类型一利用转化思想进行推理
1.【跨学科·物理】下图是一个潜望镜模型示意图,AB,CD代表平面镜,并且AB与CD平行,光线经过镜子反射时,满足∠1=∠2,∠3=∠4.请说明离开潜望镜的光线MN与进入潜望镜的光线EF平行的理由.
类型二利用方程思想求角度
2.已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,AB∥CD,∠D=2∠3+10°,∠CBD=65°.
(1)试说明:∠1=∠2;
(2)求∠C的度数.
类型三利用分类讨论思想求角度
3.如图,将一副三角板的两个直角顶点C叠放在一起,其中∠A=30°,∠B=60°, ∠D=∠E=45°.
(1)若∠ACE=35°,求∠BCD的度数;
(2)试猜想∠ACE与∠BCD的数量关系,并说明理由;
(3)若按住三角板ABC不动,绕顶点C转动三角板DCE,试探究∠ACD等于多少度时,CE∥AB,请直接写出结果.
4.已知:如图,点O在∠BAC的一边AC上,过点O的直线MN∥AB,OD平分∠AON,OD⊥OE.
(1)若∠A=40°,求∠DOC的度数;
(2)猜想∠COE和∠DON的关系,并说明理由;
(3)当∠A= 度时,ON分∠AOE成1∶2两部分.
第4章相交线与平行线
专项素养综合全练(七)
平行线的性质与判定中的数学思想方法
全练版P71
1.解析 ∵AB∥CD,∴∠2=∠3,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1=∠2=∠3=∠4,∴∠1+∠2=∠3+∠4,∵∠1+∠2+∠5=180°,∠3+∠4+∠6=180°,∴∠5=∠6.∴MN∥EF.
2.解析 (1)∵AE⊥BC,FG⊥BC,∴AE∥FG,∴∠A=∠2,∵AB∥CD,∴∠A=∠1,∴∠1=∠2.
(2)设∠3=x°,则∠D=(2x+10)°,∠ABD=∠3+∠CBD=(x+65)°,∵AB∥CD,∴∠D+∠ABD=180°,∴(2x+10)°+(x+65)°=180°,∴x=35,
∴∠3=35°,∵AB∥CD,∴∠C=∠3=35°.
方法解读当题目中的数量关系较为复杂时,常设未知数构造方程来解决.
3.解析 (1)∵∠BCA=∠ECD=90°,∠ACE=35°,
∴∠DCA=∠ECD-∠ACE=90°-35°=55°.
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°+55°=145°.
(2)∠ACE+∠BCD=180°.
理由:∵∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-∠DCA,
∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°+∠DCA,
∴∠ACE+∠BCD=90°-∠DCA+90°+∠DCA=180°.
(3)120°或60°.
详解:如图,当∠A=∠ACE时,CE∥AB,
此时∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠ECD=30°+90°=120°;
如图,当∠A+∠ACE=180°,即∠ACE=180°-∠A=150°时,CE∥AB,
此时∠ACD=∠ACE-∠DCE=150°-90°=60°.
综上所述,当∠ACD=120°或60°时,CE∥AB.
方法解读题中图形存在多种情况时,常利用分类讨论思想求解.
4.解析 (1)∵MN∥AB,∠A=40°,∴∠AON=140°,
∵OD平分∠AON,∴∠AOD=12∠AON=70°,
∴∠DOC=180°-∠AOD=110°.
(2)∠COE+∠DON=90°.理由如下:
∵OD平分∠AON,∴∠DON=∠AOD.
∵OD⊥OE,∴∠EOD=90°,∴∠COE+∠AOD=90°,
∴∠COE+∠DON=90°.
(3)当∠EON∶∠AON=1∶2时,∠EON=12∠AON,
∵OD平分∠AON,∴∠DON=12∠AON=∠EON,
∵∠EON+∠DON=∠DOE=90°,∴∠EON=∠DON=12∠DOE=45°,
∴∠AON=2∠EON=90°,∵MN∥AB,∴∠A=180°-∠AON=90°.
当∠EON∶∠AON=2∶1时,∠AON=12∠EON,
∵ OD平分∠AON,
∴∠DON=12∠AON,∴∠DON=14∠EON,
∵∠EON+∠DON=∠EON+14∠EON=∠DOE=90°,
∴∠EON=45∠DOE=45×90°=72°,
∴∠AON=12∠EON=36°,
∵MN∥AB,∴∠A=180°-∠AON=144°.
综上所述,当∠A=90°或144°时,ON分∠AOE成1∶2两部分.故答案为90或144.