华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题09不等式的定义和一元一次不等式压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题09不等式的定义和一元一次不等式压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)，共32页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8430" 【典型例题】 PAGEREF _Tc8430 \h 1
\l "_Tc492" 【考点一 不等式的定义】 PAGEREF _Tc492 \h 1
\l "_Tc20420" 【考点二 不等式的性质】 PAGEREF _Tc20420 \h 2
\l "_Tc27508" 【考点三 一元一次不等式的定义】 PAGEREF _Tc27508 \h 3
\l "_Tc16809" 【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】 PAGEREF _Tc16809 \h 4
\l "_Tc22639" 【考点五 求一元一次不等式的整数解】 PAGEREF _Tc22639 \h 6
\l "_Tc18524" 【考点六 列一元一次不等式】 PAGEREF _Tc18524 \h 7
\l "_Tc6790" 【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc6790 \h 8
\l "_Tc16936" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16936 \h 11
【典型例题】
【考点一 不等式的定义】
例题：（2023春·八年级单元测试）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
1．(2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
2．(2023春·北京·七年级校考期末）已知：①；②；③；④；⑤，下列选项中都属于不等式的为（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③④D．②④⑤
【考点二 不等式的性质】
例题：(2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式训练】
1．(2023春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）下列不等式变形不正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．(2023秋·浙江温州·八年级统考期中）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点三 一元一次不等式的定义】
例题：(2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在，，，，，，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2.(2023春·河南新乡·七年级校考期中）下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】
例题：(2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【变式训练】
1．(2023秋·浙江·八年级校联考期中）解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．
，
2．（2023·全国·九年级专题练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
(1)
(2)解不等式，并在数轴上表示解集．
【考点五 求一元一次不等式的整数解】
例题：(2023秋·浙江衢州·八年级校联考期中）不等式的正整数解是______．
【变式训练】
1．(2023秋·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）不等式的非负整数解是 _______．
2．(2023春·广西百色·七年级统考期末）不等式的非负整数解是______．
【考点六 列一元一次不等式】
例题：(2023秋·浙江温州·八年级统考期中）“的倍与的和大于”用不等式表示为________．
【变式训练】
1．(2023·全国·七年级专题练习）学校准备购进两种型号的节能灯共50只，且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，设A型节能灯共购进x只，请你列出相应不等式__________．
2．(2023春·北京海淀·七年级校考阶段练习）某品牌触屏笔记本的成本为6800元，售价为9999元，6.18活动期间，该商家准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的触屏笔记本打x折销售，请列出不等式表示该商家的促销方式：_____．
【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】
例题：(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）某公司计划租用甲、乙两种型号的汽车运送物资，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．
(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
(2)若公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5000元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？
【变式训练】
1．(2023春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）某班为上美术课，决定购买一些水笔和颜料盒，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：
(1)求出每个颜料盒，每支水笔各多少元？
(2)如计划购买颜料盒和水笔的总数为20，所用费用不超过340元，则颜料盒至多购买多少个？
2．(2023秋·山东济南·八年级校考期末）某学校班主任暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若班主任买一张全票，则学生可享受六折优惠．”乙旅行社说：“包括班主任在内都享受七折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为、乙旅行社收费为．
(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
(2)请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
【过关检测】
一、选择题
1．(2023秋·浙江杭州·八年级校考期中）以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）下列判断不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．(2023秋·浙江金华·八年级校联考期中）如果不等式的解集是，那么m必须满足（ ）
A．B．C．D．
5．(2023春·四川绵阳·七年级校考期中）下列解不等式的过程中，出现错误的是（ ）
A．去分母，得B．去括号，得
C．移项，合并同类项，得D．系数化为1，得
6．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）用不等式表示：“x的3倍不大于5 ”是______．
8．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）设，则______．（用“＞”或“＜”填空）
9．（2023春·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）不等式的解集是_________．
10．（2023·全国·九年级专题练习）已知不等式的解集为，则a的取值范围是______．
11．(2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______．
