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1第十章 概率 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）
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这是一份1第十章 概率 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册），文件包含1第十章概率典型例题讲解原卷版docx、1第十章概率典型例题讲解解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc18880" 二重点例题（高频考点） PAGEREF _Tc18880 \h 3
\l "_Tc7215" 高频考点一：有限样本空间与随机事件 PAGEREF _Tc7215 \h 3
\l "_Tc6255" 高频考点二：事件的关系与运算 PAGEREF _Tc6255 \h 5
\l "_Tc18996" 角度1：互斥事件与对立事件 PAGEREF _Tc18996 \h 5
\l "_Tc32200" 角度2：互斥事件、对立事件、独立事件综合 PAGEREF _Tc32200 \h 7
\l "_Tc4884" 高频考点三：古典概型 PAGEREF _Tc4884 \h 9
\l "_Tc25352" 角度1：列出样本空间 PAGEREF _Tc25352 \h 9
\l "_Tc9165" 角度2：求古典概型概率公式 PAGEREF _Tc9165 \h 10
\l "_Tc28428" 角度3：有放回与无放回问题的概率 PAGEREF _Tc28428 \h 14
\l "_Tc18010" 高频考点四：概率的基本性质 PAGEREF _Tc18010 \h 19
\l "_Tc12352" 角度1：互斥事件，对立事件的概率公式 PAGEREF _Tc12352 \h 19
\l "_Tc4681" 角度2：独立事件的概率 PAGEREF _Tc4681 \h 22
\l "_Tc32624" 高频考点五：频率与概率 PAGEREF _Tc32624 \h 24
一、基本概念回归
1事件的关系
1.1包含关系
一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，记作：(或)
图示
2.2相等关系
如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作：；
图示
2事件的运算
2.1并事件(或和事件)
一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，
或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).
图示：
2.2交事件(或积事件)
一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件
中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).
图示：
3互斥事件与对立事件
3.1互斥事件
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.
图示：
3.2对立事件
一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，
且，那么
称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.
图示：
4事件的关系或运算的含义及符号表示
5古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
6概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
7互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
8对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
9概率的一般加法公式（性质6）
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
10相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
二重点例题（高频考点）
高频考点一：有限样本空间与随机事件
1．（2023·全国·高一专题练习）将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是（ ）
A．必然事件B．随机事件
C．不可能事件D．无法确定
【答案】B
【详解】“正面朝上恰好5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件.
故选：B
2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取，则是必然事件；
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；
对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取，则是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取，则是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
故选：C．
3．（2023春·全国·高一专题练习）从甲､乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，设5名同学为：甲､乙､，写出这一事件的样本空间；
【答案】答案见解析.
【详解】5名同学为：甲､乙､，从中随机选3名参加社区服务工作这一事件的样本空间为：{甲乙，甲乙，甲乙，甲，甲，甲，乙，乙，乙，}.
4．（2023·全国·高一专题练习）将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为______.
【答案】
【详解】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为，
所以该试验样本空间为.
故答案为：.
高频考点二：事件的关系与运算
角度1：互斥事件与对立事件
1．（2023春·四川甘孜·高二校考阶段练习）盒子内装有黑球、白球、红球三种，其数量分别为1，2，3，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为（ ）
A．至少有一个白球；没有白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红黑球各一个
【答案】D
【详解】选项A，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，故和“没有白球”互斥事件且为对立事件，故A错误；
选项B，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“至少一个红球”是指恰有1个红球或都是红球，都包含1个白球1个红球这种结果，故不是互斥事件，故B错误；
选项C，“恰有一个白球”是指有1个白球1个红球或有1个白球1个黑球，和“一个白球一个黑球”不是互斥事件，故C错误；
选项D，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“红球、黑球各一个”则没有白球，故互斥，而没有白球也不一定是红球、黑球各一个，故不对立，故D正确．
故选：D．
2．（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个黑球与都是黑球B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．至少有1个黑球与都是红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】D
【详解】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；
“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，
故选：.
3．（2023·全国·高一专题练习）一个射手进行射击，记事件“脱靶”，“中靶”，“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）．
A．与B．与C．与D．以上都不对
【答案】B
【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，
事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A错误；
事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B正确，D错误；
事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是.
故选：B
4．（2023·全国·高一专题练习）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件
B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件
C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件
D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件
【答案】D
【详解】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误；
“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；
“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；
“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确.
故选：D.
5．（2023秋·山东潍坊·高一临朐县第一中学校考期末）从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一名男同学与都是男同学
B．至少有一名男同学与都是女同学
C．恰有一名男同学与恰有两名男同学
D．至少有一名男同学与至少有一名女同学
【答案】C
【详解】从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，
在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误；
在B中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；
在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；
在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误.
