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1第九章 统计 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）
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这是一份1第九章 统计 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册），文件包含1第九章统计典型例题讲解原卷版docx、1第九章统计典型例题讲解解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc6852" 1 第九章 统计 典型例题讲解 PAGEREF _Tc6852 \h 1
\l "_Tc6252" 一、基本概念回归 PAGEREF _Tc6252 \h 1
\l "_Tc31562" 二重点例题（高频考点） PAGEREF _Tc31562 \h 4
\l "_Tc27299" 高频考点一：简单随机抽样 PAGEREF _Tc27299 \h 4
\l "_Tc4717" 高频考点二：分层抽样 PAGEREF _Tc4717 \h 5
\l "_Tc16513" 角度1：分层抽样中的抽样问题 PAGEREF _Tc16513 \h 5
\l "_Tc28962" 角度2：分层抽样中的平均数方差计算 PAGEREF _Tc28962 \h 7
\l "_Tc27928" 高频考点三：频率分布直方图 PAGEREF _Tc27928 \h 8
\l "_Tc21592" 高频考点四：总体百分位数的估计 PAGEREF _Tc21592 \h 12
\l "_Tc16157" 高频考点五：平均数、众数、中位数估计值 PAGEREF _Tc16157 \h 13
\l "_Tc18287" 高频考点六：方差（标准差） PAGEREF _Tc18287 \h 16
\l "_Tc5636" 角度1：方差（标准差）的性质 PAGEREF _Tc5636 \h 16
\l "_Tc28501" 角度2：方差（标准差）的计算 PAGEREF _Tc28501 \h 17
\l "_Tc24871" 角度3：根据方差做决策 PAGEREF _Tc24871 \h 18
一、基本概念回归
1.简单随机抽样定义：
一般地，设一个总体含有(为正整数)个个体，从中逐个抽取()个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样，放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
从总体中，逐个不放回地随机抽取个个体作为样本，一次性批量随机抽取个个体作为样本，两
种方法是等价的.
2.总体平均数与样本平均数
（1）总体平均数
一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…，
则称为总体均值，又称总体平均数.
（2）加权平均数
如果总体的个变量值中,不同的值共有()个,不妨记为,,…,,其中出现的频数(),则总体均值还可以写成加权平均数的形式：.
（3）样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…，
则称为样本均值，又称样本平均数.
3.分层随机抽样的步骤
（1）根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；
（2）根据总体中的个体数和样本量计算抽样比；
（3）确定第层应该抽取的个体数目（为第层所包含的个体数），使得各之和为；
（4）在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为的样本.
4.分层随机抽样的平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用 QUOTE 表示第1层各个个体的变量值，用 QUOTE 表示第1层样本的各个个体的变量值；用 QUOTE 表示第2层各个个体的变量值，用 QUOTE 表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
.
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
.
总体平均数和样本平均数分别为
.
由于用第1层的样本平均数 QUOTE ? 可以估计第1层的总体平均数 QUOTE ? ，用第2层的样本平均数 QUOTE ? 可以估计第2层的总体平均数 QUOTE ? ，因此可以用.
5.第百分位数
（1）第百分位数的概念
一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
（2）计算第百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算.
第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据；
若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
（3）四分位数
在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.
6.总体集中趋势的估计
（1）平均数
①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为.
②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低.
（2）众数
①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。
②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势.
（3）中位数
①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.
②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.
7.在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值
(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.
8.总体离散程度的估计
（1）极差
一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.
（2）方差与标准差
一组数据，，，，用表示这组数据的平均数，
则这组数据的方差：；
标准差：
（3）总体方差和标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为,,总体平均数为，则称
为总体方差，为总体标准差．
（4）样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称
为样本方差，为样本标准差．
（5）加权方差
如果总体的个变量值中，不同的值共有()个，记为,,，其中出现的频数为()，则总体方差为.
