华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题10一元一次不等式组压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题10一元一次不等式组压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)，共32页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13976" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13976 \h 1
\l "_Tc18788" 【考点一 一元一次不等式组的定义】 PAGEREF _Tc18788 \h 1
\l "_Tc15658" 【考点二 求一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc15658 \h 2
\l "_Tc69" 【考点三 求一元一次不等式组的整数解】 PAGEREF _Tc69 \h 4
\l "_Tc13024" 【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】 PAGEREF _Tc13024 \h 6
\l "_Tc25019" 【考点五 不等式组和方程结合的问题】 PAGEREF _Tc25019 \h 7
\l "_Tc4564" 【考点六 列一元一次不等式组】 PAGEREF _Tc4564 \h 9
\l "_Tc22906" 【考点七 一元一次不等式组的应用】 PAGEREF _Tc22906 \h 11
\l "_Tc4330" 【过关检测】 PAGEREF _Tc4330 \h 13
【典型例题】
【考点一 一元一次不等式组的定义】
例题：(2023秋·八年级单元测试）下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·广东梅州·九年级校考开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
2．(2023春·全国·八年级假期作业）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①；②；③；④；⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点二 求一元一次不等式组的解集】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）解不等式组，请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解不等式①，得：
解不等式②，得：
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴不等式组的解集为：
【变式训练】
1．(2023秋·浙江温州·八年级统考期中）解不等式组： ， 并把解集表示在数轴上．
2．(2023春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
【考点三 求一元一次不等式组的整数解】
例题：(2023·辽宁丹东·校考一模）不等式组的所有整数解是____________
【变式训练】
1．(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）不等式组的整数解为______．
2．(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）不等式组的整数解有________个．
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：(2023秋·浙江宁波·八年级校考期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．
【变式训练】
1．(2023·宁夏银川·校考一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围___________
2．(2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若关于的不等式组 有且仅有3个整数解， 则实数的取值范围是_____________．
【考点五 不等式组和方程结合的问题】
例题：(2023春·山东东营·七年级统考期末）已知关于x、y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是______．
【变式训练】
1．(2023春·广东江门·七年级统考期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是________．
2．(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为______．
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：(2023秋·浙江宁波·八年级统考期中）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个．若学生的人数为，则列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．(2023春·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考阶段练习）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH为x，由题意可得（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023春·广西梧州·七年级校考阶段练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________．
【考点七 一元一次不等式组的应用】
例题：(2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）临近期末某班需要购买一些奖品，经过市场考察得知，购买10个钢笔礼盒和1个水杯需要242元，购买1个钢笔礼盒和10个水杯需要341元．
(1)你能求出每个钢笔礼盒、每个水杯各多少元？（用二元一次方程组解）
(2)根据班级情况，需购进钢笔礼盒和水杯共30个，现要求钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用不超过800元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？
【变式训练】
1．(2023秋·浙江·八年级校联考期中）有甲、乙两种客车，甲客车载客量为40人，乙客车载客量为30人．某校组织180名学生到某红色教育基地开展“庆祝中国共产党第二十次代表大会召开”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用不超过1980元，一次将全部学生送到指定地点．若甲、乙两种客车每辆车的租金分别为400元和320元，有哪几种租车方案？最少租车费用是多少？
2．(2023春·湖南湘西·七年级统考期末）为全面落实乡村振兴总要求，吉首市某乡计划试种植猕猴桃树和蓝莓树共100棵．若种植40棵猕猴桃树，60棵蓝莓树共需投入成本9600元；若种植40棵蓝莓树，60棵猕猴桃树共需投入成本10400元．
(1)求猕猴桃和蓝莓树每棵各需投入成本多少元？
(2)若猕猴桃的种植棵数不少于蓝莓树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·广东江门·江门市华侨中学校考一模）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．(2023·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的一元一次方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．－2B．5C．9D．10
二、填空题
5．(2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）不等式组的整数解是________．
6．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）若有解，则a的取值范围______．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品50件．生产一件产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．设生产件种产品，应满足的不等式组是：______．
8．(2023春·广东深圳·八年级校考期中）对x，y定义一种新的运算F，规定：时，若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是 _____．
三、解答题
9．(2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）解不等式组，并求它的整数解．
10．(2023春·广东河源·七年级校考期末）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
11．（2023·全国·七年级专题练习）解下列一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