故选：C.
6．（多选）（2023·全国·高一专题练习）某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与既是互斥事件也是对立事件
C．与不是互斥事件
D．与是互斥事件
【答案】BC
【详解】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；
所以，与不是互斥事件，故A错误；
与既是互斥事件也是对立事件，故B正确；
与不是互斥事件，故C正确；
与不是互斥事件，故D错误.
故选：BC.
角度2：互斥事件、对立事件、独立事件综合
1．（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥B．相互独立C．互为对立D．无法判断
【答案】B
【详解】解：因为，所以，又，所以事件与事件不对立，
又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥.
故选：B
2．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．互斥但不对立B．独立
C．对立D．独立且互斥
【答案】B
【详解】因为，所以，
又，所以事件与事件不对立，
又因为，所以事件与相互独立，但不互斥．
故选：B．
3．（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的点数不小于3，则事件A与事件B（ ）
A．相互独立B．对立C．互斥但不对立D．概率相等
【答案】A
【详解】抛掷骰子可能得到的点数为1，2，3，4，5，6，其中质数为2，3，5，
所以，故，
所以A与B相互独立．
故选：A
4．（2023·全国·高一专题练习）已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与C互斥
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【答案】C
【详解】由题知，，因为，故A错误；
因为，A发生时C一定发生，故B错误；
因为，所以，
又，所以，故C正确；
因为，所以，由，，故D错误.
故选：C
5．（多选）（2023·全国·高一专题练习）若，，，则事件与的关系错误的是（ ）
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与既互斥又相互独立
【答案】ABD
【详解】由题意可得，
因为，， 可得，
所以事件与相互独立，不互斥不对立.
故选：ABD．
6．（2023·高一课时练习）一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色．现以、、分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问事件、、是否两两相互独立？
【答案】事件、、两两互相独立
【详解】解：由题意可得，
则事件、、均为“第四面朝下”，故，
所以，，，，
所以，事件、、两两互相独立.
高频考点三：古典概型
角度1：列出样本空间
1．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）在连续抛四枚硬币的随机试验中，样本空间包含___________个样本点.
【答案】
【详解】连续抛四枚硬币的随机试验中，用表示正面向上，表示反面向上，
则样本空间包含的样本点有，
，
共个.
故答案为：.
2．（2023春·全国·高一专题练习）从至的个整数中随机取个不同的数．写出所有不同的取法；
【答案】答案见解析
【详解】从至的个整数中随机取个不同的数，共有以下种不同的取法，
，，，
，．
3．（2023春·全国·高一专题练习）从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组.该活动包含了多少个基本事件？
【答案】20个
【详解】4名男同学分别记为,2名女同学分别记为,选出的3人构成的一组记为,表示一个基本事件,
从4名男同学、2名女同学中选出3人的不同结果为:
,
,共20个,
所以该活动包含了20个基本事件.
角度2：求古典概型概率公式
1．（2023·山东青岛·统考三模）将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个，
所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个，
所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为.
故选：A.
2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）某学习的注册用户分散在、、三个不同的学习群里，分别有人、人、人，该设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从、、三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计人参与游戏．
(1)每局“七人赛”游戏中，应从、、三个学习群分别匹配多少人？
(2)设匹配的名学员分别用：、、、、、、表示，现从中随机抽取出名学员参与新的游戏．
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的名学员不是来自同一个学习群”，求事件发生的概率．
【答案】(1)应从、、三个学习群分别匹配人、人、人
(2)（ⅰ）答案见解析（ⅱ）
【详解】（1）解：三个学习群人数比例为，
因此，应从学习群匹配的人数为人，应从学习群匹配的人数为人，
应从学习群匹配的人数为人.
（2）解：（ⅰ）所有可能的结果为：、、、、、
、、、、、、、
、、、、、、、
、，共种；
（ii）“抽取的名学员不是来自同一个学习群”抽取的名学员不是来自同一个学习群”
包含的基本事件有：、、、、、、
、、、、、、、
、、，共种，
所以其概率为.
3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数（同一组的数据以该组区间的中间值作代表）；
(2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率.
【答案】(1)76
(2)
【详解】（1）；
（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，
所以抽取的6人中，成绩在内的有人，记为，；
成绩在内的有人，记为，，，，
从6人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，，，共15种可能；
其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共8种可能，
所以所求概率.