二重点例题（高频考点）
高频考点一：简单随机抽样
1．（2023·全国·高一专题练习）在一次数学课堂上，陈老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子．
小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查．
小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，采用全面调查．
小夏：为了了解某批导弹的射程，采用全面调查．
小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查．
你认为以上四位同学所列举的事例的调查方式错误的是（ ）
A．小凉B．小爽C．小夏D．小天
2．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）总体由编号为00,01，，28,29的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
0842 2689 5319 6450 9303 2320 9025 6015 9901 9025
2909 0937 6707 1528 3113 1165 0280 7999 7080 1573
A．19B．02C．11D．16
3．（2023·全国·高一专题练习）某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（ ）
A．该市场监管局的调查方法是普查B．样本容量是该超市的20种冷冻饮品
C．总体是超市在售的40种冷冻饮品D．样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量
4．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（ ）
32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145
A．5B．44C．165D．210
5．（2023·全国·高一专题练习）已知下列抽取样本的方式：
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
其中，不是简单随机抽样的个数是
A．1B．2C．3D．4
高频考点二：分层抽样
角度1：分层抽样中的抽样问题
1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）在分层随机抽样中，每个个体等可能地被抽取，下列说法错误的是（ ）
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足n＝n·(i＝1，2，…，k)，其中i是层数，n是样本量，N是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制
2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是（ ）
A．甲应付51钱
B．乙应付32钱
C．丙应付16钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
3．（2023·河北·统考模拟预测）2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为_________人．
4．（2023·全国·高一专题练习）某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定：
（1）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组分别所占的比例；
（2）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
角度2：分层抽样中的平均数方差计算
1．（2023·全国·高一专题练习）某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生､女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18.
(1)如果已知男､女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差；
(2)如果已知男､女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，分别直接写出与与的大小关系；
(3)如果已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高，说明理由.
2．（2023·高一课时练习）高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
3．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少?
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少?
高频考点三：频率分布直方图
1．（2023·全国·高一专题练习）一个社区调查机构就某地居民的月收入（百元）调查了10000人，将所得数据分成如下六组：，，，，，，然后得到如图所示的频率分布直方图．若将这10000人按其月收入也分成相应六组，并进行分层抽样抽出200人作进一步调查，则在这一组中应抽出______人．
2．（2023·上海·高三专题练习）某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成A，B，C，D四个等级，其中等占等占等占等占的比例，规定达到等级及以上才能通过考试，则要通过本次考试的学生分数至少为___________.
3．（2023·全国·高三专题练习）2022年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的分位数为满足的，则估计本例中________.（结果保留小数点后两位有效数字）
4．（2023·全国·高一专题练习）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的月均用电量都在至之间，进行适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值；
(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：）.
5．（2023秋·高一单元测试）“水是生命之源”，但是据科学界统计，可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%，全世界近80%人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：t）：一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过随机抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数，并说明理由；
(2)若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费，估计x的值，并说明理由．
6．（2023·全国·高一专题练习）
对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
（1）完成频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和频率分布折线图；
（3）估计电子元件寿命在100~400小时以内的频率；
高频考点四：总体百分位数的估计
1．（2023·江苏·高一专题练习）抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.
2．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队战胜法国队冠222卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕.下表是连续8届世界杯足球赛的进球总数：
则进球总数的第60百分位数是______.
3．（2023·全国·高一专题练习）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.我国成人的BMI数值标准为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1.则该组数据的第70百分位数为______________.
4．（2023春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为______．
5．（2023·全国·高一专题练习）在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示.
(1)求第三组的频率；
(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.
6．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）凯里市2020年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并估计知识竞赛成绩的第80百分位数；
(2)现从该样本成绩在与的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩来自不同组的概率．
高频考点五：平均数、众数、中位数估计值
1．（2023·全国·模拟预测）如图所示的频率分布直方图，则平均数､众数和中位数的大小关系是（由小到大排列）（ ）
A．众数中位数平均数B．平均数众数中位数
C．中位数平均数众数D．众数平均数中位数
2．（2023·天津·校联考模拟预测）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5D．该校学生中低于的学生大约为1000人
3．（多选）（2023·重庆·统考三模）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为B．样本的中位数为
C．样本的平均值为66D．该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人
4．（2023春·甘肃酒泉·高一校考阶段练习）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小矩形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
(2)通过频率分布直方图估计总体的平均数、中位数、众数.
