专题44 特殊的四边形-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？
【解答】解：AP＝AQ．理由如下：
如图，取BC的中点H，连接MH，NH．
∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=12EC．
∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=12BD．
∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM；
∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，
同理∠HNM＝∠QPA．
∴△APQ为等腰三角形，
∴AP＝AQ．
【巩固】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，求线段BC的长．
【解答】解：设EF＝x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD＝2x，AD∥EF，
∴∠CAD＝∠CEF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，
∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC＝90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM＝45°，
连接BE，
∵AB＝OB，AE＝OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM＝45°，
∴BM＝EM＝MC＝x，
∴BM＝FE，
易得△ENF≌△MNB，
∴EN＝MN=12x，BN＝FN＝5，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，
即52＝x2+（12x）2，
解得，x＝25，
∴BC＝2x＝45．
答：线段BC的长为45．
二、矩形中的折叠
【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 ．
【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，
设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，
由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，
即（10﹣x）2+62＝x2，
解得x＝6.8，
故答案为：6.8．
【巩固】如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，
（1）如图1，将△ADE沿AE翻折，使点D的对应点M恰好在BC边的中点，求ADAB的值；
（2）如图2，若点E为CD的中点，过点A作AF⊥BE于F，连接DF，求证DF＝BC．
【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
由折叠可得AD＝AM，
∴BC＝AM，
又∵M是BC的中点，
∴BM=12BC=12AM，
又∵∠B＝90°，
∴Rt△ABM中∠BAM＝30°，
∴BM=12AM，AB=3BM，
∴AMAB=2BM3BM=233，即ADAB=233；
（2）证明：如图2所示，延长BE，AD，交于点G，则∠BEC＝∠GED，
∵AG∥BC，
∴∠G＝∠CBE，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△GDE中，
∠BEC=∠GED∠CBE=∠GCE=DE，
∴△BCE≌△GDE（AAS），
∴DG＝BC＝AD，即D是AG的中点，
又∵AF⊥BG，
∴Rt△AFG中，DF=12AG＝AD，
又∵矩形ABCD中，AD＝BC，
∴DF＝BC．
三、直角三角形斜边上的中线
【典例】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A．1B．1.3C．1.2D．1.5
【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵12AP•BC=12AB•AC，
∴AP•BC＝AB•AC．
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝2.4，
∴AM＝1.2；
故选：C．
【巩固】
如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，四边形ABDE为平行四边形，若AD＝6，BC＝8，则CE的长为 ．
【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，且BF＝CD，连接DF，CF，AF，
∵BF∥CD，DC＝BF，
∴四边形BDCF是平行四边形，且∠BDC＝90°，
∴四边形BDCF是矩形，
∴BC＝DF＝8，CF∥BD，CF＝BD，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD＝AE，
∴AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵四边形BDCF是矩形，
∴∠DBC＝∠DFC，∠FCD＝90°，
∴∠DFC＝∠DAC，
∴点A，点F，点C，点D四点共圆，
∴∠FAD+∠FCD＝180°，
∴∠FAD＝90°，
∴AF=DF2-AD2=82-62=27，
∴EC＝27，
故答案为：27．
四、菱形中最值问题
【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=14S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为 ．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，
∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AE=12AB＝2，
