苏科版七年级数学下册专题18一元一次不等式组及其实际应用问题压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册专题18一元一次不等式组及其实际应用问题压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)，共34页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13447" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13447 \h 1
\l "_Tc24587" 【考点一 一元一次不等式组的定义】 PAGEREF _Tc24587 \h 1
\l "_Tc8792" 【考点二 求一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc8792 \h 2
\l "_Tc17876" 【考点三 求一元一次不等式组的整数解】 PAGEREF _Tc17876 \h 4
\l "_Tc12646" 【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】 PAGEREF _Tc12646 \h 6
\l "_Tc27919" 【考点五 不等式组和方程结合的问题】 PAGEREF _Tc27919 \h 8
\l "_Tc32165" 【考点六 列一元一次不等式组】 PAGEREF _Tc32165 \h 10
\l "_Tc1315" 【考点七 一元一次不等式组的应用】 PAGEREF _Tc1315 \h 11
\l "_Tc30491" 【过关检测】 PAGEREF _Tc30491 \h 15
【典型例题】
【考点一 一元一次不等式组的定义】
例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【考点二 求一元一次不等式组的解集】
例题：（2023·江苏淮安·统考一模）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【变式训练】
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）解不等式组，并在数轴上画出该不等式组的解集
2．（2023春·广东清远·八年级校联考期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)．
【考点三 求一元一次不等式组的整数解】
例题：（2023·河南开封·统考一模）不等式组的最小整数解是______．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）不等式组的整数解为______．
2．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：（2023春·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是________．
2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是_________．
【考点五 不等式组和方程结合的问题】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（ ）
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解
②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变；
④若x≤1，则y≥；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为_______．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）七年级下册数学课本有如下6章：《相交线与平行线》、《实数》、《平面直角坐标系》、《二元一次方程组》、《不等式与不等式组》、《数据的收集、整理与描述》．期末试卷编题要求，每章至少有3个题，全卷总题数不超过26题，若本次期末试卷的全卷总题数为，则的取值范围是______．
【考点七 一元一次不等式组的应用】
例题：（2023·山东东营·统考一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
(1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
(2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
【变式训练】
1．（2023·湖北恩施·统考一模）我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
2．（2023春·全国·七年级专题练习）为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球：
(1)一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少元？
(2)甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：所有商品打八折：乙商店的优惠是：买一副羽毛球拍送n只羽毛球，通过调查发现，如果只到一个商店购买5副羽毛球拍和26只羽毛球时，到甲商店更划算：若只购买一副羽毛球拍和n只羽毛球，则乙商店更划算．求n的值．
(3)在（2）的条件下，当时，学校如何购买羽毛球拍和羽毛球最划算，请说明理由．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）不等式组，的所有整数解的和为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川内江·校考一模）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数有（ ）种情况．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
6．（2023·上海金山·统考二模）不等式组的解集是________．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是______．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）把一些书分给n名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，则_______．
9．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
10．（2023春·七年级单元测试）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
三、解答题
11．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：，并写出它的正整数解．
12．（2023·广东广州·广州市第二中学校考一模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
13．（2023·湖北黄冈·校考一模）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?
