华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题13解题技巧专题：利用三角形的中线求长度和面积压轴题二种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题13解题技巧专题：利用三角形的中线求长度和面积压轴题二种模型全攻略(原卷版+解析)，共21页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1669" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1669 \h 1
\l "_Tc18664" 【类型一 求线段、周长的长】 PAGEREF _Tc18664 \h 1
\l "_Tc20397" 【类型二 求面积】 PAGEREF _Tc20397 \h 4
【典型例题】
【类型一 求线段、周长的长】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，、分别是、边上的中线，若，，且的周长为15，那么___．
【变式训练】
1．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为______．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，是的中线，，和的周长的差是______．
3．(2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求：
(1)的长；
(2)和的周长差．
4．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）如图，已知分别是的高和中线，，，求：
(1)的面积；
(2)的长；
(3)和的周长的差．
【类型二 求面积】
例题：（2023春·江苏·七年级期中）如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，的面积为20，点D，E，F分别为的中点，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中，点E是的中点，点F是的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考阶段练习）如图，在三角形中，，三角形的面积是三角形面积的2倍，则阴影部分的面积占三角形面积的______．
4．（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在中，已知点分别为的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为 _______
5．（2023春·江苏·七年级期中）如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若的面积为，则四边形的面积为______．
6．（2023春·七年级课时练习）如图，点D，E，F分别是的三条边的中点，设的面积为S，求的面积．
你可以这样考虑：
(1)连接AE，的面积是多少？
(2)由第（1）题，你能求出的面积吗？和的面积呢？
7．（2023春·全国·七年级专题练习）已知的面积为S，根据下列条件完成填空.
图1 图2 图3
(1)是的边BC上的中线，如图1，则的面积为 （用含S的式子表示，下同）；
是的边上的中线，如图2，则的面积为 ；
是的边上的中线，如图3，则的面积为 ；……
(2)在图2022中，是的边上的中线，则的面积为 .
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）【阅读理解】
如图（1），AD是△ABC的中线，作△ABC的高AH．
∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD
∵S△ABD＝•BD•AH，S△ACD＝CD•AH
∴S△ABD S△ACD（填：＜或＞或＝）
（2）【结论拓展】
△ABC中，D是BC边上一点，若，则＝
（3）【结论应用】
如图（3），请你将△ABC分成4个面积相等的三角形（画出分割线即可）
如图（4），BE是△ABC的中线，F是AB边上一点，连接CF交BE于点O，若，则＝ ．说明你的理由
专题13 解题技巧专题：利用三角形的中线求长度和面积压轴题二种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1669" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1669 \h 1
\l "_Tc18664" 【类型一 求线段、周长的长】 PAGEREF _Tc18664 \h 1
\l "_Tc20397" 【类型二 求面积】 PAGEREF _Tc20397 \h 4
【典型例题】
【类型一 求线段、周长的长】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，、分别是、边上的中线，若，，且的周长为15，那么___．
【答案】5
【分析】根据三角形的中线的概念分别求出、，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵、分别是、边上的中线，，，
∴，，
∵的周长为15，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【变式训练】
1．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为______．
【答案】##26厘米
【分析】根据中线的定义可的，再结合与之差可得与周长之差，由此得解．
【详解】解：∵比长，
∴，
∵是的中线，
∴．
∵的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为．
故答案为∶26厘米．
【点睛】本题考查三角形中线的定义．能根据题意得出周长之差即线段与之差是解题关键．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，是的中线，，和的周长的差是______．
【答案】3
【分析】根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长，的周长，
∴和的周长的差是，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形中线的定义及三角形周长的计算．熟练掌握三角形中线的定义是解答本题的关键．
3．(2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求：
(1)的长；
(2)和的周长差．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三角形面积公式可得，依此可求的长；
（2）利用等量代换得到的周长的周长．
【详解】（1）解： ，是边上的高，
，
，
即的长度为；
（2）解：为边上的中线，
，
的周长的周长，
即和的周长的差是．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．以及三角形的中线的性质．熟练掌握求三角形面积的公式和周长的等量代换是解题的关键.