4．（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
【答案】(1)70.5
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
分．
（2）在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，
其中两人得分都在的情况只有，共有1种，
所以两人得分都在的概率为．
5．（2023·北京西城·高三专题练习）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在岁以下的客户中抽取位归为组，从年龄在岁（含岁）以上的客户中抽取位归为组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图:
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)分别求出组客户与组客户“实际平均续航里程数”的平均值；
(2)在两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于的客户中各随机抽取位客户，求组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的概率
(3)试比较两组客户数据方差的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)；
(2)
(3)组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差
【详解】（1）由茎叶图可知：组客户“实际平均续航里程数”的平均值；
组客户“实际平均续航里程数”的平均值.
（2）组客户中，“实际平均续航里程数”大于的客户的续航里程数分别为；
组客户中，“实际平均续航里程数”大于的客户的续航里程数分别为；
从两组客户中各抽取位客户，则有，，，，，，，，共种情况；
其中满足组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的情况有，，，共种情况；
所求概率.
（3）方法一：组客户“实际平均续航里程数”的方差；
组客户“实际平均续航里程数”的方差；
，即组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差；
方法二：根据茎叶图可知：组客户“实际平均续航里程数”的数据相较于组客户“实际平均续航里程数”的数据更集中在其平均数附近，即组客户数据整体更加稳定，
组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，以此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第3次取出的球是红球的概率为______．
【答案】/0.504
【详解】3次取出的结果共有8种，分别为：（红，红，红）、（红，红，白）、（红，白，红）、
（红，白，白）、（白，红，红）（白，红，白）、（白，白，红）、（白，白，白），
其中第3次取出的球是红球的情况为（红，红，红）、（红，白，红）、（白，红，红）、（白，白，红）、共4种.
根据题意，，，
，
所以，第3次取出的球是红球的概率.
故答案为：
角度3：有放回与无放回问题的概率
1．（2023·全国·高一专题练习）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 231 021 122 203 012
231 130 133 231 031 123 122 103 233
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：根据题意可知，所有事件的结果数有18种，
其中满足恰好取球三次时“道”､“都”两个字的小球都被取到的事件有：023，203，123共3种，
记“恰好取球三次就停止”为事件，所以.
故答案为：C
2．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“灵､秀､湖､北”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“湖”､“北”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用分别代表“灵､秀､湖､北”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由随机数可知：恰好取球三次就停止的有：，共4组随机数，
所以恰好取球三次就停止的概率，
故选：.
3．（2023·全国·高三专题练习）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，产品长度在区间上的为一等品，在区间和区间上的为二等品，在区间和上的为三等品．
(1)用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，求其为二等品的概率；
(2)已知检测结果为一等品的有6件，现随机从三等品中有放回地连续取两次，每次取1件，求取出的2件产品中恰有1件的长度在区间上的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图可得：检测结果在区间上的频率/组距为：，所以检测结果在区间和区间上的频率为：，用频率估计概率，故二等品的概率为：0.45；
（2）由频率分布直方图可得：检测一等品的概率为，而抽检件数为6，故抽检总数为.
故检测长度在区间和上的数量分别为：，，
所以取出的2件产品中恰有1件的长度在区间上的概率.
4．（2023·四川乐山·统考一模）某班在一次班会课上推出了一项趣味活动：在一个箱子里放有4个完全相同的小球，小球上分别标注有1、2、3、4号码.参加活动的学生有放回地摸两次球，每次摸1个，并分别记录下球的号码数字x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励笔记本1本；②若xy≥8，则奖励水杯1个；③其余情况奖励饮料1瓶.
(1)求小王获得笔记本的概率；
(2)试分析小王获得水杯与获得饮料，哪一个概率大?
【答案】(1)
(2)获得水杯的概率大
【详解】（1）小王两次摸球，的情况包含（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种情况，其中满足的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共有5种情况，
所以小王获得笔记本的概率
（2）满足的基本事件包含（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6个基本事件，所有小王获得水杯的概率，
小王获得饮料的概率，
因为，所有获得水杯的概率大.
5．（2023·全国·高二专题练习）一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，根据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率.
