1 第八章 8.1-8.3立体几何图形、直观图、表面积与体积 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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目录
一、基本概念回归
二重点例题（高频考点）
高频考点一：基本立体图形
高频考点二：几何体的表面积与体积
角度1：多面体表面积
角度2：旋转体表面积
角度3：柱体体积
角度4：椎体体积
高频考点三：空间几何体内切球问题
角度1：多面体内切球问题（等体积法求半径）
角度2：旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径）
高频考点四：空间几何体外接球问题
角度1：公式法
角度2：补形法（补长方体或正方体）墙角模型
角度3：对棱相等模型（补形为长方体）
角度4：单面定球心法（定+算）
角度5：双面定球心法（两次单面定球心）
高频考点五：空间几何体的直观图和原图
一、基本概念回归
1、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；
⑵圆锥侧面积：
⑶圆台侧面积：
球的表面积和体积 .
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
二重点例题（高频考点）
高频考点一：基本立体图形
1．（2023·高一课时练习）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
2．（2023·高一课时练习）有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．多面体至少有个面
B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
4．（2023·高一课时练习）如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25B．24C．31D．28
5．（多选）（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）下列命题正确的是（ ）
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
6．（2022秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________
.
高频考点二：几何体的表面积与体积
角度1：多面体表面积
1．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（ ）
A．B．32C．D．
3．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·高一课时练习）已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．135
5．（2023·高一课时练习）若斜三棱柱的高为，侧棱与底面所成角为，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等于______.
6．（2023·高一课时练习）如图，正方体��������−��1��1��1��1的棱长为a，将该正方体沿对角面����1��1��切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得的四棱柱的全面积为_________________.
角度2：旋转体表面积
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
2．（2023·福建漳州·统考二模）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．B．1C．2D．4
3．（2023·湖南邵阳·统考一模）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2023·江苏连云港·统考模拟预测）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）
A．高为B．表面积为
C．体积为D．上底面积、下底面积和侧面积之比为
5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
角度3：柱体（椎体）体积
1．（2023·广东深圳·统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西西安·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12 cm，外层底面直径为16 cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20 cm的球面上，则此模型的体积为_____cm3.
5．（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）如图，长方体中，、与底面所成的角分别为60°和45°，且，点P为线段上一点．
(1)求长方体的体积；
(2)求最小值．
高频考点三：空间几何体内切球问题
角度1：多面体内切球问题（等体积法求半径）
1．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·福建泉州·高二校联考期末）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.
角度2：旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径）
1．（2022·高一单元测试）如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021春·福建三明·高一校联考期中）阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.其墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，在该图中圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，问：球的体积与圆柱的体积的比值和球的表面积与圆柱的表面积的比值分别为（ ）
A． ，1B．，1 C． D．
3．（多选）（2022秋·江苏南京·高三校考期末）如图，已知圆锥的底面圆心为O，半径，侧面积为π，内切球的球心为O1，则下列说法正确的是（ ）
A．内切球O1的表面积为(84－48)π
B．圆锥的体积为3π
C．过点P作平面α截圆锥的截面面积的最大值为2
D．设母线PB中点为M，从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：
①平面截得球的截面面积最小值为；
②球的表面积是圆柱的表面积的；
③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．
其中所有正确的命题序号为___________.
高频考点四：空间几何体外接球问题
角度1：公式法
1．（2022·全国·高一专题练习）正方体的棱长为2，则它的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2022·全国·高三专题练习）若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．
3．（2022春·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期中）正方体的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______.
角度2：补形法（补长方体或正方体）墙角模型
1．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·上海静安·统考一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺.
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·高一开学考试）三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________．
角度3：对棱相等模型（补形为长方体）
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，，，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________.
角度4：单面定球心法（定+算）
1．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023·云南红河·统考一模）三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．球心O在三棱锥的外部
C．球心O到底面ABC的距离为2D．球O的体积为
4．（2023秋·安徽宣城·高二统考期末）在四棱锥中，平面BCDE，，，，且，则该四棱锥的外接球的表面积为______.
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径的球面上，，则该球的体积为______.
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱锥的顶点都在球O的球面上，底面ABC的边长为6，当球O的体积最小时，三棱锥的体积为______．
角度5：双面定球心法（两次单面定球心）
1．（2023·全国·高三专题练习）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在菱形ABCD中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为______．
高频考点五：空间几何体的直观图和原图
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是______.
3．（2023·高三课时练习）若△OAB的斜二测直观图为如图所示的，则原△OAB的面积为______．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 __．
5．（2023·高一课时练习）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中，且，．求AB边的实际长度.