浙教版七年级数学下册专题10单项式的乘法与多项式的乘法压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题10单项式的乘法与多项式的乘法压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)，共27页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10804" 【典型例题】 PAGEREF _Tc10804 \h 1
\l "_Tc28215" 【考点一 计算单项式乘多项式】 PAGEREF _Tc28215 \h 1
\l "_Tc27245" 【考点二 计算多项式乘多项式】 PAGEREF _Tc27245 \h 2
\l "_Tc5435" 【考点三 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 PAGEREF _Tc5435 \h 3
\l "_Tc3570" 【考点四 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 PAGEREF _Tc3570 \h 4
\l "_Tc29206" 【考点五 多项式乘多项式——化简求值】 PAGEREF _Tc29206 \h 5
\l "_Tc28098" 【考点六 多项式乘多项式与图形面积】 PAGEREF _Tc28098 \h 6
\l "_Tc2471" 【考点七 整式乘法混合运算】 PAGEREF _Tc2471 \h 8
\l "_Tc13231" 【过关检测】 PAGEREF _Tc13231 \h 9
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘多项式】
例题：（2023秋·天津西青·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：______．
3．（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________；
【考点二 计算多项式乘多项式】
例题：（2023秋·湖南长沙·八年级湖南师大附中统考期末）计算：
【变式训练】
1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．
2．（2022·上海市第三女子初级中学七年级期中）计算：
【考点三 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2022·吉林长春·八年级期中）若，则______．
【变式训练】
1．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）若，则的结果为___________．
2．（2022·上海市西延安中学七年级期中）若p、q、r均为整数，且，则r的值为___________．
【考点四 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷）已知的结果中不含项，则m=__________．
【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）若的结果中不含x的一次项，则实数a的值为__________．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
【考点五 多项式乘多项式——化简求值】
例题：（2022·上海青浦兰生学校七年级期中）化简并求值；其中，
【变式训练】
1．（2022·湖南长沙·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）化简求值：，其中．
【考点六 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2022·河南·测试·编辑教研五七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若，，工程费为440元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【变式训练】
1．（2022秋·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张D．不够用，还缺5张
2．（2022·陕西渭南·八年级期末）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分）．
(1)求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）
(2)若，求铺设地砖的面积．
【考点七 整式乘法混合运算】
例题：（2022·重庆·八年级期中）计算：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算
(1) (2)
2．（2022春·黑龙江大庆·六年级校考期中）计算．
(1) (2)
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·八年级单元测试）计算：的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为9，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）设，，则A，B的大小关系为（ ）
A． B．C．D．无法确定
5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是，那么根据图 ②的面积可以说明的多项式乘法运算是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）计算________；
7．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）若，则______________．
8．（2023春·七年级课时练习）已知，，则的值为______．
9．（2023秋·河南周口·八年级统考期末）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为______．
10．（2023春·七年级课时练习）如图，某幼儿园要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接．不可剪裁）．现有正方形地垫和长方形地垫若干张．已知操场长宽分别为和则需要用到地垫的张数为___________．
三、解答题
11．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
12．（2023春·七年级课时练习）先化简再求值：；其中．
13．（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值：，其中，．
14．（2022春·安徽宣城·七年级校考阶段练习）在的积中，项的系数为，项的系数为，求，的值．
15．（2022秋·四川遂宁·八年级校考期中）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？
16．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
(1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
(2)若，求休息区域的面积.