(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
14．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数a的值．
15．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程．
(1)分别计算：当时，输出值为___________，当时，输出值为___________；
(2)若需要经过两次运算，才能运算出y，求x的取值范围；
(3)请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．
16．（2023春·浙江温州·七年级校考期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值 ．(直接写出答案)
专题18 一元一次不等式组及其实际应用问题压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13447" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13447 \h 1
\l "_Tc24587" 【考点一 一元一次不等式组的定义】 PAGEREF _Tc24587 \h 1
\l "_Tc8792" 【考点二 求一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc8792 \h 2
\l "_Tc17876" 【考点三 求一元一次不等式组的整数解】 PAGEREF _Tc17876 \h 4
\l "_Tc12646" 【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】 PAGEREF _Tc12646 \h 6
\l "_Tc27919" 【考点五 不等式组和方程结合的问题】 PAGEREF _Tc27919 \h 8
\l "_Tc32165" 【考点六 列一元一次不等式组】 PAGEREF _Tc32165 \h 10
\l "_Tc1315" 【考点七 一元一次不等式组的应用】 PAGEREF _Tc1315 \h 11
\l "_Tc30491" 【过关检测】 PAGEREF _Tc30491 \h 15
【典型例题】
【考点一 一元一次不等式组的定义】
例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山六中校考阶段练习）下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．
【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不符合题意；
C、含有两个未知数，不符合题意；
D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答．
【考点二 求一元一次不等式组的解集】
例题：（2023·江苏淮安·统考一模）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
把它的解集在数轴上表示出来如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）解不等式组，并在数轴上画出该不等式组的解集
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
在数轴上画出该不等式组的解集如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
2．（2023春·广东清远·八年级校联考期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)．
【答案】(1)不等式组的解集为，解集表示在数轴上见解析
(2)不等式组的解集为，解集表示在数轴上见解析
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解：解不等式≥，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式（组）的解集，能求出不等式组的解集，是解此题的关键．
【考点三 求一元一次不等式组的整数解】
例题：（2023·河南开封·统考一模）不等式组的最小整数解是______．
【答案】2
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，确定不等式组的解集，再确定最小整数解即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的最小整数解为：2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解问题，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）不等式组的整数解为______．
【答案】1
【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得出：，
解不等式②得出：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查求一元一次不等式组的整数解，正确解一元一次不等式组是解题的关键．
2．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【答案】，数轴表示见解析，整数解为1、2、3
【分析】分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后得出整数解即可．
【详解】解：，
移项合并得，，
系数化为1得，，
∴不等式的解集为，
，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
∴不等式的解集为，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示解集如下：
，
∴整数解：1．2．3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识．解题的关键是掌握解不等式组的基本步骤．
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：（2023春·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组的解集为，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可．
【详解】解：解不等式 得：x＜2，
解不等式 ，得：，
∵不等式组只有3个整数解，
∴
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，解得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点五 不等式组和方程结合的问题】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解．
【详解】解：
由得：
∴，
∵，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把方程组中的两个方程相加即可得到，再利用得到不等式即可求解．
【详解】解：，
①+②，得，
∴，
又∵，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，解题的关键是根据方程组的特点得到的值．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（ ）
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解
②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变；
④若x≤1，则y≥；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】解方程组得，①将a＝1的值代入方程组的解和方程中进行判断即可；②将a＝﹣2代入方程组的解，依据相反数的概念判断即可；③将所求x、y代入2x+7y，判断最后化简结果与a有无关系即可；④由x≤1得出a的范围，再结合a的范围求出的范围即可．
【详解】解：解方程组得，
①当a＝1时，，此时方程x+y＝4﹣1＝3，x＝3、y＝0是该方程的解，正确，不符合题意；
②当a＝﹣2时，，x、y不是互为相反数，错误，符合题意；
③2x+7y＝＝6，不论a取什么数，2x+7y的值始终不变，正确，不符合题意；
④若x≤1，则≤1，解得a≤，此时≥，正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式及不等式组的能力．
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，当天盐湖区气温的变化范围用不等式表示为_______．
【答案】
【分析】根据题意列出不等式组即可．
【详解】根据题意知：盐湖区今天的最高气温是，最低气温是，
∴当天盐湖区气温的变化范围为：
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________．
【答案】
【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：
最后一个同学最多分得3个，
则，即．
故答案为．
【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）七年级下册数学课本有如下6章：《相交线与平行线》、《实数》、《平面直角坐标系》、《二元一次方程组》、《不等式与不等式组》、《数据的收集、整理与描述》．期末试卷编题要求，每章至少有3个题，全卷总题数不超过26题，若本次期末试卷的全卷总题数为，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】设本次期末试卷的全卷总题数为，根据七年级下册数学课本有6章，每章至少有3个题，全卷总题数不超过26题，即可列出关于的不等式组．