∴S△PBC=14S菱形ABCD=14×4×2＝2，
设点P到BC的距离为h，
∴h＝1，
即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，
作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，
则此时，PB+PC的值最小，PB+PC的最小值＝CG，
∵BG⊥l，
∴BG⊥BC，
∴∠CBG＝90°，BG＝2h＝2，
∴CG=22+42=25，
【巩固】
如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+PB2的值最小时，线段PD长是 ．
【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP，
由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝∠ADP＝30°，
∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE，
∴AP＝CP，
∴PC+PB2=AP+PE，
∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，
∴此时，PC+PB2的值最小，AP⊥AD，
∵Rt△ABE中，AB＝2，
∴BE＝1，AE=3，
∴Rt△BEP中，PE=133，
∴AP=233，
∵∠ADP＝30°，
∴Rt△ADP中，PD＝2AP=433，
故答案为：433．
巩固练习
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论．其中错误的是（ ）
A．∠GEB与∠GFB一定互补
B．点G到边AB，BC的距离一定相等
C．点G到边AD，DC的距离可能相等
D．点G到边AB的距离的最大值为22
【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB+∠GFB＝180°，
故A正确；
B、过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，
∵GE＝GF且∠EGF＝90°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEF+∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°﹣∠EFB，
∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB，
∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°，
∴∠GEM＝∠GFN，
在△GEM和△GFN中，
∠GME=∠GNF∠GEM=∠GFNGE=GF，
∴△GEM≌△GFN（AAS），
∴GM＝GN，
故B正确；
C、∵AB＝4，AD＝5，并由B知，
点G到边AD，DC的距离不相等，
故C错误：
D、在直角三角形EMG中，MG≤EG，当点E、M重合时EG最大，
∵EF＝AB＝4，
∴GE＝EB＝BF＝FG＝4×22=2 2，
故D正确．
故选：C．
2．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当ACAB= 时，四边形ADFE是平行四边形．
【解答】解：当ACAB=32时，四边形ADFE是平行四边形．
理由：∵ACAB=32，
∴∠CAB＝30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB＝60°，AE＝AB，
∴∠FEA＝30°，又∠BAC＝30°，
∴∠FEA＝∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
∠ACB=∠EFA∠BAC=∠AEFAB=AE，
∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC＝30°，∠DAC＝60°，
∴∠DAB＝90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF＝AC＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：32．
3．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 ．
【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，
∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，
∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，
∵点H是AD的中点，
∴AH＝DH＝1，
∴CH=DH2+CD2=1+1=2，
∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，
∴OH=12AD＝1，
在△OCH中，CO＜OH+CH，
当点H在OC上时，CO＝OH+CH，
∴CO的最大值为OH+CH=2+1，
故答案为：2+1．
4．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 ．
【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝120°，
∴∠HAD＝60°，
∵DH⊥AB，
∴AH=12AD，DH=32AD，
∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
∴AE＝2，AH＝2，
∴EH＝4，DH＝23，
在Rt△EHD中，DE=EH2+DH2=42+(23)2=27，
∴EF+BF的最小值为27．
故答案为：27．
5．如图，在矩形ABCD中，AD=3AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①点M、N的运动速度不相等；
②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；
③S△AMN逐渐减小；