17．（2022秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期中）我们规定一种运算：，例如，．按照这种运算规定，
(1)当等于多少时，．
(2)用简便方法计算：；
18．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图l，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为_______________________；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．
(3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系．
专题10 单项式的乘法与多项式的乘法压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10804" 【典型例题】 PAGEREF _Tc10804 \h 1
\l "_Tc28215" 【考点一 计算单项式乘多项式】 PAGEREF _Tc28215 \h 1
\l "_Tc27245" 【考点二 计算多项式乘多项式】 PAGEREF _Tc27245 \h 2
\l "_Tc5435" 【考点三 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 PAGEREF _Tc5435 \h 3
\l "_Tc3570" 【考点四 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 PAGEREF _Tc3570 \h 4
\l "_Tc29206" 【考点五 多项式乘多项式——化简求值】 PAGEREF _Tc29206 \h 5
\l "_Tc28098" 【考点六 多项式乘多项式与图形面积】 PAGEREF _Tc28098 \h 6
\l "_Tc2471" 【考点七 整式乘法混合运算】 PAGEREF _Tc2471 \h 8
\l "_Tc13231" 【过关检测】 PAGEREF _Tc13231 \h 9
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘多项式】
例题：（2023秋·天津西青·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简求出答案即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正掌握运算法则是解题关键．
2．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：______．
【答案】
【分析】利用单项式乘以多项式的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的运算，解题的关键是要熟记运算法则．
3．（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________；
【答案】##
【分析】根据多项式乘以单项式的运算法则计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以单项式的知识，掌握多项式乘以单项式的运算法则是解答本题的关键．
【考点二 计算多项式乘多项式】
例题：（2023秋·湖南长沙·八年级湖南师大附中统考期末）计算：
【答案】
【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．
【变式训练】
1．（2022·上海杨浦·七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式可进行求解．
【详解】解：==．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
2．（2022·上海市第三女子初级中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】根据多项式乘多项式运算法则去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．
【考点三 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2022·吉林长春·八年级期中）若，则______．
【答案】5
【分析】根据整式的乘法展开，得到关于的方程，即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则．
【变式训练】
1．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）若，则的结果为___________．
【答案】21
【分析】根据多项式的乘法法则以及等式的性质求得m的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，代数式的求值，掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
2．（2022·上海市西延安中学七年级期中）若p、q、r均为整数，且，则r的值为___________．
【答案】2或或14或-14
【分析】将展开，根据结果得到，，再结合p，q的范围求出具体值，代入计算可得r值．
【详解】解：，
则，，
p、q、r均为整数，
，或，，,或，，
或，
故答案为：2或或14或-14．
【点睛】本题考查了多项式乘法，解题的关键是根据要求求出具体的p，q值．
【考点四 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷）已知的结果中不含项，则m=__________．
【答案】6
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合不含项，即其系数为0，即可求出的值．
【详解】
∵的结果中不含项，
∴
解得：
故答案为：6
【点睛】本题考查多项式乘多项式，明确不含项，则其系数为0是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）若的结果中不含x的一次项，则实数a的值为__________．
【答案】2
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据题意令的一次项系数为0即可求解．
【详解】解：
，
∵结果不含x的一次项，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
【答案】12
【分析】先化简与的乘积，再另和的项的系数等于零即可解得．
【详解】解：．
积中不含和的项，
．
，．
．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式相乘的化简，熟知多项式不含某项即为某项的系数等于零是解题的关键．
【考点五 多项式乘多项式——化简求值】
例题：（2022·上海青浦兰生学校七年级期中）化简并求值；其中，
【答案】，
【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
当，时，
原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南长沙·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先算多项式乘多项式，以及积的乘方，再合并同类项，进行化简，然后代值计算即可．
【详解】原式 ，
当时，
原式 ．
【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握多项式乘多项式，积的乘方以及合并同类项的法则，正确的化简，是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）化简求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据整式乘法运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式乘法运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【考点六 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2022·河南·测试·编辑教研五七年级期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若，，工程费为440元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【答案】(1)平方米
(2)24200元
【分析】（1）根据图形用大长方形的面积减去小长方形的面积即可求解；
（2）将，，代入代数式，乘以400，即可求解．
【详解】（1）解：
（平方米），
∴用含a，b的整式表示花坛的面积为平方米；
（2）当，时，
建花坛的总工程费为：
（元），
答：建花坛的总工程费为24200元．
【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积，代数式求值，根据题意列出代数式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张D．不够用，还缺5张
【答案】C
【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
【详解】解：大长方形的面积为，
类卡片的面积是，
∴需要类卡片的张数是，
∴不够用，还缺4张，
故选：．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键．
2．（2022·陕西渭南·八年级期末）某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分）．
(1)求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）
(2)若，求铺设地砖的面积．
【答案】(1)平方米
(2)铺设地砖的面积为225平方米．
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：由题可知，铺设地砖的面积为：
（平方米）；
（2）解：∵，
∴原式（平方米）．
答：铺设地砖的面积为225平方米．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键．
【考点七 整式乘法混合运算】
例题：（2022·重庆·八年级期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则：分别用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加即可求解；