【详解】解：设本次期末试卷的全卷总题数为，根据题意得，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意得到不等关系．
【考点七 一元一次不等式组的应用】
例题：（2023·山东东营·统考一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
(1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
(2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
【答案】(1)A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元
(2)5种
【分析】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A，B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，
则，
解得，
∵m为整数，
∴m为54，55，56，57，58，
∴共有5种购买方案．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
【变式训练】
1．（2023·湖北恩施·统考一模）我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
【答案】(1)购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元；
(2)共有3种购买方案；方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
(3)方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵
【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）比较各方案即可得答案．
【详解】（1）解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得，
解得
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为51，52，53，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
（3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；元，
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；元，
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵.元，
∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球：
(1)一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少元？
(2)甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：所有商品打八折：乙商店的优惠是：买一副羽毛球拍送n只羽毛球，通过调查发现，如果只到一个商店购买5副羽毛球拍和26只羽毛球时，到甲商店更划算：若只购买一副羽毛球拍和n只羽毛球，则乙商店更划算．求n的值．
(3)在（2）的条件下，当时，学校如何购买羽毛球拍和羽毛球最划算，请说明理由．
【答案】(1)一副羽毛球拍的价格是30元，一只羽毛球的价格是2元
(2)4
(3)到甲购买10个羽毛球、到乙买5副羽毛球拍，理由见解析
【分析】（1）设一副羽毛球拍的价格是x元，一只羽毛球的价格是y元，根据一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球，列出方程组进行求解即可；
（2）根据题意，列出不等式组，进行求解即可；
（3）分别算出到甲商店购买花费的费用，乙商店购买，花费的费用，以及去两个商店混合买的费用，进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设一副羽毛球拍的价格是x元，一只羽毛球的价格是y元，
由题意，得： ．
解得 ．
答：一副羽毛球拍的价格是30元，一只羽毛球的价格是2元；
（2）依题意得：．
解不等式组，得．
因为n是正整数，
所以；
（3）当时，
甲商店消费额：（元），
乙商店消费额：（元），
①到甲购买4副羽毛球拍、到乙买1副羽毛球拍：
（元），
②到甲购买10个羽毛球、到乙买5副羽毛球拍：
（元），
因为，
所以当时，学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要166元．
∴到甲购买10个羽毛球、到乙买5副羽毛球拍．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）不等式组，的所有整数解的和为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】D
【分析】求出不等式组的解集，然后找出整数解即可求解．
【详解】
解：由①得：
，
由②得：
，
此不等式组的解集为：，
为整数，
取0、、、、，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，正确的求出不等式的解集，是解题的关键．注意在数轴上表示解集时含等于用实心，不含等于用空心．
4．（2023·四川内江·校考一模）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】解不等式组，得到x的取值范围，再根据题意判断a的范围，即可解答．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
故不等式组的解集为：，
关于x的不等式组恰有三个整数解，
，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了本剧一元一次不等式组的解的情况求参数，熟练解含有参数的一元一次不等式组是解题的关键．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数有（ ）种情况．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】先根据题意得到一个关于的不等式组，然后求出符合题意的数即可．
【详解】由题意得，
解得，
整数解有．
故选B．
【点睛】本题考查简单的程序框图以及不等式组整数解的求法．由题意可得到一个关于的不等式组，然后求解即可．
二、填空题
6．（2023·上海金山·统考二模）不等式组的解集是________．
【答案】
【分析】根据解不等式组的基本步骤求解即可．
【详解】，
解①得，解②得，
故不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是______．
【答案】a＜﹣2
【分析】先求出各个不等式的解集，再根据不等式组无解列出关于a的不等式，即可解得答案．
【详解】解：
解不等式①得，x≥﹣2，
解不等式②得，x≤2a＋2，
∵不等式组无解，
∴2a＋2＜﹣2，
解得a＜﹣2，
故答案为：a＜﹣2
【点睛】此题考查了解不等式组，根据不等式组的解求参数，解题的关键是掌握不等式组无解的条件．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）把一些书分给n名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，则_______．
【答案】5或6/6或5
【分析】根据题意得到，0<3n+8-5(n-1)<4，解得4.5【详解】解：根据题意可知，0<3n+8-5(n-1)<4，
∴0<-2n+13<4，
∴4.5∴n=5，或n=6，
故答案为：5或6．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决问题的关键是熟练掌握问题中的不等关系列出不等式组解答．
9．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：
解不等式①可得：
解不等式①可得：
因为该不等式组的解集为
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．
10．（2023春·七年级单元测试）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，
∴
解得：a=1，b=3，
解得，
，解得，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
三、解答题
11．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】不等式组的解集为：．它的正整数解为：1，2．
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
【详解】解：，
不等式①的解集为：．
不等式②的解集为：．
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的的正整数解为：1，2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
12．（2023·广东广州·广州市第二中学校考一模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式的解集如图所示，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
13．（2023·湖北黄冈·校考一模）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?
