北京理工大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 15
3. 如图，在中，，，则为（ ）
A. B. C. D.
4. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，四边形内接于，是直径，D是的中点．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( )
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形的边长为2，点E是上一动点（点E与点A，B不重合），点F在延长线上，，以，为边作矩形．设的长为x，矩形的面积为y，则y与x满足的函数关系的图像是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(共16分，每题2分)
9. 已知反比例函数y（k是常数，且k≠2）的图象有一支在第三象限，那么k的取值范围是 _____．
10. 抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为_____．
11. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为____．

12. 如图，正六边形内接于，，则的长为______．
13. 如图，PA，PB是的切线，A，B为切点，AC是的直径，，则的度数为______．
14. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示：
据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）．
15. 如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为_____．
16. 已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是_______
三、解答题(共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
20. 如图，在中，对角线，交于点，，过点作于点．
（1）求证：是矩形；
（2）苦，，求的长
21. 已知：如图，在中，．
求作：射线，使得．
作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；
②延长交于点D，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点P（点C，P在线段的同侧）；
③作射线．
射线即所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接．
∵，
∴点C在上．
∵，
∴（____________）（填推理依据）．
∵，
∴______．
∴．
22. 魔术师刘谦在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，他创造的“奇迹”给我们带来了很多快乐．很多对此感兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是黑桃概率是多少?
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
23. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q．
（1）求m的值及点Q的坐标；
（2）已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是．
24. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．）
25. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的长．
26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，，．
（1）若点在抛物线上，求的值．
（2）若对于任意的，总有，求的取值范围．
27. 如图，在中，，，是边上的高，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接交于点F，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，当是的角平分线时，
①求证：；
②直接写出_______°．
（2）依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，半径为1，A为任意一点，B为上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“关联距离”，记作．
（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．
①___；
②若点M在线段上，求取值范围．
（2）若点N在直线上，求的取值范围．
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．
种子数量
10
50
150
300
500
800
发芽数量
9
41
133
261
431
689
发芽率
0.9
082
0.887
0.87
0.862
0.861