12．(2023春·广东江门·七年级统考期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是______．
三、解答题
13．（2023春·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)x的7倍减去1是正数．
(2)y的与的和不大于0．
(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．
(4)y的20%不小于1与y的和．
14．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）解不等式：．
15．（2023·全国·七年级专题练习）解不等式，并在数轴上表示解集．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)．
18．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）已知：关于的方程的解为非正数，求的取值范围．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故．③
(1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
20．（2023·全国·九年级专题练习）下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．
解不等式：．
解：去分母，得①
去括号，得②
移项，合并同类项，得③
系数化为1，得④
21．(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某文教用品商店欲购进两种文具盒，若购买20个种文具盒和30个种文具盒共需1300元，买30个种文具盒和20个种文具盒共需1200元．
(1)求两种文具盒的进价分别为多少元？
(2)若该商店种文具盒每个售价24元，种文具盒每个售价35元，准备购进两种文具盒共100个，且这两种文具盒全部售出后总获利不小于480元，则最多购进种文具盒多少个？
22．(2023春·广东江门·七年级统考期末）某电器商场销售两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A型号和1台型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台型号计算器，可获利润120元．
(1)求商场销售两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格-进货价格）
(2)商场推出两种优惠套餐供顾客选择，套餐一：两种型号计算器均打八折出售；套餐二：A型号计算器打九折出售，型号计算器打七折出售．现学校需要购买两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？
专题09 不等式的定义和一元一次不等式压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8430" 【典型例题】 PAGEREF _Tc8430 \h 1
\l "_Tc492" 【考点一 不等式的定义】 PAGEREF _Tc492 \h 1
\l "_Tc20420" 【考点二 不等式的性质】 PAGEREF _Tc20420 \h 2
\l "_Tc27508" 【考点三 一元一次不等式的定义】 PAGEREF _Tc27508 \h 3
\l "_Tc16809" 【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】 PAGEREF _Tc16809 \h 4
\l "_Tc22639" 【考点五 求一元一次不等式的整数解】 PAGEREF _Tc22639 \h 6
\l "_Tc18524" 【考点六 列一元一次不等式】 PAGEREF _Tc18524 \h 7
\l "_Tc6790" 【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc6790 \h 8
\l "_Tc16936" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16936 \h 11
【典型例题】
【考点一 不等式的定义】
例题：（2023春·八年级单元测试）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：不等式有：，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．
【变式训练】
1．(2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“ ”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，据此来判断即可．
【详解】解：①是等式；
②符合不等式的定义；
③是多项式；
④符合不等式的定义；
⑤符合不等式的定义；
不等式共有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．
2．(2023春·北京·七年级校考期末）已知：①；②；③；④；⑤，下列选项中都属于不等式的为（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③④D．②④⑤
【答案】D
【分析】用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成．
【详解】①是等式；③是代数式；②④⑤是不等式；
故选：D
【点睛】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键．
【考点二 不等式的性质】
例题：(2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，来进行解答即可．
【详解】解：A.在不等式的两边同时乘，不等式符号改边方向，即为，故本项不符合题意；
B.当时，不成立，故本选项符合题意；
C.在不等式的两边同时除以3，不等式仍然成立，即，故本项不符合题意；
D.在不等式的两边同时减去，不等式仍然成立，即，故本项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式训练】
1．(2023春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）下列不等式变形不正确的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：A、由可以得到，变形正确，不符合题意；
B、由可以得到，则，变形正确，不符合题意；
C、∵，
∴由，可以得到，变形正确，不符合题意；
D、由可以得到，则，变形错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
2．(2023秋·浙江温州·八年级统考期中）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质逐项判定即可．
【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，∴，故此选项不符合题意；
D、∵，∴，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式性质是解题的关键．
【考点三 一元一次不等式的定义】
例题：(2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在，，，，，，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【详解】解：是一元一次不等式的有：，共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【详解】解：A．含有2个未知数，不是一元一次不等式，选项不符合题意；
B．最高次数是2次，不是一元一次不等式，选项不符合题意；
C．是一元一次不等式，选项符合题意；
D．不是整式，则不是一元一次不等式，选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查不等式的定义，一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．