(1)信的选取是无放回的；
(2)信的选取是有放回的.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记事件为“选取的2封信上的数字为相邻整数”．
从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间
{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}，
共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，
{（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知，
故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
（2）从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）}，
共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．
{（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6个样本点，
且这6个样本点出现的可能性是相等的．
由古典概型的概率计算公式知，
故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
6．（2023·全国·高一专题练习）班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择：
方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品．
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；
(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)方案三获得奖品的可能性更大，理由见解析
【详解】（1）记摸到1，2，3号红球分别为，，，摸到4，5号黄球分别为，，
则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，共10个；
按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个；
（2）方案一中，设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”，
则由（1）知事件A包含，，，，共4个样本点，
故；
方案二中，设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”，
则由（1）知事件B包含，，，，，，，，共8个样本点，
故；
方案三中，设两次抽查取的球所标的数字分别为、，
则所有可能的基本事件对应的二元有序数组表示如下表，共25个基本事件，
在方案三中，设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”，
则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点，
故；
因为，所以选择方案三获得奖品的可能性更大
高频考点四：概率的基本性质
角度1：互斥事件，对立事件的概率公式
1．（2023·全国·高一专题练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
2．（2022秋·高一课时练习）从一副混合后的扑克牌不含大小王中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】一副混合后的扑克牌不含大小王共有52张，则事件A的概率为，
一副扑克牌有13张黑桃，则事件B的概率为，
而事件A与B互斥，则，
所以.
故选：A
3．（2022·高一课时练习）如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中I、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为________，不命中靶的概率是________．
【答案】 / /
【详解】设射手命中圆面I为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，不中靶为事件D，则，，，A，B，C两两互斥，
故射手命中圆环Ⅱ或Ⅱ的概率为，
射手中靶的概率为．
因为中靶和不中靶是对立事件，所以不命中靶的概率．
故答案为：；.
4．（2021·高一课时练习）某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率：
(1)只喜欢打羽毛球；
(2)至少喜欢以上一种运动；
(3)只喜欢以上一种运动；
(4)以上两种运动都不喜欢.
【答案】(1)0.15
(2)0.95
(3)0.65
(4)0.05
【详解】（1）设：A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”
只喜欢打羽毛球：
（2）至少喜欢以上一种运动：
＝
（3）只喜欢以上一种运动：
＝
（4）以上两种运动都不喜欢：
＝
5．（2019春·陕西渭南·高一统考期末）某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,
设“1张奖券中奖”为事件,则,
因为、、两两互斥,所以
故1张奖券中奖的概率为
（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
6．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科（物理、化学、生物）和3门文科学科（历史、政治、地理）的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是相互独立的.
（1）求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；
（2）某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
【答案】（1）（2）
【详解】记表示事件：考生选择生物学科
表示事件：考生选择物理但不选择生物学科;
表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科;
表示事件：选择生物但不选择物理
表示事件：同时选择生物、物理两门学科
（1）,,,
（2）由某校高二段400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,
可知
因为
角度2：独立事件的概率
1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
【答案】BCD
【详解】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，
但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；
对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则
，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，
则，故D正确．
故选：BCD．
2．（2023·上海·高三专题练习）已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么__________．
【答案】/
【详解】解：因为事件A与事件B相互独立，，
则，
所以，
故答案为：
3．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）已知事件A､B相互独立，事件是B的对立事件，且，，则___________.
【答案】
【详解】由，得，且事件A､B相互独立，
则，
故答案为：
4．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)派乙参赛赢得比赛的概率更大
(2)
【详解】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
所以表示“甲赢得比赛”，，
表示“乙赢得比赛”，，
因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大；
（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”
由（1）知，，
所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
所以，
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
5．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲复原三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．
【答案】(1)0.032
(2)0.92
【详解】（1）记“甲第次复原成功”为事件，“乙第次复原成功”为事件，
依题意，，．
“甲第三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立，
．
（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件．
所以．
高频考点五：频率与概率
1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次
【答案】BD
【详解】由题意知朝上的点数是2的频率为，概率为，故A错误；
当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B正确；
抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；
每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷6000次朝上的点数为2的次数大约为．（理论和实际会有一定的出入）故D正确.
故选：BD
2．（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【答案】D
【详解】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；
对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；
对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；
对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.
故选：D
3．（2023·全国·高一专题练习）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【答案】D
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D
4．（2023·全国·高一专题练习）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为：
116, 812, 730, 452, 125, 217, 109, 361, 284, 147, 318, 027,
则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：，
故选：A.
5．（2023·全国·高一专题练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定击不中靶心；（4）不一定
【详解】（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
（2）击中靶心的次数大约为.
（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
（4）由概率的意义知，不一定.
6．（2023·全国·高一专题练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
【答案】.