12．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）解不等式组，把它的解集在是数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
13．(2023秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知关于的方程组的解都为非负数．
(1)用含有字母的代数式表示和；
(2)求的取值范围；
(3)已知，求的取值范围．
14．(2023秋·湖南长沙·九年级校考期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同，
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《艾青诗选》的数量不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
15．(2023秋·湖南长沙·九年级校联考期末）北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国.阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠，梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，但我们做到了”，世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨.为满足学生课间运动的需求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？
专题10 一元一次不等式组压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13976" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13976 \h 1
\l "_Tc18788" 【考点一 一元一次不等式组的定义】 PAGEREF _Tc18788 \h 1
\l "_Tc15658" 【考点二 求一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc15658 \h 2
\l "_Tc69" 【考点三 求一元一次不等式组的整数解】 PAGEREF _Tc69 \h 4
\l "_Tc13024" 【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】 PAGEREF _Tc13024 \h 6
\l "_Tc25019" 【考点五 不等式组和方程结合的问题】 PAGEREF _Tc25019 \h 7
\l "_Tc4564" 【考点六 列一元一次不等式组】 PAGEREF _Tc4564 \h 9
\l "_Tc22906" 【考点七 一元一次不等式组的应用】 PAGEREF _Tc22906 \h 11
\l "_Tc4330" 【过关检测】 PAGEREF _Tc4330 \h 13
【典型例题】
【考点一 一元一次不等式组的定义】
例题：(2023秋·八年级单元测试）下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．
【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不符合题意；
C、含有两个未知数，不符合题意；
D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答．
【变式训练】
1．（2023秋·广东梅州·九年级校考开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键．
2．(2023春·全国·八年级假期作业）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①；②；③；④；⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
答案：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.
【考点二 求一元一次不等式组的解集】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）解不等式组，请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解不等式①，得：
解不等式②，得：
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴不等式组的解集为：
【答案】；；见详解；．
【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为：．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
【变式训练】
1．(2023秋·浙江温州·八年级统考期中）解不等式组： ， 并把解集表示在数轴上．
【答案】；数轴见解析
【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后用数轴把解集表示即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
所以原不等式组的解为：，
解集表示在数轴上为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．(2023春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
【答案】不等式组的解集为，解集表示在数轴上见解析
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将它在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、数轴，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
【考点三 求一元一次不等式组的整数解】
例题：(2023·辽宁丹东·校考一模）不等式组的所有整数解是____________
【答案】0，1
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为0，1．
故答案为：0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式训练】
1．(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）不等式组的整数解为______．
【答案】-1，0##0，-1
【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：解不等式x+1＞0，得：x＞-2，
解不等式1-x＞0，得：x＜1，
∴不等式组的解集为-2＜x＜1，
∴不等式组的整数解为-1，0，
故答案为：-1，0．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）不等式组的整数解有________个．
【答案】5
【分析】分别解出每一个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则得出该不等式组的解集，最后在该不等式组的解集中找出整数即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的整数解有：共5个．
故答案为：5．
【点睛】本题考查求一元一次不等式组的整数解．掌握求不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：(2023秋·浙江宁波·八年级校考期中）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组的解集为是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，根据题意得出是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023·宁夏银川·校考一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围___________
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集，再由不等式组无解，可得关于m的不等式，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．(2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若关于的不等式组 有且仅有3个整数解， 则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】由关于的不等式组 有且仅有3个整数解，可得不等式的整数解为，从而可得答案．
【详解】解：∵关于的不等式组 有且仅有3个整数解，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解问题，掌握“数形结合的方法解题”是关键．
【考点五 不等式组和方程结合的问题】
例题：(2023春·山东东营·七年级统考期末）已知关于x、y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出方程组的解，再根据，列出关于a的不等式，即可求解．