④MN2＝BM2+DN2．
【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，
∵在矩形ABCD中，AD=3AB，
∴∠ADB＝∠DAC＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DAO＝∠NOA＝30°，
∴AN＝ON＝DN•sin30°=12DN，
∵AN+DN＝AD，
∴AN=13AD，
当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，
∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，
∴M点运动的距离是MM'=12AB，
N点运动的距离是NN'=12AD-AN=12AD-13AD=16AD，
又∵AD=3AB，
∴NN'=16×3AB=36AB=33MM'，
∴N点的运动速度是M点的33，
故①正确，
当M在M'位置时，
∵∠OM'A＝90°，∠N'AB＝90°，∠M'ON'＝90°，
∴四边形AM'ON'是矩形，
∴此时S△AMN＝S△MON，
故②正确，
令AB＝1，则AD=3，设BM＝x，则N点运动的距离为33x，
∴AN=13AD+33x=33+33x，
∴S△AMN=12AM•AN=12（AB﹣BM）•AN=12（1﹣x）（33+33x）=36-36x2，
∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数36-36x2的图象随x增加而减小，
∴S△AMN逐渐减小，
故③正确，
∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB•BM+BM2+AD2﹣2AD•DN+DN2＝（AB2﹣2AB•BM+3AB2﹣23AB•DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣23AB•DN）+BM2+DN2，
∵AN=13AD+33BM=33AB+33BM，
∴DN＝AD﹣AN=3AB﹣（33AB+33BM）=233AB-33BM，
∵23AB•DN＝23AB×（233AB-33BM）＝4AB2﹣2AB•BM，
∴MN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣23AB•DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，
故④正确，
方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，
∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，
∴△OMB≌△OM'D（ASA），
∴BM＝DM'，OM＝OM'，
连接NM'，
∵NO⊥MM'，
则MN＝NM'，
∵NM'2＝DN2+DM'2，
∴MN2＝BM2+DN2，
故④正确，
故答案为：①②③④．
6．如图，菱形ABCD，AB＝5，E在BC上，BE＝4，过点E作EG⊥AD于G，交BD于F，连接DE，若∠A＝4∠DEG，则EF的长为 ．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥BD，交BC的延长线于点M，
设∠DEG＝α，则∠A＝4α，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣4α，∠ABD＝∠CBD＝∠BDC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDC＝90°﹣2α，
∴∠M＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，∠CDM＝90°﹣∠BDC＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∴∠M＝∠CDM，
∴CD＝CM＝5，
∵EG⊥AD，
∴∠BEG＝90°，
∴∠DEM＝180°﹣∠BEG﹣∠DEG＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∴∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣∠M＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，
∴∠DEM＝∠EDM，
∴DM＝EM＝EC+CM＝1+5＝6，
∴BM＝BC+CM＝5+5＝10，
∴BD=BM2-DM2=102-62=8，
∵∠BEF＝∠BDM＝90°，∠FBE＝∠MBD，
∴△FBE∽△MBD，
∴EFDM=BEBD，即EF6=48，
∴EF＝3．
故答案为：3．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 ．
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1＝BP1，
当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2，
∴P1P2∥EC且P1P2=12CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP，
由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P=12CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，
∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°，
∵P1P2∥EC，
∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°，
∴∠P2P1D＝90°，
∴DP的长DP1最小，DP2最大，
∵CD＝CP1＝DE＝2，
∴DP1＝22，CE＝22，
∴P1P2=2，
∴DP2=(22)2+(2)2=10，
故答案为：22≤PD≤10．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：四边形BDFG是菱形：
