沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第9讲-一次方程(组)和一次不等式(组)单元测试(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第9讲-一次方程(组)和一次不等式(组)单元测试(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果a＞b，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．1﹣a＞1﹣bC．D．﹣2a＞﹣2b
4．小杰妈妈去银行存款，银行一年定期储蓄的年利率是1.5%，小杰妈妈两年后取出的本利和共61800元，设她存入银行的本金为x元，那么下列方程中，正确的是（ ）
A．x•1.5%×2＝61800B．x+x•1.5%×2＝61800
C．x•（1+1.5%）×2＝61800D．（1+1.5%x）×2＝61800
5．不等式组有两个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．若关于x的方程x的解是正整数，则正整数m的值为 _____．
8．若x＞y，用“＞”或“＜”填空：1-x_________1-y
9．两个长方形的长与宽的比都是2：1，大长方形的宽比小长方形的宽多3cm，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，则大长方形的周长是___________cm．
10．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，要使OB＝2OA，要经过______秒．
11．长方形的一边长是4，另一边长是x＋3，它的面积不大于32，则x的取值范围是_______．
12．已知不等式组，则它的正整数解是__．
13．在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是_______．
14．将方程36x-2y=56变形为用含x的式子表示y的形式是_______．
15．《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．则每只雀的重量为______两．
16．已知不等式-的正整数解恰是1，2，3，4，那么的取值范围是_________________.
三、解答题
17．一件商品的原价是6000元，打八折后还获利20%，求打折后的售价及进价．
18．解方程：＝﹣6．
19．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
20．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来，再写出最大负整数解．
21．茜茜数码专卖店销售容量分别为、、、和的五种移动盘，2020年10月1日的销售情况如下表：
(1)由于不小心，表中销售数量中，和销售数量被污染，但知道的销售数量比的销售数量的2倍少2只，且5种盘的销售总量是30只．求和的销售数量．
(2)若移动盘的容量每增加，其销售单价增加10元，已知2020年10月1日当天销售这五种盘的营业额是2730元，求容量为的移动盘的销售单价是多少元？
22．解关于x的方程＝0，我们也可以这样来解：
（）x＝0，
因为≠0．
所以方程的解：x＝0．
请按这种方法解下列方程：
(1)＝0；
(2)＝10．
23．小丽从家到学校有公路和小路两种路径，已知公路比小路远320米．早上小丽以61米/分钟的速度从公路去上学，10分钟后，爸爸发现她的作业忘带了，就以90米/分钟的速度沿小路去追赶，结果恰好在学校门口追上小丽．问小丽从家到学校的公路有多少米？
24．今年“六一”前夕，某文具店花费2200元采购了A、B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如表：
若两种型号的文具按表中售价全部售完，则该商店可以盈利600元．
(1)问该商店当初购进A、B两种型号文具各多少个？
(2)“六一”当天，A、B两种型号文具各剩下20%还未卖出，文具店老板在第二天降价出售，且两种型号文具每件降了同样的价格，要使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，那么这两种型号的文具每件最多降多少元？
25．求不等式组的自然数解．并把它的解集在数轴上表示出来．
26．小明将已经到期的存了3年的3000元压岁钱取出，本利和为3247.5元，求他的存款的年利率．
盘容量
1
2
4
8
16
销售数量（只
5
6
3
型号
进价（元/个）
售价（元/个）
A型
10
12
B型
15
20
第9讲-一次方程（组）和一次不等式（组）单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用一元一次方程定义进行解答即可．
【详解】
解：A、分母含未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、含有二个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意；
C、是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、是一元一次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
2．已知，则下列各式中，不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据不等式的性质进行解答．
【详解】
解：A、在不等式的两边同时乘以3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意．
C、，则不一定成立，如当，时，，故本选项符合题意．
D、在不等式的两边同时减去1，不等式仍成立，即，所以，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3．如果a＞b，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．1﹣a＞1﹣bC．D．﹣2a＞﹣2b
【答案】A
【分析】
直接利用不等式的基本性质判断即可得出答案．
【详解】
解：A、a＞b两边都减去1得a﹣1＞b﹣1，故本选项正确；
B、a＞b两边都乘以﹣1再加1得1﹣a＜1﹣b，故本选项错误；
C、a＞b两边都乘以得，，故本选项错误；
D、a＞b两边都乘以﹣2得，﹣2a＜﹣2b，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
4．小杰妈妈去银行存款，银行一年定期储蓄的年利率是1.5%，小杰妈妈两年后取出的本利和共61800元，设她存入银行的本金为x元，那么下列方程中，正确的是（ ）
