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2第十章 概率 典型例题实战（练透核心考点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）
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这是一份2第十章 概率 典型例题实战（练透核心考点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册），文件包含2第十章概率典型例题实战练透核心考点原卷版docx、2第十章概率典型例题实战练透核心考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13878" 高频考点一：有限样本空间与随机事件 PAGEREF _Tc13878 \h 1
\l "_Tc1056" 高频考点二：事件的关系与运算 PAGEREF _Tc1056 \h 3
\l "_Tc3029" 高频考点三：古典概型 PAGEREF _Tc3029 \h 5
\l "_Tc5326" 高频考点四：概率的基本性质 PAGEREF _Tc5326 \h 10
\l "_Tc31817" 高频考点五：事件的相互独立性 PAGEREF _Tc31817 \h 13
\l "_Tc22166" 高频考点六：频率与概率 PAGEREF _Tc22166 \h 15
高频考点一：有限样本空间与随机事件
1．（2023·高一课时练习）分析下面两句话里含有怎样的随机性．
(1)有意栽花花不发，无心插柳柳成荫．
(2)只在此山中，云深不知处．
2．（2023·高一课时练习）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象．
(1)导体通电时，发热；
(2)抛一块石头，下落；
(3)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(4)掷一枚硬币，出现正面；
(5)某人射击一次，中靶．
3．（2023·高二课时练习）先后抛掷两枚骰子．
(1)写出该试验的样本空间．
(2)出现“点数相同”的结果有多少种？
4．（2023·高一课时练习）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点有______个．
5．（2023·高一课时练习）袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间=______，从中任取两球的样本空间 __________.
高频考点二：事件的关系与运算
1．（多选）（2023·浙江·高二期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生D．至少有1名女生和全是男生
2．（多选）（2023·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出支一等品和支二等品”互斥的事件有 （ ）
A．取出的支笔中，至少支一等品B．取出的支笔中，至多支二等品
C．取出的支笔中，既有一等品也有二等品D．取出的支笔中，没有二等品
3．（2023·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件B．是必然事件
C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件
4．（2023·山西太原·高二山西大附中校考开学考试）连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现反面B．至多2次出现正面
C．有2次或3次出现正面D．有0次或1次出现正面
5．（2023·湖北·高三应城市第一高级中学校联考阶段练习）从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )．
A．①B．②④C．③D．①③
高频考点三：古典概型
1．从2至7的6个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；
(2)若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率.
3．一个袋中袋有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；黑球有2个，编号分别为1，2；白球有一个，编号为1，现从袋中一次随机抽取2个球．
(1)求取出的2个球的颜色不相同的概率；
(2)求取得的球中有1号球的概率．
4．某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛. 现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩（满分为分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；
(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率.
5．北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛.
(1)求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；
(2)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率.
6．为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)用分层抽样的方法从成绩在，这两组的学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同组的概率.
7．面对当前严峻复杂的疫情防控形势，为更好教育引导群众理性对待疫情、科学防控疫情，陕西新华出版传媒集团迅速推出《版新型冠状病毒肺炎防护知识读本》《新冠肺炎防控与心理干预问》种抗疫电子出版物．为了解某市市民对这两种抗疫电子出版物的理解情况，从该市岁岁的人群中随机抽取了人进行调查，并将这人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的值；
(2)将频率视为概率，现从该市年龄在，这两个年龄段的人群中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人参加座谈，求这人来自不同年龄段的概率．
8．口袋中有除颜色外其他完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，若两个编号的和为偶数则甲胜，否则乙胜.两个编号的和为6的事件发生的概率是_______，这种游戏规则_____（填“公平”或“不公平”）.
高频考点四：概率的基本性质
1．从、、、这个数中一次随机地取个数，记所取的这个数的和为，则下列说法错误的是（ ）
A．事件“”的概率为
B．事件“”的概率为
C．事件“”与事件“”为互斥事件
D．事件“”与事件“”互为对立事件
2．某校校庆日为每年5月4日，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A．6%B．15%C．30%D．50%
3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
4．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，1位车主只购买一种保险.
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
5．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？
6．已知事件，互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是___________.
高频考点五：事件的相互独立性
1．假设，，且与相互独立，则（ ）
A．0.12B．0.6C．0.4D．0.08
2．已知是独立事件，，则__________.
3．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是________．
4．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率.
(2)两个人都译不出密码的概率.
(3)恰有1个人译出密码的概率.
5．牯藏节是苗族的传统节日，西江苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，选手、第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，，、在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响.
(1)分别求出、进入第二轮比赛的概率；
(2)若、两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率.
6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率；
(1)乙中靶；
(2)恰有一人中靶；
(3)至少有一人中靶.
高频考点六：频率与概率
1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55B．0.55，0.5C．0.5，0.5D．0.5，0.55
2．甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
(2)计算甲获胜的概率.