5．（2023·全国·高一专题练习）树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值和第60百分位数；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
6．（2023·全国·高一专题练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理制度，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了某年100位居民的月均用水量（单位:吨），将数据按照[0，0.5]，（0.5，1]，…，（4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值;
(3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨.当时，估计该市居民的月平均水费.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
高频考点六：方差（标准差）
角度1：方差（标准差）的性质
1．（2023·全国·高一专题练习）数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，，的标准差为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为-2B．乙组样本数据的方差为36
C．两组样本数据的样本中位数一定相同D．两组样本数据的样本极差不同
3．（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）若样本数据的标准差为3，则数据的标准差为______．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知第一组样本数据为3，a，b，7，6，第二组样本数据为7，3a－2，3b－2，19，16，经计算得到第一组样本数据的方差为4，则第二组样本数据的方差为______
5．（2023·全国·高一专题练习）若的方差为3，则的方差为______.
角度2：方差（标准差）的计算
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）某公司在甲销售区域有家分公司，在乙销售区域有家分公司．年该公司在甲销售区域的家分公司的销售额（单位：百万元）的平均数为，方差为，在乙销售区域的家分公司的销售额的平均数为，方差为，则关于年该公司在甲、乙两销售区域的总体平均数和总体方差，下列叙述正确的是（ ）〔附：，〕
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）某高中有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本．经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是（ ）
A．男生样本量为B．每个女生入样的概率均为
C．所有样本的均值为D．所有样本的方差为
3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）：
如果甲乙只有1人能入选，则入选的最佳人选应是________；理由是________.
4．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）数据1，2，a，6的平均数是3，若将这组数据中的每一个数据都加上2023，得到一组新数据，则新数据的标准差为___________.
5．（2023·海南·统考模拟预测）从甲、乙两班各随机抽取5名同学，他们最近一次语文考试中作文得分如下：
甲班：45，45，46，47，48
乙班：47，48，49，50，a
若两组样本数据的方差相等，则a的值可以是__________．（写出1个a的可能取值即可）
（2023·江苏南通·统考模拟预测）为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为（单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为______环2.
角度3：根据方差做决策
1．（2023·高一单元测试）在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组，小组代表两个打分组）
小组：
甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5
乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
小组：
甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0
乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.9
（1）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组与小组那个更专业？
（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；
（3）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）
2．（2023·江苏·高一专题练习）甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74 85 86 90 93
乙：76 83 85 87 97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由．
3．（2023·全国·高一专题练习）为备战十四运，某省射击代表队抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩，结果如下：
(1)分别求甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩的平均数；
(2)通过平均数和方差说明，甲、乙两位射击运动员谁的射击水平更优秀？
4．（2023·全国·高一专题练习）希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
(1)估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差；
(2)判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．
（记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）
参考数据：，，，．
5．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
经计算得，．其中为抽取的第i件产品的评分，．该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费2000万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔2000万元的资金．
(1)若厂家用这2000万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差；
(2)某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品．请你利用所学知识分析，将这2000万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）
6．（2023·安徽黄山·统考二模）为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数；
(2)已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数，和高二年级学生成绩的方差.