A．x•1.5%×2＝61800B．x+x•1.5%×2＝61800
C．x•（1+1.5%）×2＝61800D．（1+1.5%x）×2＝61800
【答案】B
【分析】
设小明的这笔一年定期存款是x元，根据利息=本金×利率×期限，本息和=本金+利息，列方程即可．
【详解】
解：设她存入银行的本金为x元，则
x+x•1.5%×2＝61800．
故选：B．
【点睛】
本题考查了利息问题，正确理解公式利息=本金×利率×期限是解题的关键．
5．不等式组有两个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，求出即可．
【详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组有两个整数解，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，难度适中．
6．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．
【详解】
解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．
二、填空题
7．若关于x的方程x的解是正整数，则正整数m的值为 _____．
【答案】2或4## 4或2
【分析】
先按照解一元一次方程的方法求出，再由方程的解是正整数，进行求解即可．
【详解】
解：
去分母得：，
去括号得：
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
∵方程的解是正整数，
∴的值为正整数，
∴或，
故答案为：2或4．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．
8．若x＞y，用“＞”或“＜”填空：1-x_________1-y
【答案】
【分析】
根据不等式的性质解答即可．
【详解】
解：∵x＞y，
∴x＞y，
∴-x＜−y，
∴1-x＜1−y，
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
9．两个长方形的长与宽的比都是2：1，大长方形的宽比小长方形的宽多3cm，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，则大长方形的周长是___________cm．
【答案】36
【分析】
设小长方形的宽为x cm，大长方形的宽为y cm，则小长方形的长为2x cm，大长方形的长为2y cm，由题意：大长方形的宽比小长方形的宽多3cm，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】
解：设小长方形的宽为x cm，大长方形的宽为y cm，则小长方形的长为2x cm，大长方形的长为2y cm，
由题意得：，
解得：，
则2y=12，
∴大长方形的周长为2×（6+12）=36（cm），
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，要使OB＝2OA，要经过______秒．
【答案】或5
【分析】
根据题意可知，分两种情况：点B在原点左侧或右侧，然后即可列出相应的方程，从而可以求得经过几秒，OB＝2OA．
【详解】
解：设经过t秒，OB＝2OA，
当点B在原点左侧时，
3﹣5t＝2（1+2t），
解得t＝ ，
当点B在原点右侧时，
5t﹣3＝2（1+2t），
解得t＝5，
由上可得，当经过或5秒时，OB＝2OA．
故答案为：或5
【点睛】
本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
11．长方形的一边长是4，另一边长是x＋3，它的面积不大于32，则x的取值范围是_______．
【答案】-3＜x≤5
【分析】
根据长方形面积=长×宽，列出不等式组，解一元一次不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知可得：，
解得：-3＜x≤5．
故答案为：-3＜x≤5．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用以及长方形的面积公式，解题的关键是能熟练的解一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该类题型需根据题意列出正确的一元一次不等式组．
12．已知不等式组，则它的正整数解是__．
【答案】1，2
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】
，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的正整数解是1，2；
故答案为：1，2．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
13．在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是_______．
【答案】
【分析】
根据x和y是相反数可得x＝﹣y，然后代入原方程求解即可．
【详解】
解：∵x和y是相反数，
∴x＝﹣y，
把x＝﹣y代入原方程中，可得：﹣3y+y＝12，
解得：y＝﹣6，
∴x＝6，
∴在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二元一次方程的解，理解方程的解和互为相反数的概念是解题关键．
14．将方程36x-2y=56变形为用含x的式子表示y的形式是_______．
【答案】
【分析】
根据减数＝被减数−差得到2y的表达式，然后等式两边都除以2即可得到y的表达式．
【详解】
解：∵36x−2y＝56，
∴2y＝36x−56，
∴y＝18x−28，
故答案为：y＝18x−28．
【点睛】
本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键，即：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
15．《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．则每只雀的重量为______两．
【答案】2．
【分析】
设每只雀、燕的重量各为x两，y两，根据5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重，可列出方程组，求方程组的解即可．
【详解】
解：设每只雀、燕的重量各为x两，y两，
由题意得：
解方程组得：，
∴每只雀的重量为2两；
故答案是：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
16．已知不等式-的正整数解恰是1，2，3，4，那么的取值范围是_________________.