3．每道题有4个选项，其中只有一个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是0.25，我每道题目都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确．”这句话是否正确，为什么？
_________________．
4．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为______．
5．关于频率和概率，下列说法中正确的是______．（填序号）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一颗均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次．
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13878" 高频考点一：有限样本空间与随机事件 PAGEREF _Tc13878 \h 1
\l "_Tc1056" 高频考点二：事件的关系与运算 PAGEREF _Tc1056 \h 3
\l "_Tc3029" 高频考点三：古典概型 PAGEREF _Tc3029 \h 5
\l "_Tc5326" 高频考点四：概率的基本性质 PAGEREF _Tc5326 \h 10
\l "_Tc31817" 高频考点五：事件的相互独立性 PAGEREF _Tc31817 \h 13
\l "_Tc22166" 高频考点六：频率与概率 PAGEREF _Tc22166 \h 15
高频考点一：有限样本空间与随机事件
1．（2023·高一课时练习）分析下面两句话里含有怎样的随机性．
(1)有意栽花花不发，无心插柳柳成荫．
(2)只在此山中，云深不知处．
2．（2023·高一课时练习）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象．
(1)导体通电时，发热；
(2)抛一块石头，下落；
(3)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(4)掷一枚硬币，出现正面；
(5)某人射击一次，中靶．
3．（2023·高二课时练习）先后抛掷两枚骰子．
(1)写出该试验的样本空间．
(2)出现“点数相同”的结果有多少种？
4．（2023·高一课时练习）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点有______个．
5．（2023·高一课时练习）袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间=______，从中任取两球的样本空间 __________.
高频考点二：事件的关系与运算
1．（多选）（2023·浙江·高二期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生D．至少有1名女生和全是男生
2．（多选）（2023·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出支一等品和支二等品”互斥的事件有 （ ）
A．取出的支笔中，至少支一等品B．取出的支笔中，至多支二等品
C．取出的支笔中，既有一等品也有二等品D．取出的支笔中，没有二等品
3．（2023·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件B．是必然事件
C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件
4．（2023·山西太原·高二山西大附中校考开学考试）连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现反面B．至多2次出现正面
C．有2次或3次出现正面D．有0次或1次出现正面
5．（2023·湖北·高三应城市第一高级中学校联考阶段练习）从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )．
A．①B．②④C．③D．①③
高频考点三：古典概型
1．从2至7的6个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；
(2)若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率.
3．一个袋中袋有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；黑球有2个，编号分别为1，2；白球有一个，编号为1，现从袋中一次随机抽取2个球．
(1)求取出的2个球的颜色不相同的概率；
(2)求取得的球中有1号球的概率．
4．某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛. 现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩（满分为分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；
(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率.
5．北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛.
(1)求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；
(2)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率.
6．为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)用分层抽样的方法从成绩在，这两组的学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同组的概率.
7．面对当前严峻复杂的疫情防控形势，为更好教育引导群众理性对待疫情、科学防控疫情，陕西新华出版传媒集团迅速推出《版新型冠状病毒肺炎防护知识读本》《新冠肺炎防控与心理干预问》种抗疫电子出版物．为了解某市市民对这两种抗疫电子出版物的理解情况，从该市岁岁的人群中随机抽取了人进行调查，并将这人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的值；
(2)将频率视为概率，现从该市年龄在，这两个年龄段的人群中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人参加座谈，求这人来自不同年龄段的概率．
8．口袋中有除颜色外其他完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，若两个编号的和为偶数则甲胜，否则乙胜.两个编号的和为6的事件发生的概率是_______，这种游戏规则_____（填“公平”或“不公平”）.
高频考点四：概率的基本性质
1．从、、、这个数中一次随机地取个数，记所取的这个数的和为，则下列说法错误的是（ ）
A．事件“”的概率为
B．事件“”的概率为
C．事件“”与事件“”为互斥事件
D．事件“”与事件“”互为对立事件
2．某校校庆日为每年5月4日，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A．6%B．15%C．30%D．50%
3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
4．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，1位车主只购买一种保险.
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
5．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？
6．已知事件，互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是___________.
高频考点五：事件的相互独立性
1．假设，，且与相互独立，则（ ）
A．0.12B．0.6C．0.4D．0.08
2．已知是独立事件，，则__________.
3．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是________．
4．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率.
(2)两个人都译不出密码的概率.
(3)恰有1个人译出密码的概率.
5．牯藏节是苗族的传统节日，西江苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，选手、第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，，、在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响.
(1)分别求出、进入第二轮比赛的概率；
(2)若、两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率.
6．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率；
(1)乙中靶；
(2)恰有一人中靶；
(3)至少有一人中靶.
高频考点六：频率与概率
1．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55B．0.55，0.5C．0.5，0.5D．0.5，0.55
2．甲，乙二人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲，乙共进行了三局比赛.如果甲乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟实验：用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：
123 344 423 114 423 453 354 332 125 342
534 443 541 512 152 432 334 151 314 525
(1)用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
(2)计算甲获胜的概率.
3．每道题有4个选项，其中只有一个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是0.25，我每道题目都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确．”这句话是否正确，为什么？
_________________．
4．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为______．
5．关于频率和概率，下列说法中正确的是______．（填序号）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005．如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一颗均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次．
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