（2）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，掌握单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．
2．（2022春·黑龙江大庆·六年级校考期中）计算．
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式运算展开，再合并同类项；
（2）先在中括号里面去括号展开后，再进行合并同类项．
（1）
解：
．
（2）
解：
．
【点睛】本题考查了整式加减法运算，多项式乘多项式，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·八年级单元测试）计算：的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先算积的乘方，再算单项式乘以单项式即可．
【详解】解：,
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用单项式乘多项式的运算法则去括号合并同类项即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式；正确去括号、合并同类项是解题的关键．
3．（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为9，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先计算，根据展开式不含x的一次项，且常数项为9，可求得a和b的值，代入计算即可．
【详解】解：
，
∵乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为9，
∴，
解得：，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查多项式乘多项式．能根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．
4．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）设，，则A，B的大小关系为（ ）
A． B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】利用作差法进行解答即可．
【详解】解：∵
，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练运用作差法比较大小是解决问题的关键．
5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是，那么根据图 ②的面积可以说明的多项式乘法运算是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据图形表示出大长方形的面积为：，同时利用等面积法，用小长方形面积之和表示大长方形的面积为，即可得到答案．
【详解】大长方形的面积为：，
小长方形面积之和为：，
∵大长方形的面积小长方形面积之和，
∴
故选：A
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）计算________；
【答案】##
【分析】根据单项式乘以多项式的法则，将单项式与多项式的每一项相乘，再把各项乘积求和．
【详解】解：，
故答案为∶ ．
【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式的运算法则，解决本题的关键是要熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则．
7．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）若，则______________．
【答案】1
【分析】利用多项式乘多项式的法则，计算出，根据两个多项式相等，对应项对应相等，进行求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴；
故答案为1．
【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）已知，，则的值为______．
【答案】
【分析】已知，，可以把等式右边转成同底数幂乘法，再把以为底和以为底的转成指数相同，从而逆用积的乘方公式，把底数和乘起来，从而转成以为底的，就可以比较指数，得出等于，从而可以代入要化简的式子求解．
【详解】解：，
由得，
由得，
得，即，
，
，





．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的综合运用以及代数式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（2023秋·河南周口·八年级统考期末）已知的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为______．
【答案】6
【分析】根据多项式乘多项式运算法则进行化简，然后令含x的一次项的系数为零以及常数项为即可求出答案．
【详解】解：
，
∵的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．
10．（2023春·七年级课时练习）如图，某幼儿园要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接．不可剪裁）．现有正方形地垫和长方形地垫若干张．已知操场长宽分别为和则需要用到地垫的张数为___________．
【答案】张
【分析】根据长方形的面积，结合多项式乘多项式的运算法则确定所需卡片型号和数量即可．
【详解】操场长宽分别为和，
操场的面积为，
需要张型地垫，张型地垫，张型地垫，
即需要用到地垫的张数为张．
故答案为：张．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，长方形的面积的求法．
三、解答题
11．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项；
（2）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项；
（3）先利用多项式乘多项式法则作乘法，再加减．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．
12．（2023春·七年级课时练习）先化简再求值：；其中．
【答案】82
【分析】先用整式混合运算法则化简，然后将代入计算求值即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值、整式的混合运算法则等知识点，灵活运用整式的运算法则化简成为解答本题的关键．
13．（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：
；
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握多项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
14．（2022春·安徽宣城·七年级校考阶段练习）在的积中，项的系数为，项的系数为，求，的值．
【答案】，
【分析】先用多项式的每一项乘以多项式的每一项，然后合并同类项，再根据项的系数为，项的系数为，得到关于，的方程，解方程即可求出答案；
【详解】
，
，
根据题意得：
，，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式运算， 熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
15．（2022秋·四川遂宁·八年级校考期中）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？
【答案】见详解
【分析】化简原式，可知该式的结果与的值无关，即可说明他的计算结果是正确的．
【详解】解：∵
，
∴该式的结果与的值无关，即无论取何值，结果都为．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
16．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
(1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
(2)若，求休息区域的面积.
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积=长方形土地的面积-游泳池的面积，将数值代入计算即可；
（2）将，代入（1）中化简后的式子计算即可；
【详解】（1）解：由题意可得，
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米；
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则．
17．（2022秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期中）我们规定一种运算：，例如，．按照这种运算规定，
(1)当等于多少时，．
(2)用简便方法计算：；
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据新运算列方程，解方程即可得到答案；
（2）根据新运算直接计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
，
，
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查新运算及解方程，解题的关键是根据题意看懂新运算．
18．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图l，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为_______________________；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．
(3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）正方形面积为，小块四边形面积总和为，由面积相等即可求解；
（2）根据（1）中的结论，将式子的值代入计算即可求解；
（3），，，，
根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵正方形面积为，小块四边形面积总和为
∴由面积相等可得：，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，
∵，；
∴，
∴．
（3）解：由题意知，，，，，
∵，
∴，
即，
又∵为定值，
∴，即．
【点睛】本题主要考查图形面积与整式运算的综合，掌握整式混合运算法则是解题的关键．