7．（2023·全国·高三专题练习）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：
(1)求图1中的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．寿命/小时
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
个数
20
30
80
40
30
分组
频数
频率
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
合计
年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
进球总数
141
171
161
147
145
171
169
172
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
序号（i）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长度
11.6
13.0
12.8
11.8
12.0
12.8
11.5
12.7
13.4
12.4
序号（i）
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
长度
12.9
12.8
13.2
13.5
11.2
12.6
11.8
12.8
13.2
12.0
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.96
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.34
10.04
10.05
9.95
年级
样本平均数
样本方差
高一
60
75
高二
63
高三
55
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc6852" 1 第九章 统计 典型例题讲解 PAGEREF _Tc6852 \h 1
\l "_Tc6252" 一、基本概念回归 PAGEREF _Tc6252 \h 1
\l "_Tc31562" 二重点例题（高频考点） PAGEREF _Tc31562 \h 4
\l "_Tc27299" 高频考点一：简单随机抽样 PAGEREF _Tc27299 \h 4
\l "_Tc4717" 高频考点二：分层抽样 PAGEREF _Tc4717 \h 5
\l "_Tc16513" 角度1：分层抽样中的抽样问题 PAGEREF _Tc16513 \h 5
\l "_Tc28962" 角度2：分层抽样中的平均数方差计算 PAGEREF _Tc28962 \h 7
\l "_Tc27928" 高频考点三：频率分布直方图 PAGEREF _Tc27928 \h 8
\l "_Tc21592" 高频考点四：总体百分位数的估计 PAGEREF _Tc21592 \h 12
\l "_Tc16157" 高频考点五：平均数、众数、中位数估计值 PAGEREF _Tc16157 \h 13
\l "_Tc18287" 高频考点六：方差（标准差） PAGEREF _Tc18287 \h 16
\l "_Tc5636" 角度1：方差（标准差）的性质 PAGEREF _Tc5636 \h 16
\l "_Tc28501" 角度2：方差（标准差）的计算 PAGEREF _Tc28501 \h 17
\l "_Tc24871" 角度3：根据方差做决策 PAGEREF _Tc24871 \h 18
一、基本概念回归
1.简单随机抽样定义：
一般地，设一个总体含有(为正整数)个个体，从中逐个抽取()个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样，放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
从总体中，逐个不放回地随机抽取个个体作为样本，一次性批量随机抽取个个体作为样本，两
种方法是等价的.
2.总体平均数与样本平均数
（1）总体平均数
一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…，
则称为总体均值，又称总体平均数.
（2）加权平均数
如果总体的个变量值中,不同的值共有()个,不妨记为,,…,,其中出现的频数(),则总体均值还可以写成加权平均数的形式：.
（3）样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…，
则称为样本均值，又称样本平均数.
3.分层随机抽样的步骤
（1）根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；
（2）根据总体中的个体数和样本量计算抽样比；
（3）确定第层应该抽取的个体数目（为第层所包含的个体数），使得各之和为；
（4）在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为的样本.
4.分层随机抽样的平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用 QUOTE 表示第1层各个个体的变量值，用 QUOTE 表示第1层样本的各个个体的变量值；用 QUOTE 表示第2层各个个体的变量值，用 QUOTE 表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
.
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
.
总体平均数和样本平均数分别为
.
由于用第1层的样本平均数 QUOTE ? 可以估计第1层的总体平均数 QUOTE ? ，用第2层的样本平均数 QUOTE ? 可以估计第2层的总体平均数 QUOTE ? ，因此可以用.
5.第百分位数
（1）第百分位数的概念
一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
（2）计算第百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算.
第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据；
若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
（3）四分位数
在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.
6.总体集中趋势的估计
（1）平均数
①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为.
②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低.
（2）众数
①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。
②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势.
（3）中位数
①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.
②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.
7.在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值
(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.
8.总体离散程度的估计
（1）极差
一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.
（2）方差与标准差
一组数据，，，，用表示这组数据的平均数，
则这组数据的方差：；
标准差：
（3）总体方差和标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为,,总体平均数为，则称
为总体方差，为总体标准差．
（4）样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称
为样本方差，为样本标准差．
（5）加权方差
如果总体的个变量值中，不同的值共有()个，记为,,，其中出现的频数为()，则总体方差为.