【详解】解：，
由②×2-①，得：，
把代入①，得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组，一元一次不等式的解法是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023春·广东江门·七年级统考期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，则m的取值范围是________．
【答案】-＜m≤4
【分析】解方程组用m的代数式表示出x、y，根据x为非正数，y为负数列出关于m的不等式组，解之求得m的范围．
【详解】解：解方程组得，
∵x≤0，y＜0，
∴，
解得-＜m≤4；
∴m的取值范围是-＜m≤4．
故答案为：-＜m≤4．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m的不等式组并求解．
2．(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为______．
【答案】5
【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的范围，最后根据，为整数，舍去不符合题意的的值即可求解．
【详解】解：
①＋②得，
将代入①，得
，是正整数，
，
解得，
解不等式③得：
解不等式④得：
有且仅有2个整数解，
解得
是整数
或
当时，，不合题意，故舍去
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：(2023秋·浙江宁波·八年级统考期中）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个．若学生的人数为，则列式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．由此得出不等式组．
【详解】解：根据小朋友的人数为，根据题意可得：
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键．
【变式训练】
1．(2023春·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考阶段练习）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH为x，由题意可得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得，从而得出答案．
【详解】解：根据题意知，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
2．(2023春·广西梧州·七年级校考阶段练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________．
【答案】
【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：
最后一个同学最多分得3个，
则，即．
故答案为．
【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键．
【考点七 一元一次不等式组的应用】
例题：(2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）临近期末某班需要购买一些奖品，经过市场考察得知，购买10个钢笔礼盒和1个水杯需要242元，购买1个钢笔礼盒和10个水杯需要341元．
(1)你能求出每个钢笔礼盒、每个水杯各多少元？（用二元一次方程组解）
(2)根据班级情况，需购进钢笔礼盒和水杯共30个，现要求钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用不超过800元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？
【答案】(1)每个钢笔礼盒21元、每个水杯32元
(2)共有6种购买方案；购买钢笔礼盒20个，则购买水杯10个费用最低
【分析】（1）每个钢笔礼盒x元、每个水杯y元，根据10个钢笔礼盒价格+1个水杯的价格元，1个钢笔礼盒价格+10个水杯的价格元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进钢笔礼盒a个，则购买水杯个，根据钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用不超过800元，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：每个钢笔礼盒x元、每个水杯y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个钢笔礼盒21元、每个水杯32元；
（2）解：设购进钢笔礼盒a个，则购买水杯个，根据题意得：
，
解得：，
∴，16，17，18，19，20，
购进钢笔礼盒15个，则购买水杯15个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒16个，则购买水杯14个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒17个，则购买水杯13个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒18个，则购买水杯12个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒19个，则购买水杯11个，所需要的费用为：（元）；
购进钢笔礼盒20个，则购买水杯10个，所需要的费用为：（元）；
∴共有6种购买方案；购买钢笔礼盒20个，则购买水杯10个费用最低．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程组和不等式组．
【变式训练】
1．(2023秋·浙江·八年级校联考期中）有甲、乙两种客车，甲客车载客量为40人，乙客车载客量为30人．某校组织180名学生到某红色教育基地开展“庆祝中国共产党第二十次代表大会召开”活动，拟租用甲、乙两种客车共5辆，总费用不超过1980元，一次将全部学生送到指定地点．若甲、乙两种客车每辆车的租金分别为400元和320元，有哪几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】有2种租车方案，租3辆甲车，2辆乙车或租4辆甲车，1辆乙车；最少租车费用是1840元．
【分析】根据题意列出不等式组，进而求解即可．
【详解】解：设租用甲种客车a辆，则租用乙种客车辆，依题意有：
，
解得，
∵a为整数，
∴或4，
∴有两种租车方案；
方案一：租3辆甲车，2辆乙车，费用为：（元），
方案二：租4辆甲车，1辆乙车，费用为：（元），
∴有2种租车方案，租3辆甲车，2辆乙车或租4辆甲车，1辆乙车；最少租车费用是1840元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
2．(2023春·湖南湘西·七年级统考期末）为全面落实乡村振兴总要求，吉首市某乡计划试种植猕猴桃树和蓝莓树共100棵．若种植40棵猕猴桃树，60棵蓝莓树共需投入成本9600元；若种植40棵蓝莓树，60棵猕猴桃树共需投入成本10400元．
(1)求猕猴桃和蓝莓树每棵各需投入成本多少元？
(2)若猕猴桃的种植棵数不少于蓝莓树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
【答案】(1)猕猴桃每棵需投入成本120元，蓝莓树每棵需投入成本80元
(2)共有5种种植方案
【分析】（1）设猕猴桃每棵需投入成本x元，蓝莓树每棵需投入成本y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设猕猴桃的种植棵数为a棵，则蓝莓树的种植棵数为棵，根据题意列出一元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：设猕猴桃每棵需投入成本x元，蓝莓树每棵需投入成本y元，
由题意得：，
解得：，
答：猕猴桃每棵需投入成本120元，蓝莓树每棵需投入成本80元；
（2）解：设猕猴桃的种植棵数为a棵，则蓝莓树的种植棵数为棵，
由题意得：，
解得：，
∵a取整数，
∴，39，40，41，42，
∴共有5种种植方案
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据题目所给条件列出关于a的一元一次不等式组．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·广东江门·江门市华侨中学校考一模）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每个不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
2．(2023·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴四个选项中只有选项A符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
3．(2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
4．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的一元一次方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．－2B．5C．9D．10