（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求四边形BDFG的面积．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，
∴BD=12AC，
∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF=12AC，
∴BD＝DF；
∴平行四边形BDFG是菱形；
（2）解：作DH⊥AG于H，如图所示：
∵四边形BDFG是菱形，
∴GF＝BD，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∵点D是AC中点，
∴GF＝BD=12AC＝AD＝2，
∴∠DBA＝∠BAC＝30°，
又∵AG∥BD，
∴∠BAF＝∠DBA＝30°，
∴∠DAF＝60°，
∵DH⊥AG，
∴∠ADH＝30°，
∴AH=12AD＝1，DH=3AH=3，
∴S菱形BDFG＝GF•DH＝2×3=23．
9．已知四边形ABCD是矩形．
（1）如图1，E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG．
①求证：DG＝CG；
②若BC＝2AB，求∠DGC的大小；
（2）如图2，AB＝BC＝6，M、N、P分别是AB、CD、AD上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接MP，PQ，若PQ⊥MP，直接写出CN的长．
【解答】解：（1）①如图1，过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，
∵CE垂直平分BF，
∴GB＝GF，
∴AM＝BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADN＝∠MND＝90°，
∴四边形ADNM是矩形，
∴DN＝AM=12AB=12CD，
∵MN垂直平分CD，
∴DG＝CG；
②连接CF，如图1，
∵CE垂直平分BF，
∴CF＝CB．
∴∠BCG＝∠FCG=12∠BCF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDF＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∵BC＝2AB，
∴CF＝2CG，
延长CD至H，使得DH＝CD，连接FH，则CF＝CH，
∴AD垂直平分CH，
∴FH＝FC＝CH，
∴∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝90°﹣∠FCD＝30°，
∴∠BCG＝∠FCG＝15°，
∴∠GDC＝∠GCD＝∠BCD﹣∠BCG＝75°，
∴∠CGD＝180°﹣75°×2＝30°；
（3）∵MN垂直平分BP，
∴MB＝MP，
∴∠MBP＝∠MPB，
∵MP⊥PQ，
∴∠MPQ＝∠A＝90°，
∴∠ABP+∠APB＝∠BPM+∠BPQ＝90°，
∴∠BPA＝∠BPQ，
作BS⊥PQ于S，连接BQ，如图2，
∴BA＝BS，
∵BP＝BP，
∴Rt△PBA≌Rt△PBS（HL），
∴AP＝PS，
∵AB＝BC，
∴BS＝BC，
∵BQ＝BQ，
∴Rt△QBS≌Rt△QBC（HL），
∴QS＝QC＝3，
∴PQ＝AP+CQ，
设AP＝x，PD＝6﹣x，PQ＝3+x，
在Rt△PQD中，DQ＝3，由勾股定理得，（3+x）2﹣（6﹣x）2＝32，
解得，x＝2，
∴AP＝2，
设BM＝MP＝y，AM＝6﹣y，
在Rt△AMP中由勾股定理得，y2﹣（6﹣y）2＝22，
解得，y=103，
∴BM=103，
作NK⊥AB于K，如图2，得四边形AKND是矩形，
∴AB＝AD＝KN，∠A＝∠MKN＝90°，
∵MN⊥BP，
∴∠ABP+∠KMN＝∠KMN+∠KNM＝90°，
∴∠ABP＝∠KNM，
∴△ABP≌△KNM（ASA），
∴AP＝KM＝2，
∴CN＝BK＝BM﹣MK=103-2=43；
另一解法：过N点作NK⊥AB于点K，得四边形AKND是矩形，
∴AB＝AD＝MN，∠A＝∠MKN＝90°，
∵MN⊥BP，
∴∠ABP+∠KMN＝∠KMN+∠KNM＝90°，
∴∠ABP＝∠KNM，
∴△ABP≌△KNM（ASA），
∴AP＝KM，
∵MN垂直平分BP，
∴MB＝MP，
不妨设BM＝MP＝x，则AM＝6﹣x，
∴AP=x2-(6-x)2=12x-36，
∴DP＝6-12x-36，
∵Q是CD的中点，
∴DQ＝3，
∵PQ⊥MP，∠A＝∠D＝90°，
∴∠APM+∠AMP＝∠APM+∠DPQ＝90°，
∴∠AMP＝∠DPQ，
∴△APM∽△DQP，
∴APDQ=AMDP，即12x-363=6-x6-12x-36，
解得，x＝6或103，
∴CN＝BK＝AB﹣AM﹣MK＝6﹣（6﹣x）-12x-36=x-12x-36=0或43．
舍去CN＝0，
∴CN=43．
10．已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E．如果CE＝5，OC、OE的长是关于x的方程x2+（m﹣1）x+12＝0的两个根，并且OC＞OE．
（1）求点D的坐标；
（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，﹣20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由．
【解答】解：（1）∵OC、OE的长是关于x的方程x2+（m﹣1）x+12＝0的两个根，
设OC＝x1，OE＝x2，x1＞x2．
∴x1+x2＝﹣（m﹣1）．x1•x2＝12．
在Rt△COE中，
∵OC2+OE2＝CE2，CE＝5．
∴x12+x22＝52，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝25．
∴[﹣（m﹣1）]2﹣2×12＝25，
解这个方程，得m1＝﹣6，m2＝8．
∵OC+OE＝x1+x2＝﹣（m﹣1）＞0，
∴m＝8不符合题意，舍去．
∴m＝﹣6．
解方程x2﹣7x+12＝0，得
x1＝4，x2＝3．
∴OC＝4，OE＝3．
△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D．过D点作DG⊥x轴于G．DH⊥y轴于H．
