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- 3 第八章 8.5空间直线、平面的平行关系 典型例题讲解高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
- 4 第八章 8.5空间直线、平面的平行关系 典型例题实战（练透核心考点）高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
- 6 第八章 8.6空间直线、平面的垂直关系 典型例题实战（练透核心考点）高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
- 7 第八章 立体几何初步新（定义，文化）高观点必刷必过题高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
- 8 第八章 立体几何初步 章节综合检测（新高考题型，基础卷）高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
5 第八章 8.6空间直线、平面的垂直关系 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）
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一、基本概念回归
二重点例题（高频考点）
高频考点一：直线与平面垂直
高频考点二：平面与平面垂直
高频考点三：垂直综合问题
高频考点四：平行与垂直综合
高频考点五：空间角的求法
角度1：异面直线所成角
角度2：直线与平面所成角
角度3：二面角
高频考点六：空间距离的求法
一、基本概念回归
1、线面，面面垂直的判定和性质定理
2、异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线
（1）图形语言：
（2）符号语言：
（3）异面直线所成的角：
①范围：；
②作异面直线所成的角：平移法.
如右图，在空间任取一点，过作，则所成的角为异面直线所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.
3、直线与平面所成的角（简称线面角）：
①若直线与平面斜交，则斜线与该斜线在平面内射影所成的角叫做线面角。
如图 于，则是在平面内的射影， 则就是直线与平面所成的角。
②范围：
③若，则直线与平面所成的角为；
④若，则直线与平面所成的角为。
4、二面角：
①定义：【如图】
②范围：
③作二面角的平面角的方法：
定义法；三垂线法（常用）；垂面法.
二重点例题（高频考点）
高频考点一：直线与平面垂直
1．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）如图四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，PA⊥面ABCD，E 是AB的中点，F是PC的中点.
(1)求证：DE⊥平面PAB
(2)求证：平面.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
3．（2023·上海·高二专题练习）四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，E为底面圆周上的一点，，，．
(1)求证：平面；
(2)求圆柱的表面积．
4．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面.
5．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
6．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由.
7．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
8．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．
9．（2022·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，是棱的中点．
(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求证：直线平面．
10．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点.
(1)判断三棱锥的体积是否为定值，若是求出其体积，若不是说明理由；
(2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；
高频考点二：平面与平面垂直
1．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
2．（2023秋·广东汕尾·高二统考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
3．（2023·河南郑州·统考一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD，⊥，，，，点E为棱PC的中点．
(1)证明：平面⊥平面PCD；
(2)求四棱锥的体积；
4．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．
(1)证明：平面PCD⊥平面PBC；
(2)若，求三棱锥的体积．
5．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
6．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．（2023·四川成都·统考一模）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足．将沿折起，得到如图②所示的四棱锥．
(1)若为的中点，平面平面，求四棱锥的体积；
(2)设平面平面，证明：平面．
8．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）如图，已知斜三棱柱中，平面⊥平面，为上一点，，为锐角：
(1)求证：⊥平面；
(2)若平面，求证：是等腰三角形.
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．
(1)求证：平面；
(2)当为何值时，使得？
高频考点三：垂直综合问题
1．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
2．（2023·四川成都·统考一模）已知直线和平面．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023·高三课时练习）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是______．（写出所有满足要求的说法序号）
①平面PAD⊥平面PAB； ②平面PAD⊥平面PCD；
③平面PBC⊥平面PAB； ④平面PBC⊥平面PCD．
4．（2023秋·四川广元·高二统考期末）如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.
(1)求证：；
(2)当时，求三棱锥的体积.
5．（2023秋·广东汕尾·高二统考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
6．（2022·上海·上海中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.
(1)证明：平面
(2)证明：平面平面.