【详解】产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
发生导致发生
并事件(和事件)
与至少一个发生
或
交事件(积事件)
与同时发生
或
互斥(互不相容)
与不能同时发生
互为对立
与有且仅有一个发生
，
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
116
785
812
730
134
452
125
689
024
169
334
217
109
361
908
284
044
147
318
027
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
\l "_Tc18880" 二重点例题（高频考点） PAGEREF _Tc18880 \h 3
\l "_Tc7215" 高频考点一：有限样本空间与随机事件 PAGEREF _Tc7215 \h 3
\l "_Tc6255" 高频考点二：事件的关系与运算 PAGEREF _Tc6255 \h 5
\l "_Tc18996" 角度1：互斥事件与对立事件 PAGEREF _Tc18996 \h 5
\l "_Tc32200" 角度2：互斥事件、对立事件、独立事件综合 PAGEREF _Tc32200 \h 7
\l "_Tc4884" 高频考点三：古典概型 PAGEREF _Tc4884 \h 9
\l "_Tc25352" 角度1：列出样本空间 PAGEREF _Tc25352 \h 9
\l "_Tc9165" 角度2：求古典概型概率公式 PAGEREF _Tc9165 \h 10
\l "_Tc28428" 角度3：有放回与无放回问题的概率 PAGEREF _Tc28428 \h 14
\l "_Tc18010" 高频考点四：概率的基本性质 PAGEREF _Tc18010 \h 19
\l "_Tc12352" 角度1：互斥事件，对立事件的概率公式 PAGEREF _Tc12352 \h 19
\l "_Tc4681" 角度2：独立事件的概率 PAGEREF _Tc4681 \h 22
\l "_Tc32624" 高频考点五：频率与概率 PAGEREF _Tc32624 \h 24
一、基本概念回归
1事件的关系
1.1包含关系
一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，记作：(或)
图示
2.2相等关系
如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作：；
图示
2事件的运算
2.1并事件(或和事件)
一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，
或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).
图示：
2.2交事件(或积事件)
一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件
中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).
图示：
3互斥事件与对立事件
3.1互斥事件
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.
图示：
3.2对立事件
一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，
且，那么
称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.
图示：
4事件的关系或运算的含义及符号表示
5古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
6概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
7互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
8对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
9概率的一般加法公式（性质6）
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
10相互独立事件的概念
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
二重点例题（高频考点）
高频考点一：有限样本空间与随机事件
1．（2023·全国·高一专题练习）将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是（ ）
A．必然事件B．随机事件
C．不可能事件D．无法确定
【答案】B
【详解】“正面朝上恰好5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件.
故选：B
2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取，则是必然事件；
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；
对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取，则是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取，则是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
故选：C．
3．（2023春·全国·高一专题练习）从甲､乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，设5名同学为：甲､乙､，写出这一事件的样本空间；
【答案】答案见解析.
【详解】5名同学为：甲､乙､，从中随机选3名参加社区服务工作这一事件的样本空间为：{甲乙，甲乙，甲乙，甲，甲，甲，乙，乙，乙，}.
4．（2023·全国·高一专题练习）将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为______.
【答案】
【详解】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为，
所以该试验样本空间为.
故答案为：.
高频考点二：事件的关系与运算
角度1：互斥事件与对立事件
1．（2023春·四川甘孜·高二校考阶段练习）盒子内装有黑球、白球、红球三种，其数量分别为1，2，3，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为（ ）
A．至少有一个白球；没有白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红黑球各一个
【答案】D
【详解】选项A，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，故和“没有白球”互斥事件且为对立事件，故A错误；
选项B，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“至少一个红球”是指恰有1个红球或都是红球，都包含1个白球1个红球这种结果，故不是互斥事件，故B错误；
选项C，“恰有一个白球”是指有1个白球1个红球或有1个白球1个黑球，和“一个白球一个黑球”不是互斥事件，故C错误；
选项D，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“红球、黑球各一个”则没有白球，故互斥，而没有白球也不一定是红球、黑球各一个，故不对立，故D正确．
故选：D．
2．（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个黑球与都是黑球B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．至少有1个黑球与都是红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】D
【详解】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；
“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，
故选：.
3．（2023·全国·高一专题练习）一个射手进行射击，记事件“脱靶”，“中靶”，“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）．
A．与B．与C．与D．以上都不对
【答案】B
【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，
事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A错误；
事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B正确，D错误；
事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是.
故选：B
4．（2023·全国·高一专题练习）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件
B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件
C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件
D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件
【答案】D
【详解】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误；
“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；
“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；
“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确.
故选：D.
5．（2023秋·山东潍坊·高一临朐县第一中学校考期末）从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一名男同学与都是男同学
B．至少有一名男同学与都是女同学
C．恰有一名男同学与恰有两名男同学
D．至少有一名男同学与至少有一名女同学
【答案】C
【详解】从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，
在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误；
在B中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；
在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；
在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误.
故选：C.