(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
(2)最省的方案是购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，所需费用为280万元
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，根据费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，得到不等式组，解不等式组后，根据m是正整数写出方案，即可得到最省钱方案．
【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
由题意得，，
解得，
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，
根据题意得，，
解得，且m为正整数，
当时，，即购买A型汽车3辆，购买B型汽车7辆，此时费用为（万元）；
当时，，即购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，此时费用为（万元）；
∴最省的方案是购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，所需费用为280万元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键．
14．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数a的值．
【答案】(1)
(2)满足条件的整数a的值为，
【分析】（1）用含的式子表示出方程组的解，再根据方程组的解满足x为非正数，y为正数，列出不等式组，进行求解即可；
（2）根据题意，可得：，结合（1）中的取值范围，进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，得：，解得：，
把，代入②，得：，解得：，
∴方程组的解为：，
∵关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数，
∴，解得：；
（2）解：∵
∴，
∵不等式的解集为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴满足条件的整数a的值为，．
【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的取值范围、解一元一次不等式组．正确的求出方程组的解，是解题的关键．
15．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程．
(1)分别计算：当时，输出值为___________，当时，输出值为___________；
(2)若需要经过两次运算，才能运算出y，求x的取值范围；
(3)请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．
【答案】(1)449，716
(2)
(3)取的任意值，见解析
【分析】（1）分别把与代入进行计算即可；
（2）根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可；
（3）根据题意列举出x的值即可．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴输出值为449；
∵当时，，
∴，
，
∴输出值为716．
故答案为：449，716；
（2）解：∵需要经过两次运算，才能运算出y，
∴，
解得．
（3）解：取的任意值，
理由：∵当时，恒成立，
∴无论运算多少次都不能输出．
【点睛】此题考查了程序流程图与有理数计算、解一元一次不等式组，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算．
16．（2023春·浙江温州·七年级校考期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值 ．(直接写出答案)
【答案】(1)5，10
(2)加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完
(3)，298
【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板，一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量；；
（2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，根据所用长方形纸板数竖式无盖纸盒数横式无盖纸盒数，可得出a关于m的等式，结合a，m为正整数及，可找出a的所有可能值．．
【详解】（1）解：根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）；
根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面+2个长方形侧面+一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）；
综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板张，长方形纸板张，
故答案为：5，10；
（2）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，
根据题意得：，
解得：，
∴加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完，
答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（3）解：设竖式纸盒加工m个，则横式纸盒加工个，
由题意得：，化简得：，
，且、为整数，
，即，
∴满足题意的m有，
使为整数的取值是：，，
的所有可能值是：，．
故答案为：293，298.
【点睛】本题考查实际应用题，涉及到立体图形的侧面展开、二元一次方程应用和不等式组的应用，根据题意准确找到等量关系是解决问题的关键．