湖北省孝感市云梦县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省孝感市云梦县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣2）2+4＝x2B．
C．x2+2x+2＝0D．xy+2＝1
3．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3
4．已知x1，x2是方程x2﹣3x＝2的两根，则x1•x2的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
5．抛物线y＝﹣4（x﹣2）2+4的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝4D．x＝﹣4
6．二次函数y＝﹣x2+1的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为x，可列方程为（ ）
A．500（1+x）2＝720B．500（1+2x）＝720
C．500（1﹣x）2＝720D．500（1+x）＝720
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（ ）
A．B．C．D．3
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
9．若点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点对称，则式子a﹣b的值为 ．
10．抛物线y＝5（x+2）2﹣3的顶点坐标为 ．
11．已知a＝1满足式子a2+3a﹣t＝0，那么t＝ ．
12．如图，在Rt△OAB中，∠B＝90°，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转105°得到ΔOA1B1，则∠A1OB＝ ．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，请写出一个满足条件的m值 ．
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AC＝AB＝5，BC＝8，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度后得到△A1B1C，使得点B对应点B1在x轴上，记为第一次旋转，再将△A1B1C绕点B1顺时针旋转一定的角度后得到△A2B1C1，使得点A1对应点A2在x轴上，以此规律旋转，则点B的坐标为 ，第2023次旋转后钝角顶点坐标为 ．
16．如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A﹣D﹣C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点（3，m）（n，m），则n的值为 ．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
17．先化简，再求值：2x2+xy﹣2（2xy+x2），其中x＝﹣，y＝﹣2．
18．解下列方程：
（1）x2+4x＝0；
（2）x2+2x﹣3＝0．
19．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣1．
（1）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（2）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
20．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22﹣x1x2＝9，求m的值．
21．如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：△EAG≌△EAF；
（2）若正方形ABCD的边长为6，DF＝3，则BE＝ ．
22．某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）若要使每天销售所得利润不低于1200元，请直接写出销售单价x的所有可能取值．
23．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上时，连接BE．
①求∠AEB的大小；
②求证：AE＝BE+CE．
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上．若，BE＝2，求CB的长度．
24．已知抛物线y＝ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接AD、CD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线CD的下方y轴左边的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交CD于点G，求四边形CNOG面积的最大值；
（3）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ，请求出点Q的坐标．
参考答案
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1．
解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：C．
2．
解：A．（x﹣2）2+4＝x22整理可得4x+8＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x2+2x+2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．xy+2＝1＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．
解：将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是y＝（x+2）2+3．
故选：A．
4．
解：方程整理得：x2﹣3x﹣2＝0，
∵x1，x2是方程的两根，a＝1，c＝﹣2，
∴x1•x2＝﹣2．
故选：B．
5．
解：∵抛物线解析式为：y＝﹣4（x﹣2）2+4，
∴对称轴是直线x＝2．
故选：A．
6．
解：∵二次函数y＝﹣x2+1的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1），
∴选项D符合题意．
故选：D．
7．
解：依题意得：500（1+x）2＝720．
故选：A．
8．
解：∵△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，点A1落在AB边上，
∴∠ACA1＝∠BCB1，CB＝CB1，CA＝CA1，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ACA1是等边三角形，
∴∠ACA1＝∠BCB1＝60°，
∴△BCB1是等边三角形，
∴∠CBB1＝60°，BB1＝CB＝2，
∴∠ABD＝90°，
∵BB1的中点为D，
∴BD＝，
∵∠ABC＝30°，BC＝2，
∴AC＝2，AB＝2AC＝4，
∴BA1＝2，
∴A1D＝，
故选：B．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
9．
解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣1，
则式子a﹣b的值为：2﹣（﹣1）＝3．
故答案为：3．
10．
解：∵抛物线解析式为：y＝5（x+2）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
11．
解：由题意得：
把a＝1代入a2+3a﹣t＝0中得：
12+3×1﹣t＝0，
1+3﹣t＝0，
﹣t＝﹣1﹣3，
﹣t＝﹣4，
t＝4，
故答案为：4．
12．