6．（多选）（2023·全国·高一专题练习）某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与既是互斥事件也是对立事件
C．与不是互斥事件
D．与是互斥事件
【答案】BC
【详解】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；
所以，与不是互斥事件，故A错误；
与既是互斥事件也是对立事件，故B正确；
与不是互斥事件，故C正确；
与不是互斥事件，故D错误.
故选：BC.
角度2：互斥事件、对立事件、独立事件综合
1．（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥B．相互独立C．互为对立D．无法判断
【答案】B
【详解】解：因为，所以，又，所以事件与事件不对立，
又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥.
故选：B
2．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．互斥但不对立B．独立
C．对立D．独立且互斥
【答案】B
【详解】因为，所以，
又，所以事件与事件不对立，
又因为，所以事件与相互独立，但不互斥．
故选：B．
3．（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的点数不小于3，则事件A与事件B（ ）
A．相互独立B．对立C．互斥但不对立D．概率相等
【答案】A
【详解】抛掷骰子可能得到的点数为1，2，3，4，5，6，其中质数为2，3，5，
所以，故，
所以A与B相互独立．
故选：A
4．（2023·全国·高一专题练习）已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与C互斥
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【答案】C
【详解】由题知，，因为，故A错误；
因为，A发生时C一定发生，故B错误；
因为，所以，
又，所以，故C正确；
因为，所以，由，，故D错误.
故选：C
5．（多选）（2023·全国·高一专题练习）若，，，则事件与的关系错误的是（ ）
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与既互斥又相互独立
【答案】ABD
【详解】由题意可得，
因为，， 可得，
所以事件与相互独立，不互斥不对立.
故选：ABD．
6．（2023·高一课时练习）一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色．现以、、分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问事件、、是否两两相互独立？
【答案】事件、、两两互相独立
【详解】解：由题意可得，
则事件、、均为“第四面朝下”，故，
所以，，，，
所以，事件、、两两互相独立.
高频考点三：古典概型
角度1：列出样本空间
1．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）在连续抛四枚硬币的随机试验中，样本空间包含___________个样本点.
【答案】
【详解】连续抛四枚硬币的随机试验中，用表示正面向上，表示反面向上，
则样本空间包含的样本点有，
，
共个.
故答案为：.
2．（2023春·全国·高一专题练习）从至的个整数中随机取个不同的数．写出所有不同的取法；
【答案】答案见解析
【详解】从至的个整数中随机取个不同的数，共有以下种不同的取法，
，，，
，．
3．（2023春·全国·高一专题练习）从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组.该活动包含了多少个基本事件？
【答案】20个
【详解】4名男同学分别记为,2名女同学分别记为,选出的3人构成的一组记为,表示一个基本事件,
从4名男同学、2名女同学中选出3人的不同结果为:
,
,共20个,
所以该活动包含了20个基本事件.
角度2：求古典概型概率公式
1．（2023·山东青岛·统考三模）将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个，
所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个，
所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为.
故选：A.
2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）某学习的注册用户分散在、、三个不同的学习群里，分别有人、人、人，该设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从、、三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计人参与游戏．
(1)每局“七人赛”游戏中，应从、、三个学习群分别匹配多少人？
(2)设匹配的名学员分别用：、、、、、、表示，现从中随机抽取出名学员参与新的游戏．
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的名学员不是来自同一个学习群”，求事件发生的概率．
【答案】(1)应从、、三个学习群分别匹配人、人、人
(2)（ⅰ）答案见解析（ⅱ）
【详解】（1）解：三个学习群人数比例为，
因此，应从学习群匹配的人数为人，应从学习群匹配的人数为人，
应从学习群匹配的人数为人.
（2）解：（ⅰ）所有可能的结果为：、、、、、
、、、、、、、
、、、、、、、
、，共种；
（ii）“抽取的名学员不是来自同一个学习群”抽取的名学员不是来自同一个学习群”
包含的基本事件有：、、、、、、
、、、、、、、
、、，共种，
所以其概率为.
3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数（同一组的数据以该组区间的中间值作代表）；
(2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率.
【答案】(1)76
(2)
【详解】（1）；
（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，
所以抽取的6人中，成绩在内的有人，记为，；
成绩在内的有人，记为，，，，
从6人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，，，共15种可能；
其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共8种可能，
所以所求概率.