7．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
8．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
9．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
高频考点四：平行与垂直综合
1．（2022·高一单元测试）a，b为两条直线，，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
2．（2022·高一单元测试）在正四面体中，D，E，F侧棱，，的中点，下列说法不正确的（ ）
A．面B．面面
C．面面D．面
3．（2022·高一单元测试）如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点．现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．平面平面
4．（多选）（2022秋·山东潍坊·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，，是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积为定值
5．（多选）（2021春·湖南岳阳·高一统考期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．的面积与的面积相等
6．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面平面ABCD，，，．
(1)求证：平面AEFB；
(2)在内（包括边界）是否存在一点N，使得平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．
7．（2021秋·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面ABCD，且，M是棱PB上的动点．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)若平面ACM，求的值；
(3)当M是PB中点时，设平面ADM与棱PC交于点N，求截面ADNM的面积．
8．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．
高频考点五：空间角的求法
角度1：异面直线所成角
1．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）在棱长为1的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数），问质点走完的第2022段与第1段所在的直线所成的角是（ ）
A．0°B．30°C．60°D．90°
4．（多选）（2023·全国·模拟预测）如图，在正方体中，以下结论正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．异面直线与所成的角为60°D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为
5．（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是______.（用区间表示）
6．（2023秋·广东广州·高二统考期末）如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值为_________．
角度2：直线与平面所成角
1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，正三棱柱 (底面是正三角形的直棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为_______．
3．（2022·北京·统考模拟预测）如图所示，已知中，，且，现将沿BC翻折到，满足．
(1)求证：；
(2)若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．
4．（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面PCD，．
(1)求证：为直角三角形；
(2)若，求PA与平面ABCD所成角的余弦值．
5．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线DF与平面所成角的最大值．
角度3：二面角
1．（2022秋·湖南郴州·高二校考阶段练习）如图所示，平面，，，，则二面角的余弦值大小为________.
2．（2022秋·贵州遵义·高二统考期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
(1)证明：；
(2)若，四棱椎P－ABCD的体积为，求二面角P－BC－A的余弦值．
3．（2023·高一课时练习）已知平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为．
(1)二面角的大小；
(2)直线与平面所成的角的大小．
4．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
5．（2021秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；
(3)求异面直线与之间的距离.
6．（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点的位置，连接，O为AC的中点.
(1)若平面平面ABC，求点O到平面的距离；
(2)不考虑点与点B重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
高频考点六：空间距离的求法
1．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，直三棱柱中，，为上的中点.
(1)证明：平面平面;
(2)若，求点到平面的距离.
2．（2023·内蒙古·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若是棱的中点，，求点到平面的距离.
3．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图①，在梯形中，，E为中点，现沿将折起，如图②，其中F，G分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求点B到平面的距离．
4．（2023·陕西榆林·统考一模）如图，在四棱锥中，平面底面，且.
(1)证明：；
(2)求点A到平面的距离.线面垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
面面垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
一、基本概念回归
二重点例题（高频考点）
高频考点一：直线与平面垂直
高频考点二：平面与平面垂直
高频考点三：垂直综合问题
高频考点四：平行与垂直综合
高频考点五：空间角的求法
角度1：异面直线所成角
角度2：直线与平面所成角
角度3：二面角
高频考点六：空间距离的求法
一、基本概念回归
1、线面，面面垂直的判定和性质定理
2、异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线
（1）图形语言：
（2）符号语言：
（3）异面直线所成的角：
①范围：；
②作异面直线所成的角：平移法.
如右图，在空间任取一点，过作，则所成的角为异面直线所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.
3、直线与平面所成的角（简称线面角）：
①若直线与平面斜交，则斜线与该斜线在平面内射影所成的角叫做线面角。
如图 于，则是在平面内的射影， 则就是直线与平面所成的角。
②范围：
③若，则直线与平面所成的角为；
④若，则直线与平面所成的角为。
4、二面角：
①定义：【如图】
②范围：
③作二面角的平面角的方法：
定义法；三垂线法（常用）；垂面法.
二重点例题（高频考点）
高频考点一：直线与平面垂直
1．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）如图四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，PA⊥面ABCD，E 是AB的中点，F是PC的中点.
(1)求证：DE⊥平面PAB
(2)求证：平面.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
3．（2023·上海·高二专题练习）四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，E为底面圆周上的一点，，，．
(1)求证：平面；
(2)求圆柱的表面积．
4．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面.
5．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
6．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由.
7．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
8．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．
9．（2022·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，是棱的中点．
(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求证：直线平面．
10．（2022秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点.