【答案】
【分析】
用含a的式子表示出不等式的解集，由不等式的正整数解，得到x的范围，再根据x与a的关系列不等式(组)求解.
【详解】
因为3x－a≤0，所以x≤，
因为原不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
即，解得12≤x＜15.
故答案为12≤x＜15.
【点睛】
由不等式(组)的整数解确定所含字母的取值范围的解法是：①解不等式(组)，用字母系数表示出解集；②由不等式(组)的整数解确定不等式(组)的解集；③综合①②列出关于字母系数的不等式(注意是否可取等于)求解.
三、解答题
17．一件商品的原价是6000元，打八折后还获利20%，求打折后的售价及进价．
【答案】售价为4800元，进价为4000元
【分析】
根据售价=标价×折扣率，即可求出该商品的售价，设该件商品的进价x元，根据售价=本金×（1+盈利率），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（元）
设：成本为元
答：售价为4800元，成本为4000元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，根据售价=本金×（1+盈利率），列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
18．解方程：＝﹣6．
【答案】x＝﹣3
【分析】
方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】
解：方程整理得：＝﹣6，
去分母得：3（3x﹣1）﹣2（2x+9）＝﹣36，
去括号得：9x﹣3﹣4x﹣18＝﹣36，
移项合并得：5x＝﹣15，
解得：x＝﹣3．
【点睛】
本题考查一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的方法与步骤是解题关键．
19．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析．
【分析】
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确定解集即可．
【详解】
解：解不等式5x＞x−10，得：x＞−2.5，
解不等式，得：x≤3，
所以不等式组的解集是−2.5＜x≤3，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了用数轴表示不等式组的解集．
20．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来，再写出最大负整数解．
【答案】，见解析，不等式的最大负整数解为
【分析】
先去分母，移项合并同类项求出不等式的解集，再根据数轴上数的特点表示不等式的解集及确定整数解．
【详解】
解：，
去分母得：，
移项合并得：，
则不等式的最大负整数解为．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，以及确定不等式的整数解，正确掌握解一元一次不等式的解法是解题的关键．
21．茜茜数码专卖店销售容量分别为、、、和的五种移动盘，2020年10月1日的销售情况如下表：
(1)由于不小心，表中销售数量中，和销售数量被污染，但知道的销售数量比的销售数量的2倍少2只，且5种盘的销售总量是30只．求和的销售数量．
(2)若移动盘的容量每增加，其销售单价增加10元，已知2020年10月1日当天销售这五种盘的营业额是2730元，求容量为的移动盘的销售单价是多少元？
【答案】(1)容量为的移动盘的销售数量为6只，容量为的移动盘的销售数量为10只；
(2)容量为的移动盘的销售单价是80元．
【分析】
（1）设容量为的移动盘的销售数量为x只，容量为的移动盘的销售数量为y只，根据题意列出二元一次方程组求解即可得；
（2）设容量为的移动盘的销售单价是m元，则容量为的移动盘的销售单价是元，容量为的移动盘的销售单价是元，容量为的移动盘的销售单价是元，容量为的移动盘的销售单价是元，根据题意列出一元一次方程求解即可得．
(1)
设容量为的移动盘的销售数量为x只，容量为的移动盘的销售数量为y只，
依题意得：，
解得：．
答：容量为的移动盘的销售数量为6只，容量为的移动盘的销售数量为10只．
(2)
设容量为的移动盘的销售单价是m元，则容量为的移动盘的销售单价是元，容量为的移动盘的销售单价是元，容量为的移动盘的销售单价是元，容量为的移动盘的销售单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：容量为的移动盘的销售单价是80元．
【点睛】
题目主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
22．解关于x的方程＝0，我们也可以这样来解：
（）x＝0，
因为≠0．
所以方程的解：x＝0．