4．（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．
【答案】(1)70.5
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
分．
（2）在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，
其中两人得分都在的情况只有，共有1种，
所以两人得分都在的概率为．
5．（2023·北京西城·高三专题练习）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在岁以下的客户中抽取位归为组，从年龄在岁（含岁）以上的客户中抽取位归为组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图:
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)分别求出组客户与组客户“实际平均续航里程数”的平均值；
(2)在两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于的客户中各随机抽取位客户，求组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的概率
(3)试比较两组客户数据方差的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)；
(2)
(3)组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差
【详解】（1）由茎叶图可知：组客户“实际平均续航里程数”的平均值；
组客户“实际平均续航里程数”的平均值.
（2）组客户中，“实际平均续航里程数”大于的客户的续航里程数分别为；
组客户中，“实际平均续航里程数”大于的客户的续航里程数分别为；
从两组客户中各抽取位客户，则有，，，，，，，，共种情况；
其中满足组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的情况有，，，共种情况；
所求概率.
（3）方法一：组客户“实际平均续航里程数”的方差；
组客户“实际平均续航里程数”的方差；
，即组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差；
方法二：根据茎叶图可知：组客户“实际平均续航里程数”的数据相较于组客户“实际平均续航里程数”的数据更集中在其平均数附近，即组客户数据整体更加稳定，
组客户“实际平均续航里程数”的方差大于组客户“实际平均续航里程数”的方差.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，以此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第3次取出的球是红球的概率为______．
【答案】/0.504
【详解】3次取出的结果共有8种，分别为：（红，红，红）、（红，红，白）、（红，白，红）、
（红，白，白）、（白，红，红）（白，红，白）、（白，白，红）、（白，白，白），
其中第3次取出的球是红球的情况为（红，红，红）、（红，白，红）、（白，红，红）、（白，白，红）、共4种.
根据题意，，，
，
所以，第3次取出的球是红球的概率.
故答案为：
角度3：有放回与无放回问题的概率
1．（2023·全国·高一专题练习）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 231 021 122 203 012
231 130 133 231 031 123 122 103 233
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：根据题意可知，所有事件的结果数有18种，
其中满足恰好取球三次时“道”､“都”两个字的小球都被取到的事件有：023，203，123共3种，
记“恰好取球三次就停止”为事件，所以.
故答案为：C
2．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“灵､秀､湖､北”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“湖”､“北”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用分别代表“灵､秀､湖､北”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由随机数可知：恰好取球三次就停止的有：，共4组随机数，
所以恰好取球三次就停止的概率，
故选：.
3．（2023·全国·高三专题练习）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，产品长度在区间上的为一等品，在区间和区间上的为二等品，在区间和上的为三等品．
(1)用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，求其为二等品的概率；
(2)已知检测结果为一等品的有6件，现随机从三等品中有放回地连续取两次，每次取1件，求取出的2件产品中恰有1件的长度在区间上的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图可得：检测结果在区间上的频率/组距为：，所以检测结果在区间和区间上的频率为：，用频率估计概率，故二等品的概率为：0.45；
（2）由频率分布直方图可得：检测一等品的概率为，而抽检件数为6，故抽检总数为.
故检测长度在区间和上的数量分别为：，，
所以取出的2件产品中恰有1件的长度在区间上的概率.
4．（2023·四川乐山·统考一模）某班在一次班会课上推出了一项趣味活动：在一个箱子里放有4个完全相同的小球，小球上分别标注有1、2、3、4号码.参加活动的学生有放回地摸两次球，每次摸1个，并分别记录下球的号码数字x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励笔记本1本；②若xy≥8，则奖励水杯1个；③其余情况奖励饮料1瓶.
(1)求小王获得笔记本的概率；
(2)试分析小王获得水杯与获得饮料，哪一个概率大?
【答案】(1)
(2)获得水杯的概率大
【详解】（1）小王两次摸球，的情况包含（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种情况，其中满足的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共有5种情况，
所以小王获得笔记本的概率
（2）满足的基本事件包含（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6个基本事件，所有小王获得水杯的概率，
小王获得饮料的概率，
因为，所有获得水杯的概率大.
5．（2023·全国·高二专题练习）一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，根据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率.
(1)信的选取是无放回的；
(2)信的选取是有放回的.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记事件为“选取的2封信上的数字为相邻整数”．
从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间
{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}，
共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，
{（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知，
故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
（2）从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）}，
共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．
{（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6个样本点，
且这6个样本点出现的可能性是相等的．
由古典概型的概率计算公式知，
故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
6．（2023·全国·高一专题练习）班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择：
方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品．
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；
(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)方案三获得奖品的可能性更大，理由见解析
【详解】（1）记摸到1，2，3号红球分别为，，，摸到4，5号黄球分别为，，
则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，共10个；
按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个；
（2）方案一中，设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”，
则由（1）知事件A包含，，，，共4个样本点，
故；
方案二中，设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”，
则由（1）知事件B包含，，，，，，，，共8个样本点，
故；
方案三中，设两次抽查取的球所标的数字分别为、，
则所有可能的基本事件对应的二元有序数组表示如下表，共25个基本事件，
在方案三中，设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”，
则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点，
故；
因为，所以选择方案三获得奖品的可能性更大
高频考点四：概率的基本性质
角度1：互斥事件，对立事件的概率公式
1．（2023·全国·高一专题练习）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，
所以.