(1)判断三棱锥的体积是否为定值，若是求出其体积，若不是说明理由；
(2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；
高频考点二：平面与平面垂直
1．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）如图，在三棱柱中，为边长为的正三角形，为的中点，，且，平面平面.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
2．（2023秋·广东汕尾·高二统考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
3．（2023·河南郑州·统考一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD，⊥，，，，点E为棱PC的中点．
(1)证明：平面⊥平面PCD；
(2)求四棱锥的体积；
4．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．
(1)证明：平面PCD⊥平面PBC；
(2)若，求三棱锥的体积．
5．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
6．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．（2023·四川成都·统考一模）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足．将沿折起，得到如图②所示的四棱锥．
(1)若为的中点，平面平面，求四棱锥的体积；
(2)设平面平面，证明：平面．
8．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）如图，已知斜三棱柱中，平面⊥平面，为上一点，，为锐角：
(1)求证：⊥平面；
(2)若平面，求证：是等腰三角形.
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．
(1)求证：平面；
(2)当为何值时，使得？
高频考点三：垂直综合问题
1．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
2．（2023·四川成都·统考一模）已知直线和平面．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023·高三课时练习）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是______．（写出所有满足要求的说法序号）
①平面PAD⊥平面PAB； ②平面PAD⊥平面PCD；
③平面PBC⊥平面PAB； ④平面PBC⊥平面PCD．
4．（2023秋·四川广元·高二统考期末）如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.
(1)求证：；
(2)当时，求三棱锥的体积.
5．（2023秋·广东汕尾·高二统考期末）如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
6．（2022·上海·上海中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.
(1)证明：平面
(2)证明：平面平面.
7．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
8．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
9．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
高频考点四：平行与垂直综合
1．（2022·高一单元测试）a，b为两条直线，，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
2．（2022·高一单元测试）在正四面体中，D，E，F侧棱，，的中点，下列说法不正确的（ ）
A．面B．面面
C．面面D．面
3．（2022·高一单元测试）如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点．现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．平面平面
4．（多选）（2022秋·山东潍坊·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，，是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积为定值
5．（多选）（2021春·湖南岳阳·高一统考期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．的面积与的面积相等
6．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面平面ABCD，，，．
(1)求证：平面AEFB；
(2)在内（包括边界）是否存在一点N，使得平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．
7．（2021秋·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面ABCD，且，M是棱PB上的动点．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)若平面ACM，求的值；
(3)当M是PB中点时，设平面ADM与棱PC交于点N，求截面ADNM的面积．
8．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．
高频考点五：空间角的求法
角度1：异面直线所成角
1．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）在棱长为1的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数），问质点走完的第2022段与第1段所在的直线所成的角是（ ）
A．0°B．30°C．60°D．90°
4．（多选）（2023·全国·模拟预测）如图，在正方体中，以下结论正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．异面直线与所成的角为60°D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为
5．（2023秋·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是______.（用区间表示）
6．（2023秋·广东广州·高二统考期末）如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值为_________．
角度2：直线与平面所成角
1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，正三棱柱 (底面是正三角形的直棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为_______．
3．（2022·北京·统考模拟预测）如图所示，已知中，，且，现将沿BC翻折到，满足．
(1)求证：；
(2)若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．
4．（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面PCD，．
(1)求证：为直角三角形；
(2)若，求PA与平面ABCD所成角的余弦值．
5．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线DF与平面所成角的最大值．
角度3：二面角
1．（2022秋·湖南郴州·高二校考阶段练习）如图所示，平面，，，，则二面角的余弦值大小为________.
2．（2022秋·贵州遵义·高二统考期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
(1)证明：；
(2)若，四棱椎P－ABCD的体积为，求二面角P－BC－A的余弦值．
3．（2023·高一课时练习）已知平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为．
(1)二面角的大小；
(2)直线与平面所成的角的大小．
4．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
5．（2021秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；
(3)求异面直线与之间的距离.
6．（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点的位置，连接，O为AC的中点.
(1)若平面平面ABC，求点O到平面的距离；
(2)不考虑点与点B重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
高频考点六：空间距离的求法
1．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，直三棱柱中，，为上的中点.
(1)证明：平面平面;
(2)若，求点到平面的距离.
2．（2023·内蒙古·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若是棱的中点，，求点到平面的距离.
3．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图①，在梯形中，，E为中点，现沿将折起，如图②，其中F，G分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求点B到平面的距离．
4．（2023·陕西榆林·统考一模）如图，在四棱锥中，平面底面，且.
(1)证明：；
(2)求点A到平面的距离.线面垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
面面垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
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