二重点例题（高频考点）
高频考点一：简单随机抽样
1．（2023·全国·高一专题练习）在一次数学课堂上，陈老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子．
小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查．
小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，采用全面调查．
小夏：为了了解某批导弹的射程，采用全面调查．
小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查．
你认为以上四位同学所列举的事例的调查方式错误的是（ ）
A．小凉B．小爽C．小夏D．小天
2．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）总体由编号为00,01，，28,29的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
0842 2689 5319 6450 9303 2320 9025 6015 9901 9025
2909 0937 6707 1528 3113 1165 0280 7999 7080 1573
A．19B．02C．11D．16
3．（2023·全国·高一专题练习）某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（ ）
A．该市场监管局的调查方法是普查B．样本容量是该超市的20种冷冻饮品
C．总体是超市在售的40种冷冻饮品D．样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量
4．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）现要用随机数表法从总体容量为240(编号为001到240)的研究对象中挑选出50个样本，则在下列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（ ）
32451 74491 14562 16510 02456 89640 56816 55464 41630 85621 05214 84513 12541 02145
A．5B．44C．165D．210
5．（2023·全国·高一专题练习）已知下列抽取样本的方式：
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
其中，不是简单随机抽样的个数是
A．1B．2C．3D．4
高频考点二：分层抽样
角度1：分层抽样中的抽样问题
1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）在分层随机抽样中，每个个体等可能地被抽取，下列说法错误的是（ ）
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足n＝n·(i＝1，2，…，k)，其中i是层数，n是样本量，N是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制
2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是（ ）
A．甲应付51钱
B．乙应付32钱
C．丙应付16钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
3．（2023·河北·统考模拟预测）2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为_________人．
4．（2023·全国·高一专题练习）某市两所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路.在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本.试确定：
（1）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师在该组分别所占的比例；
（2）参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数.
角度2：分层抽样中的平均数方差计算
1．（2023·全国·高一专题练习）某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生､女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18.
(1)如果已知男､女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差；
(2)如果已知男､女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，分别直接写出与与的大小关系；
(3)如果已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高，说明理由.
2．（2023·高一课时练习）高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
3．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少?
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少?
高频考点三：频率分布直方图
1．（2023·全国·高一专题练习）一个社区调查机构就某地居民的月收入（百元）调查了10000人，将所得数据分成如下六组：，，，，，，然后得到如图所示的频率分布直方图．若将这10000人按其月收入也分成相应六组，并进行分层抽样抽出200人作进一步调查，则在这一组中应抽出______人．
2．（2023·上海·高三专题练习）某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成A，B，C，D四个等级，其中等占等占等占等占的比例，规定达到等级及以上才能通过考试，则要通过本次考试的学生分数至少为___________.
3．（2023·全国·高三专题练习）2022年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的分位数为满足的，则估计本例中________.（结果保留小数点后两位有效数字）
4．（2023·全国·高一专题练习）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的月均用电量都在至之间，进行适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值；
(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：）.
5．（2023秋·高一单元测试）“水是生命之源”，但是据科学界统计，可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%，全世界近80%人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：t）：一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过随机抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数，并说明理由；
(2)若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费，估计x的值，并说明理由．
6．（2023·全国·高一专题练习）
对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
（1）完成频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和频率分布折线图；
（3）估计电子元件寿命在100~400小时以内的频率；
高频考点四：总体百分位数的估计
1．（2023·江苏·高一专题练习）抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.
2．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队战胜法国队冠222卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕.下表是连续8届世界杯足球赛的进球总数：
则进球总数的第60百分位数是______.
3．（2023·全国·高一专题练习）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.我国成人的BMI数值标准为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1.则该组数据的第70百分位数为______________.
4．（2023春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为______．
5．（2023·全国·高一专题练习）在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示.
(1)求第三组的频率；
(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.
6．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）凯里市2020年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并估计知识竞赛成绩的第80百分位数；
(2)现从该样本成绩在与的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩来自不同组的概率．
高频考点五：平均数、众数、中位数估计值
1．（2023·全国·模拟预测）如图所示的频率分布直方图，则平均数､众数和中位数的大小关系是（由小到大排列）（ ）
A．众数中位数平均数B．平均数众数中位数
C．中位数平均数众数D．众数平均数中位数
2．（2023·天津·校联考模拟预测）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5D．该校学生中低于的学生大约为1000人
3．（多选）（2023·重庆·统考三模）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为B．样本的中位数为
C．样本的平均值为66D．该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人
4．（2023春·甘肃酒泉·高一校考阶段练习）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小矩形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
(2)通过频率分布直方图估计总体的平均数、中位数、众数.
