次购买机售成人票x张，机售儿童票y张，
根据题意得：x+y=5020x+10y=920，
解得：x=42y=8．
答：导游本次购买机售成人票42张，机售儿童票8张；
（2）设这120张票中包含m张储值卡票，
根据题意得：20（120﹣20﹣m）+10×20+20×0.9m≤2120，
解得：m≥40，
∴m的最小值为40．
答：这120张票中储值卡票至少有40张．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
6．（2021春•长沙县期末）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造．根据预算，改造1所A类学校和2所B类学校的校舍共需资金330万元，改造2所A类学校和3所B类学校的校舍共需资金540万元．
（1）改造1所A类学校的校舍和1所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？
（2）某县A、B两类学校共有9所需要改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若地方财政投入的资金将不少于240万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，而国家财政拨付资金计划改造不少于2所A类学校．
①若设改造的A类学校有m所，则改造的B类学校用m可表示为 （9﹣m） 所；
②请你通过计算求出符合要求的改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？
思路引领：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍需资金y万元，根据“改造1所A类学校和2所B类学校的校舍共需资金330万元，改造2所A类学校和3所B类学校的校舍共需资金540万元”，即可得出改造1所A类学校的校舍和1所B类学校的校舍所需资金；
（2）①由该县A、B两类学校共有9所需要改造，结合改造的A类学校有m所，即可得出改造的B类学校有（9﹣m）所；
②根据“国家财政拨付资金计划改造不少于2所A类学校，且地方财政投入的资金将不少于240万元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，结合m为正整数，即可得出各改造方案．
解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍需资金y万元，
依题意得：x+2y=3302x+3y=540，
解得：x=90y=120．
答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍需资金120万元．
（2）①设改造的A类学校有m所，则改造的B类学校有（9﹣m）所．
故答案为：（9﹣m）．
②依题意得：m≥220m+30(9−m)≥240，
解得：2≤m≤3．
又∵m为正整数，
∴m可以取2，3．
∴共有2种改造方案．
方案1：改造A类学校2所，B类学校7所；
方案2：改造A类学校3所，B类学校6所．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
应用5 租车方案
7．（2017•绵阳）江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
思路引领：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据总费用＝大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各方案，再结合一次函数的性质即可解决最值问题．
解：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，
根据题意得：x+3y=1.42x+5y=2.5，
解得：x=0.5y=0.3．
答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．
（2）设大型收割机用m台，总费用为w元，则小型收割机用（10﹣m）台，
根据题意得：w＝300×2m+200×2（10﹣m）＝200m+4000．
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，
∴2×0.5m+2×0.3(10−m)≥8200m+4000≤5400，
解得：5≤m≤7，
∴有三种不同方案．
∵w＝200m+4000中，200＞0，
∴w值随m值的增大而增大，
∴当m＝5时，总费用取最小值，最小值为5000元．
答：有三种方案，当大型收割机用5台、小型收割机用5台时，总费用最低，最低费用为5000元．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量间的关系，找出总费用w与使用大型收割机m台之间的函数关系式．