∴∠BCA＝∠ACD．
∵矩形OABC中，CB∥OA．
∴∠BCA＝∠CAE．
∴∠CAE＝∠ACD．
∴EC＝EA．
在Rt△COE与Rt△ADE中，
∵OC=ADEC=EA
∴Rt△COE≌Rt△ADE．
∴ED＝3，AD＝4，EA＝5．
在Rt△ADE中，DG•AE＝ED•AD，
∴DG=ED⋅ADAE=125，
在△CHD中，OE∥HD，
∴CECD=CEHD，55+3=3HD，
∴HD=245，
由已知条件可知D是第四象限的点，
∴点D的坐标是（245，-125）；
（2）∵F是AC的中点，
∴点F的坐标是（4，2），
设过D、F两点的直线的解析式为y＝kx+b．
∴4k+b=2245k+b=-125，解得k=-112b=24，
∴过点D、F两点的直线的解析式为y=-112x+24，
∵x＝8，y＝﹣20满足上述解析式，
∴点（8，﹣20）在过D、F两点的直线上．
11．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作
等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到
线段AM，连接FM．
（1）线段AO的长为 ；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM=33AC；
（3）连接EM．若△AFM的周长为329，请直接写出△AEM的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=12BD＝12，
在Rt△AOB中，AB＝13，根据勾股定理得，AO=AB2-OB2=132-122=5，
故答案为5；
（2）由旋转知，AM＝AF，∠MAF＝60°，
∴△AMF是等边三角形，
∴∠AFM＝60°，
∵点M，F，C三点在同一条直线上，
∴∠AFC＝180°﹣∠AFM＝120°，
∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，
∴OA＝OC=12AC，
在△AOF和△COF中，OA=OC∠AOF=∠COF=90°OF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠AFO=12∠AFC＝60°，
在Rt△AOF中，sin∠AFO=OAAF，
AF=OAsin∠AFO=OAsin60°=233OA=33AC，
∴AM=33AC；
（3）①当点F在线段OB上时，如图，由（2）知，△AMF是等边三角形，
∵△AFM的周长为329，
∴AF=29，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得，OF=AF2-AO2=2，
∴BF＝OB﹣OF＝12﹣2＝10，
连接EM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝13，∠BAE＝60°，
由（1）知，AM＝AF，∠FAM＝60°，
∴∠BAE＝∠EAM，
∴∠EAM＝∠BAF，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∴EM＝BF＝10，∠AEM＝∠ABF，
过点M作MN⊥AE于N，
∴∠MNE＝∠AOB＝90°，
∴△MNE∽△AOB，
∴MNAO=EMAB，
∴MN5=1013，
∴MN=5013，
∴S△AEM=12AE•MN=12×13×5013=25，
②当点F在OD上时，同①的方法得，MN=7013，
S△AEM=12AE•MN=12×13×7013=35，
即：△AEM的面积为25或35．
12．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．
（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB＝4，求线段EC的长；
（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AC=3，请你直接写出DM+CN的最小值．
【解答】解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABD=12∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
由勾股定理得：DE=42-22=23，
∵DC∥AB，
∴∠EDC＝∠DEA＝90°，
在Rt△DEC中，DC＝4，
EC=DC2+DE2=42+(23)2=27；
（2）如图2，延长CD至H，使DH＝CD，连接NH、AH，
∵AD＝CD，
∴AD＝DH，
∵CD∥AB，
∴∠HDA＝∠BAD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AH＝AD，∠HAD＝60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，∠NAM＝60°，
∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM，
∴∠HAN＝∠DAM，
在△ANH和△AMD中，
∵AH=AD∠HAN=∠DAMAN=AM，
∴△ANH≌△AMD（SAS），
∴HN＝DM，
∵D是CH的中点，Q是NC的中点，
∴DQ是△CHN的中位线，
∴HN＝2DQ，
∴DM＝2DQ．
（3）如图2，由（2）知，HN＝DM，
∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，
即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，
此时，点D和点Q重合，
即：CN+DM的最小值为CH，
如图3，
由（2）知，△ADH是等边三角形，
∴∠H＝60°．
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD=12∠BCD=12∠BAD＝30°，
∴∠CAH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ACH中，CH=ACcs30°=2，
∴DM+CN的最小值为2．