5．（2023·全国·高一专题练习）树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值和第60百分位数；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
6．（2023·全国·高一专题练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理制度，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了某年100位居民的月均用水量（单位:吨），将数据按照[0，0.5]，（0.5，1]，…，（4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值;
(3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨.当时，估计该市居民的月平均水费.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
高频考点六：方差（标准差）
角度1：方差（标准差）的性质
1．（2023·全国·高一专题练习）数据，，，，的平均数为，方差，则数据，，，，的标准差为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为-2B．乙组样本数据的方差为36
C．两组样本数据的样本中位数一定相同D．两组样本数据的样本极差不同
3．（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）若样本数据的标准差为3，则数据的标准差为______．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知第一组样本数据为3，a，b，7，6，第二组样本数据为7，3a－2，3b－2，19，16，经计算得到第一组样本数据的方差为4，则第二组样本数据的方差为______
5．（2023·全国·高一专题练习）若的方差为3，则的方差为______.
角度2：方差（标准差）的计算
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）某公司在甲销售区域有家分公司，在乙销售区域有家分公司．年该公司在甲销售区域的家分公司的销售额（单位：百万元）的平均数为，方差为，在乙销售区域的家分公司的销售额的平均数为，方差为，则关于年该公司在甲、乙两销售区域的总体平均数和总体方差，下列叙述正确的是（ ）〔附：，〕
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）某高中有学生人，其中男生人，女生人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本．经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是（ ）
A．男生样本量为B．每个女生入样的概率均为
C．所有样本的均值为D．所有样本的方差为
3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）：
如果甲乙只有1人能入选，则入选的最佳人选应是________；理由是________.
4．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）数据1，2，a，6的平均数是3，若将这组数据中的每一个数据都加上2023，得到一组新数据，则新数据的标准差为___________.
5．（2023·海南·统考模拟预测）从甲、乙两班各随机抽取5名同学，他们最近一次语文考试中作文得分如下：
甲班：45，45，46，47，48
乙班：47，48，49，50，a
若两组样本数据的方差相等，则a的值可以是__________．（写出1个a的可能取值即可）
（2023·江苏南通·统考模拟预测）为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为（单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为______环2.
角度3：根据方差做决策
1．（2023·高一单元测试）在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组，小组代表两个打分组）
小组：
甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5
乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
小组：
甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0
乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.9
（1）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组与小组那个更专业？
（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；
（3）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）
2．（2023·江苏·高一专题练习）甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74 85 86 90 93
乙：76 83 85 87 97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由．
3．（2023·全国·高一专题练习）为备战十四运，某省射击代表队抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩，结果如下：
(1)分别求甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩的平均数；
(2)通过平均数和方差说明，甲、乙两位射击运动员谁的射击水平更优秀？
4．（2023·全国·高一专题练习）希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
(1)估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差；
(2)判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．
（记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）
参考数据：，，，．
5．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
经计算得，．其中为抽取的第i件产品的评分，．该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费2000万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔2000万元的资金．
(1)若厂家用这2000万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差；
(2)某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品．请你利用所学知识分析，将这2000万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）
6．（2023·安徽黄山·统考二模）为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数；
(2)已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数，和高二年级学生成绩的方差.
7．（2023·全国·高三专题练习）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：
(1)求图1中的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．寿命/小时
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
个数
20
30
80
40
30
分组
频数
频率
100~200
200~300
300~400
400~500
500~600
合计
年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
进球总数
141
171
161
147
145
171
169
172
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
序号（i）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长度
11.6
13.0
12.8
11.8
12.0
12.8
11.5
12.7
13.4
12.4
序号（i）
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
长度
12.9
12.8
13.2
13.5
11.2
12.6
11.8
12.8
13.2
12.0
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.96
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.34
10.04
10.05
9.95
年级
样本平均数
样本方差
高一
60
75
高二
63
高三
55
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