2.(2023春·河南新乡·七年级校考期中）下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，进行判断即可．
【详解】解：①不含未知数，不符合题意；②是一元一次不等式，符合题意；③有两个未知数，不符合题意；④未知数的次数为：2，不符合题意；⑤不是整式，不符合题意；
综上，只有②是一元一次不等式；
故选D．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
【考点四 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示】
例题：(2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
【变式训练】
1．(2023秋·浙江·八年级校联考期中）解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．
，
【答案】，它的解集在数轴上表示见解析
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：去分母，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
2．（2023·全国·九年级专题练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
(1)
(2)解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】(1)，详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上；
（2）通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得，在数轴上表示解集即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以2，得；
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项得，
系数化为1，得，
在数轴上表示解集如图：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确地解一元一次不等式，解集为“”时要用实心点表示．
【考点五 求一元一次不等式的整数解】
例题：(2023秋·浙江衢州·八年级校联考期中）不等式的正整数解是______．
【答案】1
【分析】求出不等式的解集，找出解集中的正整数解即可．
【详解】解：不等式，
去括号得：
移项合并得：，
解得：，
则不等式的正整数解为：1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
【变式训练】
1．(2023秋·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）不等式的非负整数解是 _______．
【答案】2，1，0
【分析】解不等式解集，再找出非负整数即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
非负整数解是：2，1，0，
故答案为2，1，0．
【点睛】本题考查解不等式及非负整数，解题的关键是解不等式．
2．(2023春·广西百色·七年级统考期末）不等式的非负整数解是______．
【答案】0，1，2
【分析】先解出不等式，再找出非负整数解即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴不等式的非负整数解是：0，1，2；
故答案为：0，1，2．
【点睛】本题考查求一元一次不等式的非负整数解．正确的求出不等式的解集，是解题的关键．
【考点六 列一元一次不等式】
例题：(2023秋·浙江温州·八年级统考期中）“的倍与的和大于”用不等式表示为________．
【答案】
【分析】根据题意，列不等式即可．
【详解】解：“的倍与的和大于”用不等式表示为．
故答案为．
【点睛】此题考查了列不等式，解题的关键是根据题意，正确列出不等式．
【变式训练】
1．(2023·全国·七年级专题练习）学校准备购进两种型号的节能灯共50只，且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，设A型节能灯共购进x只，请你列出相应不等式__________．
【答案】
【分析】根据题意表示出B型节能灯共购进只，再利用A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍得出不等式，求出答案．
【详解】解：设A型节能灯共购进x只，则B型节能灯共购进只，根据题意可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出B型节能灯的数量是解题关键．
2．(2023春·北京海淀·七年级校考阶段练习）某品牌触屏笔记本的成本为6800元，售价为9999元，6.18活动期间，该商家准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的触屏笔记本打x折销售，请列出不等式表示该商家的促销方式：_____．
【答案】
【分析】直接利用打折以及利润率求法得出不等关系．
【详解】解：由题意可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据利润＝售价进价，可列不等式求解是解题关键．
【考点七 用一元一次不等式解决实际问题】
例题：(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）某公司计划租用甲、乙两种型号的汽车运送物资，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．
(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
(2)若公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5000元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？
【答案】(1)租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是800、850元
(2)该公司至少租用2辆甲型汽车
【分析】（1）设租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可；
（2）设租用a辆甲型汽车，则租用辆乙型汽车，根据题意列出一元一次不等式并进行求解即可．
【详解】（1）设租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是x、y元，
由题意可得，，
解得，
答：租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是800、850元；
（2）设租用a辆甲型汽车，则租用辆乙型汽车，
由题意可得，，
解得，
答：该公司至少租用2辆甲型汽车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．
【变式训练】
1．(2023春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）某班为上美术课，决定购买一些水笔和颜料盒，请你根据图中所给的信息，解答下列问题：
(1)求出每个颜料盒，每支水笔各多少元？
(2)如计划购买颜料盒和水笔的总数为20，所用费用不超过340元，则颜料盒至多购买多少个？
【答案】(1)每个颜料盒18元，每支水笔15元
(2)颜料盒至多购买13个
【分析】（1）设每个颜料盒元，每支水笔元，根据总价=单价×数量结合图中所给的信息，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买颜料盒个，则购买水笔支，根据总价=单价×数量结合所用费用不超过340元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论．
【详解】（1）解：设每个颜料盒元，每支水笔元，
根据题意得：

解得 ．
答：每个颜料盒18元，每支水笔15元．
（2）解：设购买颜料盒个，则购买水笔支，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
．
答：颜料盒至多购买13个．
【解答】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