故选：B．
2．（2022秋·高一课时练习）从一副混合后的扑克牌不含大小王中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】一副混合后的扑克牌不含大小王共有52张，则事件A的概率为，
一副扑克牌有13张黑桃，则事件B的概率为，
而事件A与B互斥，则，
所以.
故选：A
3．（2022·高一课时练习）如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中I、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为________，不命中靶的概率是________．
【答案】 / /
【详解】设射手命中圆面I为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，不中靶为事件D，则，，，A，B，C两两互斥，
故射手命中圆环Ⅱ或Ⅱ的概率为，
射手中靶的概率为．
因为中靶和不中靶是对立事件，所以不命中靶的概率．
故答案为：；.
4．（2021·高一课时练习）某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率：
(1)只喜欢打羽毛球；
(2)至少喜欢以上一种运动；
(3)只喜欢以上一种运动；
(4)以上两种运动都不喜欢.
【答案】(1)0.15
(2)0.95
(3)0.65
(4)0.05
【详解】（1）设：A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”
只喜欢打羽毛球：
（2）至少喜欢以上一种运动：
＝
（3）只喜欢以上一种运动：
＝
（4）以上两种运动都不喜欢：
＝
5．（2019春·陕西渭南·高一统考期末）某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,
设“1张奖券中奖”为事件,则,
因为、、两两互斥,所以
故1张奖券中奖的概率为
（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
6．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科（物理、化学、生物）和3门文科学科（历史、政治、地理）的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是相互独立的.
（1）求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；
（2）某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
【答案】（1）（2）
【详解】记表示事件：考生选择生物学科
表示事件：考生选择物理但不选择生物学科;
表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科;
表示事件：选择生物但不选择物理
表示事件：同时选择生物、物理两门学科
（1）,,,
（2）由某校高二段400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,
可知
因为
角度2：独立事件的概率
1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C．若，，A与B相互独立，那么
D．若，，A与B相互独立，那么
【答案】BCD
【详解】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，
但是A与也是互斥事件不成立，故A错误；
对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则
，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，
则，故D正确．
故选：BCD．
2．（2023·上海·高三专题练习）已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么__________．
【答案】/
【详解】解：因为事件A与事件B相互独立，，
则，
所以，
故答案为：
3．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）已知事件A､B相互独立，事件是B的对立事件，且，，则___________.
【答案】
【详解】由，得，且事件A､B相互独立，
则，
故答案为：
4．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)派乙参赛赢得比赛的概率更大
(2)
【详解】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
所以表示“甲赢得比赛”，，
表示“乙赢得比赛”，，
因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大；
（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”
由（1）知，，
所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
所以，
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
5．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲复原三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．
【答案】(1)0.032
(2)0.92
【详解】（1）记“甲第次复原成功”为事件，“乙第次复原成功”为事件，
依题意，，．
“甲第三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立，
．
（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件．
所以．
高频考点五：频率与概率
1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次
【答案】BD
【详解】由题意知朝上的点数是2的频率为，概率为，故A错误；
当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B正确；
抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；
每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷6000次朝上的点数为2的次数大约为．（理论和实际会有一定的出入）故D正确.
故选：BD
2．（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【答案】D
【详解】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；
对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；
对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；
对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.
故选：D
3．（2023·全国·高一专题练习）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【答案】D
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D
4．（2023·全国·高一专题练习）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：
若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为：
116, 812, 730, 452, 125, 217, 109, 361, 284, 147, 318, 027,
则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：，
故选：A.
5．（2023·全国·高一专题练习）某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定击不中靶心；（4）不一定
【详解】（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
（2）击中靶心的次数大约为.
（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
（4）由概率的意义知，不一定.
6．（2023·全国·高一专题练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
【答案】.
【详解】产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
发生导致发生
并事件(和事件)
与至少一个发生
或
交事件(积事件)
与同时发生
或
互斥(互不相容)
与不能同时发生
互为对立
与有且仅有一个发生
，
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
116
785
812
730
134
452
125
689
024
169
334
217
109
361
908
284
044
147
318
027
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
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