解：∵△OAB绕点O逆时针旋转105°得到△OA1B1，
∴∠A1OA＝105°，
∴∠A1OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝105°﹣30°＝75°．
故答案为：75°．
13．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＜0，
解得：m＞4，
∴满足条件的m值5（答案不唯一）．
故答案为：5（答案不唯一）．
14．
解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故答案为：750m．
15．
解：过点B作BT⊥x轴于点T，OH⊥BC于点H．
∵OB＝OC＝5，OH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
∴OH＝＝＝3，
∵S△ABC＝•BC•OH，
∴BT＝＝，
∴OT＝＝＝，
∴B（﹣，），
由题意A1（9，3），A2（A3（18，0），A4（27，3），A5（A6）（36，0），•••，
发现3次应该循环，2023÷3＝674•••1，
∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为674×18+9＝12141，纵坐标为3，
∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为（12141，3）．
16．
解：由图2可知，当点F运动到点B时，
y＝•AB•AD＝2.5，即AB•AD＝5，
当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即AB+AD＝6cm，
解得：AB＝5cm，AD＝1cm，
当x＝3时，如图，AF＝xcm，
m＝•AF•EM＝×3×1＝cm2；
当x＝n时，点E在CD上，点F在BC上，如图，
此时，EC＝（6﹣n）cm，CF＝（6﹣n）cm，BF＝（n﹣5）cm，
∴y＝•（6﹣n+5）•1﹣（n﹣5）﹣•（6﹣n）2＝；
解得n＝3+，或n＝3﹣（舍）．
故答案为：3+．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
17．
解：原式＝2x2+xy﹣4xy﹣2x2
＝﹣3xy，
当x＝﹣，y＝﹣2时，
原式＝﹣3×（﹣）×（﹣2）
＝﹣2．
18．
解：（1）x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
x＝0或x+4＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣4；
（2）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝1．
19．
解：由二次函数y＝﹣x2+4x﹣1知，y＝﹣（x﹣2）2+3．则：
其对称轴为：x＝2．
（1）∵对称轴x＝2，图象开口向下，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
20．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4m+1≥0，
解得：m≥﹣．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2﹣2m，
∵x12+x22﹣x1x2＝9，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝9，即（2m﹣1）2﹣3（m2﹣2m）＝9，
整理得：m2+2m+1＝9，
∴（m+1）2＝9，
解得：m1＝﹣4，m2＝2，
∵m≥﹣．
∴m的值为2．
21．
解析：（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
即∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS）；
（2）解：设BE＝x，则EF＝GE＝3+x，CE＝6﹣x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝CD﹣DF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2．
故答案为：2．
22．
解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得：x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于52元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）≥1200，
解得：50≤x≤60，
∵销售单价不低于成本且不高于52元，
∴30≤x≤52，
∴50≤x≤52，
∴x的所有可能取值为50，51，52．
23．
解析：（1）①解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；
②证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∴AE＝AD+DE＝BE+CE；
即AE＝BE+CE；
（2）解：∵△DCE为等腰直角三角形，CD＝，
∴DE＝＝＝CE＝2，∠CDE＝∠CED＝45°，
∵AC＝BC，DC＝EC，
∠ACD＝90°−∠DCB，∠BCE＝90°−∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE＝2，
∴AE＝AD+DE＝4，
∠CEB＝∠ACD＝180°−∠CDE＝135°，
∴∠AEB＝∠CEB−∠CED＝90°，
∴AB＝＝2，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴CA2+CB2＝AB2，
∴2CB2＝20，
∴CB＝．
24．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+3x；
（2）当y＝4时，则x2+3x＝4，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴点C的坐标为（﹣4，4），
设直线CD的表达式为y＝kx+c（k≠0），
将C（﹣4，4）、D（4，0）代入y＝kx+c，得：
，
解得：，
∴直线CD的表达式为y＝﹣x+2．
如图，在直线CD的下方y轴左边的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交CD于点G，连接CN，NO，OG，
设点N的坐标为（x，x2+3x），
则点G的坐标为（x，﹣x+2），
∴NG＝﹣x+2﹣（x2+3x）＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，NG取最大值，最大值为，
当NG取最大值时，四边形CNOG面积最大，
∵四边形CNOG面积＝4×[﹣（x+）2+]＝﹣2（x+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，四边形CNOG面积最大，最大值为；
（3）当y＝4时，则x2+3x＝4，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴点C的坐标为（﹣4，4），
∴AC＝1﹣（﹣4）＝5．
∵A（1，4），D（4，0），
∴AD＝＝5．
取点E（﹣1，0），连接CE交抛物线于点Q，如图所示．
∵AC＝5，DE＝4﹣（﹣1）＝5，AC∥DE，
∴四边形ACED为平行四边形，
∵AC＝AD，
∴四边形ACED为菱形，
∴CD平分∠ACQ．
设直线CE的表达式为y＝mx+n（m≠0），
将C（﹣4，4）、E（﹣1，0）代入y＝mx+n，得：
，
解得：，
∴直线CE的表达式为y＝﹣x﹣，
∴联立直线CE与抛物线表达式成方程组，
得：，
解得：，，
∴点Q的坐标为（﹣，﹣）．
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…