2．(2023秋·山东济南·八年级校考期末）某学校班主任暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若班主任买一张全票，则学生可享受六折优惠．”乙旅行社说：“包括班主任在内都享受七折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为、乙旅行社收费为．
(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
(2)请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
【答案】(1)，
(2)当学生人数是3人时，两家旅行社的收费是一样的；
当（x为整数）时，乙旅行社更优惠；
当（x为整数）时，甲旅行社更优惠
【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费方式即可；
（2）分别利用、、得出的取值范围，得出答案即可．
【详解】（1）解：由题意，得
，
．
（2）解：①当时，
，
解得，
当学生人数是3人时，两家旅行社的收费是一样的；
②当时，
，
解得；
当（x为整数）时，乙旅行社更优惠；
③当时，
，
解得．
当（x为整数）时，甲旅行社更优惠．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用——最佳方案问题，利用方程与不等式的知识来讨论学生人数与最佳方案之间的关系是解题关键．
【过关检测】
一、选择题
1．(2023秋·浙江杭州·八年级校考期中）以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义进行判断即可．
【详解】解：、、是不等式，和不是不等式，
即不等式有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．
2．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．没有含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B．含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式，故本选项符合题意；
D．不是整式的不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式．
3．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）下列判断不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】A. 若，则不等式两边同时加2，不等号不变，选项正确；
B. 若，则不等式两边同时乘，不等号改变，选项正确；
C. 若，则不等式两边同时乘2，不等号不变，选项正确；
D. 若，则不等式两边同时乘，有可能，选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，需要特别注意不等式两边同时乘（除）一个正数不等号不变，同时乘（除）一个负数不等号改变．
4．(2023秋·浙江金华·八年级校联考期中）如果不等式的解集是，那么m必须满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两边同时除以，不等号的方向改变，可得，据此即可求解．
【详解】解：因为的解集是，不等号的方向改变了，
所以，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．
5．(2023春·四川绵阳·七年级校考期中）下列解不等式的过程中，出现错误的是（ ）
A．去分母，得B．去括号，得
C．移项，合并同类项，得D．系数化为1，得
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的解法逐项判断即可得．
【详解】解：，
两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得，
由此可知，出现错误的是选项D，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
6．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设答对x道，则答错道，根据成绩超过了60分列不等式求解即可.
【详解】解：设答对x道，则答错道，由题意得
，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据实际问题中的条件列不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出不等关系，列出不等式式是解题关键．
二、填空题
7．（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）用不等式表示：“x的3倍不大于5 ”是______．
【答案】3x≤5
【分析】根据题意列出不等式即可．
【详解】由题意得:
故答案为:
【点睛】本题考查不等式的表示方式,关键在于理解题意列出不等式．
8．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）设，则______．（用“＞”或“＜”填空）
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．（2023春·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）不等式的解集是_________．
【答案】
【分析】解不等式即可求解．
【详解】解：由原不等式得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握和运用解一元一次不等式的步骤和方法是解决本题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）已知不等式的解集为，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据不等式的解集为，得到不等号发生了改变，进而得到，进行求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据不等式的解的情况，求参数的取值范围．熟练掌握不等式两边同除一个负数时，不等号发生改变，是解题的关键．
11．(2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的未知数的次数等于，系数不等于即可得出答案．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0是解题的关键．
12．(2023春·广东江门·七年级统考期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可．
【详解】解：，
得：，即：；
∵，
∴，解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．熟练掌握加减法解二元一次方程组，是解题的关键．
三、解答题
13．（2023春·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)x的7倍减去1是正数．
(2)y的与的和不大于0．
(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．
(4)y的20%不小于1与y的和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】（1）根据“x的7倍减去1是正数”直接列不等式即可；
（2）根据“y的与的和不大于0”直接列不等式即可；
（3）根据“正数a与1的和的算术平方根大于1”直接列不等式即可；
（4）根据“y的20%不小于1与y的和”直接列不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：；
（3）解：由题意得：；
（4）解：由题意得：．
【点睛】本题主要考查列不等式，准确理解“大于，小于，不大于，不小于”这些词语是关键．
14．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）解不等式：．
【答案】
【分析】利用去分母，合并以及不等式的基本性质解一元一次不等式方法计算即可．
【详解】解：
去分母，得
移项、合并同类项，得
∴．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