【答案】B
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有4个整数解确定的取值范围，再由方程的解为正整数，求出满足条件的整数m，从而求解；
【详解】解：由
得：，
由不等式组有且仅有4个整数解，得到
，
解得：，
即整数，
解方程，
得：
因为关于y的一元一次方程的解为正整数
所以,
故整数m的和为5,
故选择：B
【点睛】本题考查了一元一次不等式组及一元一次方程整数解问题，熟练掌握运算法则是解题的关键．
二、填空题
5．(2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）不等式组的整数解是________．
【答案】，
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数解即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键．
6．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）若有解，则a的取值范围______．
【答案】
【分析】根据不等式组有解，可得，解此不等式，即可求解．
【详解】解：有解，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握“大小小大中间找”的口诀是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品50件．生产一件产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．设生产件种产品，应满足的不等式组是：______．
【答案】
【分析】设生产件种产品，则生产产品件，共需要甲种原料千克，乙种原料千克，结合题意“有甲种原料360千克，乙种原料290千克”，即可列出不等式组．
【详解】解：设生产件种产品，则生产产品件，共需要甲种原料千克，乙种原料千克，
由题意，得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
8．(2023春·广东深圳·八年级校考期中）对x，y定义一种新的运算F，规定：时，若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】分和两种情况求解即可．
【详解】解：①若，
由，得，
由，得：，与不符，舍去；
②若，
由得，
解得，
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
三、解答题
9．(2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）解不等式组，并求它的整数解．
【答案】，整数解为，0，1．
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴整数解为，0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
10．(2023春·广东河源·七年级校考期末）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
【答案】，图见解析
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集中的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】
解不等式得：
解不等式得：
原不等式组的解集为
在数轴上表示解集为：
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
11．（2023·全国·七年级专题练习）解下列一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求解两个不等式，并在数轴上表示出解集即可．
【详解】
解：解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集在数轴上表示为：
原不等式组的解为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组；解题的关键是正确求解不等式并在数轴上表示不等式组的解集．
12．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）解不等式组，把它的解集在是数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】，在数轴上表示见解析，0，1，2，3
【分析】求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来，确定出非负整数解即可．
【详解】解：
由①解得：，
由②解得：，
所以，不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示出来如下：
故不等式组的非负整数解为：0，1，2，3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和不等式组的整数解等知识点的应用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集．
13．(2023秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知关于的方程组的解都为非负数．
(1)用含有字母的代数式表示和；
(2)求的取值范围；
(3)已知，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将a当做已知，解方程组即可；
（2）根据解为非负数得到关于a的不等式组，求解即可；
（3）由可得，结合解出b的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：
可得：，解得：
将代入①中可得：，
解得：
∴，
（2）因为关于的方程组的解都为非负数，
可得：，
解得：；
（3）由，可得：，
可得：，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．(2023秋·湖南长沙·九年级校考期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同，
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《艾青诗选》的数量不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】(1)每本《艾青诗选》要35元，每本《格列佛游记》要30元
(2)共有四种购买方案，购买《艾青诗选》17本，《格列佛游记》33本的费用最低，为1585元
【分析】（1）利用相等关系列出二元一次方程组求解即可．
（2）利用一元一次不等式组得到符合条件的每种书的购买数量后，即可列出方案并比较求解．
【详解】（1）解：设每本《艾青诗选》要x元，每本《格列佛游记》要y元，
，
∴，
∴每本《艾青诗选》要35元，每本《格列佛游记》要30元．
（2）设购买《艾青诗选》m本，
，
∴，
∵m是整数，
∴，
∴共有四种购买方案：①《艾青诗选》17本，《格列佛游记》33本；
②《艾青诗选》18本，《格列佛游记》32本；
③《艾青诗选》19本，《格列佛游记》31本；
④《艾青诗选》20本，《格列佛游记》30本；
方案①费用为（元）；
方案②费用为（元）
方案③费用为（元）；
方案④费用为（元）；
由上可知，共有四种购买方案，购买《艾青诗选》17本，《格列佛游记》33本的费用最低，为1585元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键是根据题中的相等或不等关系列出方程或不等式．
15．(2023秋·湖南长沙·九年级校联考期末）北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国.阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠，梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，但我们做到了”，世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨.为满足学生课间运动的需求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？
【答案】(1)A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；
(2)共有8种方案
【分析】（1）根据购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个，然后根据购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，列出一元一次不等式组，即可得出答案．
【详解】（1）解：设A.，B两种品牌足球的单价分别为x元，y元，
根据题意.，得，
解得，
答：A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；
（2）解：设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个，
根据题意.，得，
解得，
∵a为整数，
∴
所以共有8种方案
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．