北京海淀外国语学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则两数之和大于4的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，正五边形放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，则点E的坐标是（ ）

A. B. C. D.
5. 函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 存在，使得
7. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为（ ）．
A. 50B. 25C. 15D.
8. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
10. 若，则代数式的值是___________．
11. 如图，，是的弦，，是的切线，若，则_______．
12. 北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为______m．（参考数据：，，．）
13. 如图，在中，E是边上的点，连接交于点F，若，则的值是__________．
14. 如图，小军在时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是，当他在时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是，若两次测得的影长之差为，则树的高度为______．（结果精确到，参考数据：，）
15. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为_____．（结果保留π）
16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表：
从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．
三、解答题（17-22每小题5分，23-26每小题6分，27-28每小题7分）
17. 计算：．
18. 解不等式组，并求它的整数解.
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.

21. 一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔高度．如图，在点C处用高的测角仪测得塔尖A的仰角为，向塔的方向前进到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）

22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围．
23. 海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）；
b．京北校区成绩在这一组的是_______：
74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值：
（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，直接写出结果并说明理由；
（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．
24. 北京冬奥会召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．
（1）当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为米，则________．
（2）在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
（3）小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．
25. 如图，是的外接圆，AB是直径，，且．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的半径．
26. 已知抛物线的对称轴为直线．
（1）若点在抛物线上，求t的值；
（2）若点，在抛物线上，
①当时，求a的取值范围；
②若，且，直接写出a的取值范围．
27. 在中，，，点D为射线上一点，过点D作且（点E在点D的右侧），射线交射线于点F，点H是的中点，连接，．
（1）如图1，当点D在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系；
（2）当点D在线段的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，已知点，N．对于点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点，点N在线段的延长线上，若点，点Q为点P的“对应点”．
①图中画出点Q；
②连接，交线段于点T．求证：；
（2）半径为1，M是上一点，点N在线段上，且（），若p为外一点，点Q为点P的“对应点”，连接．当点M在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
演员1
演员2
演员3
演员4
演员5
演员6
演员7
演员8
节目A
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节目B
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节目C
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节目D
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节目E
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节目F
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平均数
中位数
京北校区
79.5
海淀校区
77
81.5