15．（2023·全国·七年级专题练习）解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】按照解不等式的步骤解不等式即可得出不等式的解集，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并得，
系数化为1，得：
把不等式的解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴表示见解析
【分析】先去分母，然后再去括号，再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1得出不等式的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为1得，
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题主要考查了解不等式，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算，注意不等式两边同除以一个相同的负数，不等号方向改变．
17．（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)．
【答案】(1)，数轴表示见解析
(2)，数轴表示见解析
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，解不等式，在数轴上表示出解集即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式，在数轴上表示出解集即可．
【详解】（1）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：；
数轴表示如下：
（2）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
数轴表示如下：
【点睛】本题考查解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
18．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）已知：关于的方程的解为非正数，求的取值范围．
【答案】
【分析】先根据一元一次方程的解法得到方程的解，然后再根据题意可列不等式进行求解．
【详解】解：由可得，
∵该方程的解为非正数，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次方程及一元一次不等式的解法是解题的关键．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故．③
(1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②
(2)-2022a＋1＜-2022b＋1
【分析】（1）由题意a＞b，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误；
（2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解．
【详解】（1）由题意得②错误，
根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断；
故答案为：②；
（2）因为，
所以-2022a＜-2022b，
故-2022a＋1＜-2022b＋1．
【点睛】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键．
20．（2023·全国·九年级专题练习）下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．
解不等式：．
解：去分母，得①
去括号，得②
移项，合并同类项，得③
系数化为1，得④
【答案】不正确，第①步开始错误，改正见解析
【分析】第①步开始错误，漏乘了，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解．
【详解】解：第①步开始错误，应该改成：
去分母，得．
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为，得.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
21．(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某文教用品商店欲购进两种文具盒，若购买20个种文具盒和30个种文具盒共需1300元，买30个种文具盒和20个种文具盒共需1200元．
(1)求两种文具盒的进价分别为多少元？
(2)若该商店种文具盒每个售价24元，种文具盒每个售价35元，准备购进两种文具盒共100个，且这两种文具盒全部售出后总获利不小于480元，则最多购进种文具盒多少个？
【答案】(1)每本种笔记本的进价为20元，每本种笔记本的进价为30元
(2)最多购进种笔记本20本
【分析】（1）设每个种文具盒的进价为元，每个种文具盒的进价为元，根据“购进3个种文具盒与4个种文具盒花180元；购进5个种文具盒与2个种文具盒花160元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进种文具盒个，则购进种文具盒（）个，利用总利润每本的销售利润销售数量（购进数量），即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设每个种文具盒的进价为元，每个种文具盒的进价为元，
依题意得：，解得：，
答：每个种文具盒的进价为20元，每个种文具盒的进价为30元；
（2）解：设购进种文具盒个，则购进种文具盒（）个，
依题意得：，解得：，
∵为正整数，
∴的最大值为20．
答：最多购进种笔记本20本．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．(2023春·广东江门·七年级统考期末）某电器商场销售两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A型号和1台型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台型号计算器，可获利润120元．
(1)求商场销售两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格-进货价格）
(2)商场推出两种优惠套餐供顾客选择，套餐一：两种型号计算器均打八折出售；套餐二：A型号计算器打九折出售，型号计算器打七折出售．现学校需要购买两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？
【答案】(1)两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元
(2)学校购买型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算；学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算；学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算
【分析】（1）型号的计算器的销售价格分别是元和元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设学校购买A型号计算器台，得到若学校选套餐一购买计算器，则需支付元；若学校选套餐二购买计算器，则需支付元．分①选择套餐一购买更划算、②选择套餐二购买更划算、③若两种套餐一样划算三种情况，分别列不等式和方程即可求解．
【详解】（1）解：设型号的计算器的销售价格分别是元和元，
依题意得，
解得，
答：两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；
（2）解：设学校购买A型号计算器台，若学校选套餐一购买计算器，则需支付元；若学校选套餐二购买计算器，则需支付元．
①若选择套餐一购买更划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算；
②若选择套餐二购买更划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算．
③若两种套餐一样划算，则
解得，，
即学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次方程的应用，理解题意，根据题意列出方程（组）或不等式是解题关键．