4．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）如图，已知分别是的高和中线，，，求：
(1)的面积；
(2)的长；
(3)和的周长的差．
【答案】(1)
(2)的长度为
(3)和的周长的差是
【分析】（1）根据可得答案；
（2）由再代入数值即可得到答案；
（3）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可．
【详解】（1）如图，∵是直角三角形，
∴．
（2）解：∵是边上的高，
∴，
∵
∴，即的长度为；
（3）∵为边上的中线，
∴，
∴的周长的周长，
即和的周长的差是．
【点睛】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键．
【类型二 求面积】
例题：（2023春·江苏·七年级期中）如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
【答案】A
【分析】根据是的中线得，根据E是的中点得，，然后根据求解即可．
【详解】∵是的中线，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，的面积为20，点D，E，F分别为的中点，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明，再证明即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵F是的中点，
∴，
∵E是的中点，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
2．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中，点E是的中点，点F是的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形中线的性质可得，从而可得
【详解】解：∵点E为BC的中点，
∴，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线与面积之间的关系是解答本题的关键
3．（2023春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考阶段练习）如图，在三角形中，，三角形的面积是三角形面积的2倍，则阴影部分的面积占三角形面积的______．
【答案】
【分析】根据边之比得到面积之比，连接，得到和的面积比，进而得到的面积，最后求出阴影部分的面积与三角形面积的比．
【详解】解：连接，
则，
又，
∴，，
设，
则，，，
，
，
，，
，
阴影部分的面积占三角形面积的，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的面积，灵活运用边之比等于三角形的面积比是关键．
4．（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在中，已知点分别为的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为 _______
【答案】1
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行计算即可．
【详解】解：∵点E是的中点，
，，
，
，
∵点F是的中点，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查求三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
5．（2023春·江苏·七年级期中）如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若的面积为，则四边形的面积为______．
【答案】
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解．
【详解】解：点D，E，F分别为，，的中点，的面积为，
，
，
四边形的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和运用利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．
6．（2023春·七年级课时练习）如图，点D，E，F分别是的三条边的中点，设的面积为S，求的面积．
你可以这样考虑：
(1)连接AE，的面积是多少？
(2)由第（1）题，你能求出的面积吗？和的面积呢？
【答案】(1)
(2)，，，
【分析】（1）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可；
（2）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】（1）解：∵E是的中点，
∴；
（2）解：∵F是的中点，
∴；
同理可得；
如图所示，连接，
同理可得，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）已知的面积为S，根据下列条件完成填空.
图1 图2 图3
(1)是的边BC上的中线，如图1，则的面积为 （用含S的式子表示，下同）；
是的边上的中线，如图2，则的面积为 ；
是的边上的中线，如图3，则的面积为 ；……
(2)在图2022中，是的边上的中线，则的面积为 .
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可；
（2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解．
【详解】（1）解：∵是的边BC上的中线，的面积为S，如图1，
∴；
又∵是的边上的中线，如图2，
∴；
∵是的边上的中线，如图3，
∴，
故答案为：，，
（2）解：∵，
，
，
，
以此类推，
可得，
∴当时，，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）【阅读理解】
如图（1），AD是△ABC的中线，作△ABC的高AH．
∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD
∵S△ABD＝•BD•AH，S△ACD＝CD•AH
∴S△ABD S△ACD（填：＜或＞或＝）
（2）【结论拓展】
△ABC中，D是BC边上一点，若，则＝
（3）【结论应用】
如图（3），请你将△ABC分成4个面积相等的三角形（画出分割线即可）
如图（4），BE是△ABC的中线，F是AB边上一点，连接CF交BE于点O，若，则＝ ．说明你的理由
【答案】（1）＝；（2）;（3）3．
【分析】（1）结合中线的定义，根据等底同高的两个三角形面积相等可得结论；
（2）同理计算两三角形面积，并计算比值可得结论；
（3）根据三角形中线、中位线的性质可以解决分成4个面积相等的三角形问题．
如图4，连接AO，先根据三角形的中线平分三角形的面积得：S△ABE=S△CBE，S△AOE=S△COE，由差可得S△ABO=S△CBO，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【详解】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵S△ABD＝•BD•AH，S△ACD＝CD•AH
∴S△ABD＝S△ACD，
故答案为＝；
（2）如图2，过A作AH⊥BC于H，
∵S△ABD＝•BD•AH，S△ACD＝CD•AH，
，
故答案为；
（3）如下图：
将△ABC的面积四等分的方法如图所示，（方法见图中说明）
如图4，结论：＝3；
理由是：如图4，连接AO，
∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△CBE，S△AOE＝S△COE，
∴S△ABO＝S△CBO，
∵，
∴，
设S△BFO＝x，则S△AFO＝2x，S△CBO＝3x，
，
．
故答案为3．
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的中线，以及三角形的面积，关键是掌握三角形的中线可以平分三角形的面积．