请按这种方法解下列方程：
(1)＝0；
(2)＝10．
【答案】(1)x＝1
(2)x＝27
【分析】
（1）利用乘法的分配律得到（x﹣1）＝0，然后根据等式的性质解方程；
（2）先变形为＝0，然后与（1）一样解方程．
(1)
解：∵（x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1；
(2)
解：∵=10，
∴-10=0，
∴＝0，
即＝0，
∴（x﹣27）＝0，
∴x﹣27＝0，
∴x＝27．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的特殊解法，解题的关键是正确理解例题中所给的形式，仿照例题解答问题．
23．小丽从家到学校有公路和小路两种路径，已知公路比小路远320米．早上小丽以61米/分钟的速度从公路去上学，10分钟后，爸爸发现她的作业忘带了，就以90米/分钟的速度沿小路去追赶，结果恰好在学校门口追上小丽．问小丽从家到学校的公路有多少米？
【答案】1220米
【分析】
设小丽从家到学校的时间为x分钟，根据小丽所走路程比爸爸所走路程多320米列方程即可．
【详解】
解：设小丽从家到学校的时间为x分钟
根据题意，得：61x-90（x-10）=320
解这个方程得：x=20
20×61=1220（米）
答：小丽从家到学校的公路有1220米
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．
24．今年“六一”前夕，某文具店花费2200元采购了A、B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如表：
若两种型号的文具按表中售价全部售完，则该商店可以盈利600元．
(1)问该商店当初购进A、B两种型号文具各多少个？
(2)“六一”当天，A、B两种型号文具各剩下20%还未卖出，文具店老板在第二天降价出售，且两种型号文具每件降了同样的价格，要使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，那么这两种型号的文具每件最多降多少元？
【答案】(1)该商店当初购进A型号文具100个，B型号文具80个
(2)1.5元
【分析】
（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个，根据用2200元购进的A、B两种型号的文具全部售出后可盈利600元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设这两种型号的文具每件降m元，利用这批文具售完后的总盈利＝600﹣剩余文具的数量×每件降低的价格，结合使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
(1)
解：（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个，
依题意得：，
解得：．
答：该商店当初购进A型号文具100个，B型号文具80个；
(2)
（2）设这两种型号的文具每件降m元，
依题意得：600﹣（100+80）×20%m≥546，
解得：m≤1.5．
答：这两种型号的文具每件最多降1.5元．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意利用方程组或是不等式解决实际问题是解题的关键．
25．求不等式组的自然数解．并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】0，1，2，3，数轴见解析
【分析】
首先分别解出两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着,确定出两个不等式的公共解集即可．
【详解】
解：，
由不等式①得：x＞﹣1，
由不等式②得：x≤3，
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，
解集在数轴上表示为：
所以不等式组的自然数解为0，1，2，3．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的关键．
26．小明将已经到期的存了3年的3000元压岁钱取出，本利和为3247.5元，求他的存款的年利率．
【答案】
【分析】
不用交利息税的本利和计算方法为：本利和本金本金年利率存期，利用本利和为3247.5元作为相等关系列方程求解即可．
【详解】
设他的存款的年利率是，依题意有
，
解得：．
故他的存款的年利率是．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．银行的利息问题中的相等关系一般为：本利和本金本金年利率时间．
盘容量
1
2
4
8
16
销售数量（只
5
6
3
型号
进价（元/个）
售价（元/个）
A型
10
12
B型
15
20