3 第七章 复数 章节综合检测（新高考题型）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
故选：B
2．（2023·陕西商洛·统考一模）若a与b均为实数，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】因为，所以，，
所以.
故选：C
3．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）复数的共轭复数的模是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，则复数的共轭复数为，故其模为.
故选：B.
4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知模为2的复数对应的向量为（为坐标原点），它对应的点位于第二象限，与实轴正向的夹角为，则复数为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】设复数对应的点为，
则，
所以.
故选：D.
5．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意得，所以，
因为，所以，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）若复数是方程的一个根，则的虚部为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【详解】设复数其中为虚数单位，
又复数是方程的一个根
所以，即
所以
所以，故，所以的虚部为
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】因为，所以，
因为为纯虚数，所以，，故，
所以，
则复数在复平面内对应的点为，则其在第四象限.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则表示点到三顶点、、的距离之和.
依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.
此时.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023·高一单元测试）已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．为实数D．在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BD
【详解】对于A,故A错误，
对于B，则，故，故B正确，
对于C，为虚数，故C错误，
对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确，
故选：BD
10．（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知复数，（，，，均为实数），下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．的虚部为
C．若，则D．
【答案】BD
【详解】对于A，复数不等比较大小，A项错误；
对于B，复数，是实部，是虚部，B项正确；
对于C，，所以，而，，不能得到，所以C项错误；
对于D，，，
，所以，D项正确；
故选：BD.
11．（2023·高一单元测试）已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．若，则
【答案】ACD
【详解】，∴，不妨设，，
，A正确；
，C正确；
，∴，时，，B错；
时，，，计算得，
，，同理，D正确．
故选：ACD．
12．（2023·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则
D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
【答案】ACD
【详解】A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，为纯虚数，所以，C正确.
D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确.
故选：ACD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）
13．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为__________．
【答案】
【详解】，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
14．（2023春·天津南开·高三南开大学附属中学校考阶段练习）已知复数，则_________.
【答案】
【详解】因为，故.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三对口高考）已知复数对应的点在复平面第三象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下（i为虚数单位）：
甲：；乙：i；丙：；丁：．
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数__________．
【答案】i
【详解】设i,
甲：,所以,所以；
乙：i，所以，所以，不符合，所以称述错误；
丙：，所以,所以；
丁：，所以，所以，与已知矛盾，所以陈述错误.
所以只有甲丙符合陈述.
所以，所以i.
故答案为：i
16．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式把自然对数的底数e､虚数单位i､三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数z满足，则z的虚部是___________，___________.
【答案】
【详解】由，得，
则由，得，
故z的虚部是，.
故答案为：；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
17．（2023春·全国·高一专题练习）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z是复平面中对应的点位于第二象限.
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）由题意得，所以；
（2）由题意得，所以；
（3）由题意得，所以.
18．（2023·高一单元测试）已知复数z满足的虚部为8．
(1)求复数z；
(2)设在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的长度．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）设，则，
即有．
由的虚部为8，有．
∴或
即或．
（2）当时，
∴点，知：
当时，．
∴点
综上，得．
19．（2023春·全国·高一专题练习）已知复数，存在实数，使成立.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）因为,
所以,消去得.
（2）由得，
所以
.
故的取值范围为
20．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R）
(1)求|z|：
(2)设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题知
∴
即
，
（2）
∴
21．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z＝（m2+m﹣6）+（m2+m﹣2）i（m∈R）在复平面内所对应的点为A．
（1）若复数z+4m为纯虚数，求实数m的值；
（2）若点A在第二象限，求实数M的取值范围；
（3）求|z|的最小值及此时实数m的值．
【答案】（1）m＝﹣6 ；（2）﹣3＜m＜﹣2，或1＜m＜2 ；（3） m＝ 时；有最小值．
【详解】解：（1）复数z+4m＝（m2+5m﹣6）+（m2+m﹣2）i
由
解得m＝﹣6
（2）由
解得﹣3＜m＜﹣2，或1＜m＜2
（3）|z|2＝（m2+m﹣6）2+（m2+m﹣2）2
令m2+m﹣2＝t
t∈[ ，+∞）
则|z|2＝2t2﹣4t+16＝2（t﹣22+8
所以当t＝2，即m＝时，有最小值
22．（2023·高一单元测试）在①；②复平面上表示的点在直线上；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数；（为虚数单位），满足 .
（1）若，求复数以及；
（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值
【答案】(1)；(2)m=-2
【详解】选条件①：.
因为，所以，
解得，又，所以；
选条件②：复平面上表示的点在直线上.
因为，
所以，其表示的点为，
有，解得；
选条件③：.
因为，所以，
所以，解得.
(1)，；
(2)是实系数一元二次方程的根，
则也是该方程的根，所以m=-(+)=.