2022-2023学年湖北省孝感市孝南区诸赵学校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年湖北省孝感市孝南区诸赵学校九年级（上）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省孝感市孝南区诸赵学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．太阳从西边升起来了
B．张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签
C．任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7
D．用长度分别是2cm，4cm，5cm的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形
3．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点在第几象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）已知a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，则a2+2a﹣1的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝114°，则∠DCE的度数是（　　）

A．124° B．114° C．94° D．66°
6．（3分）用一个圆心角为120°，半径为2cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面的半径为（　　）
A． B． C．1cm D．
7．（3分）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．5 C．8 D．10
8．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）


A．6 B．9 C．12 D．15
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b＝　 　．
10．（3分）在六张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、菱形、等边三角形、直角三角形、正六边形，现从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是　 　．
11．（3分）将抛物线y＝3x2﹣2的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位的抛物线为 　 　．
12．（3分）点P（−3，1）绕原点旋转90°得到的点的坐标是 　 　．
13．（3分）设函数y与y＝﹣2x+2的交点坐标为（m，n），则　 　．
14．（3分）小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝4cm，AB＝16cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第25个点的坐标为 　 　，第2022个点的坐标为 　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 　 　．

三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）9x2＝81；
（2）x2﹣6x+3＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求m的值．
19．（8分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 　 　人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝　 　，C等级对应的圆心角为 　 　度；
（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．

20．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b0的解集．（直接写出答案）

21．（8分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相交于点D，且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，AD＝2．求⊙O的半径．

22．（10分）服装店销售进价为30元/件的运动服，市场调查发现：当售价为50元/件时，月销售量为500件；每提价1元，月销售量减少10件．若该运动服提价后的售价为x（元/件）（x为整数），月销售量为y（件），月利润W（元），请解答下列问题：
（1）直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当售价为多少元时，月利润W（元）最大，最大月利润是多少元？
（3）若商场规定运动服销量不少于300件/月，且月利润不低于11250元时，求售价x的取值范围．
23．（10分）如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，DE，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MP，NP．

（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是 　 　；位置关系是 　 　．
（2）将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）将△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝7，请直接写出△PMN面积的最大值．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）连接AE，CE，当△ACE的面积最大时，求出△ACE的最大面积和点D的坐标；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



2022-2023学年湖北省孝感市孝南区诸赵学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．太阳从西边升起来了
B．张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签
C．任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7
D．用长度分别是2cm，4cm，5cm的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、太阳从西边升起来了，是不可能事件，故A不符合题意；
B、张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签，是随机事件，故B符合题意；
C、任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7，是不可能事件，故C不符合题意；
D、用长度分别是2cm，4cm，5cm的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形，是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点在第几象限（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接根据顶点式求出顶点坐标，再判断顶点所在的象限．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点为（﹣1，﹣2），
∴顶点在第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求得顶点坐标是解题的关键．
4．（3分）已知a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，则a2+2a﹣1的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据方程的根的定义，把x＝a代入方程求出2a2+4a﹣3＝0，易得答案．
【解答】解：∵a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，
∴2a2+4a﹣3＝0，
整理得，a2+2a，
∴a2+2a﹣11，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝114°，则∠DCE的度数是（　　）

A．124° B．114° C．94° D．66°
【分析】由圆的内接四边形的性质求出∠BCD，又由邻补角的定义可求得∠DCE．
【解答】解：∵∠BAD＝114°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝66°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝114°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质和邻补角的定义，掌握圆的内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
6．（3分）用一个圆心角为120°，半径为2cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面的半径为（　　）
A． B． C．1cm D．
【分析】设圆锥底面的半径为rcm，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥底面的半径为rcm，
根据题意得2πr，
解得r．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．（3分）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝8，则S矩形ACBH＝10，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．
【解答】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，
∵BC∥y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD＝|﹣2|＝2，S矩形ODBH＝8，
∴S矩形ACBH＝2+8＝10，
∴△ABC的面积S矩形ACBH＝5．
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
8．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）


A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
即BC＝5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
如图，即BP′⊥AC，BP′＝3，

∴由勾股定理可知：PC＝4，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为5，
∴AB＝BC＝5，
∴P′A＝P′C＝4，
∴AC＝8，
∴△ABC的面积为：AC•BP′8×3＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b＝　1　．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，
∴a＝2，b＝﹣1，
则a+b＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
10．（3分）在六张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、菱形、等边三角形、直角三角形、正六边形，现从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是　　．
【分析】确定既是中心对称又是轴对称图形的有几个图形，除以6即可求解．
【解答】解：∵从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、矩形、菱形、正六边形这4种结果，
∴从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，注意正偶数边形和特殊的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
11．（3分）将抛物线y＝3x2﹣2的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位的抛物线为 　y＝3（x+2）2+1　．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2﹣2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+1．
故答案为：y＝3（x+2）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则．
12．（3分）点P（−3，1）绕原点旋转90°得到的点的坐标是 　（1，3）　．
【分析】画出图形，利用图象法解决问题即可．
【解答】解：如图，
观察图象可知点P′的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．

【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）设函数y与y＝﹣2x+2的交点坐标为（m，n），则　　．
【分析】根据函数y与y＝﹣2x+2的交点坐标为（m，n），可以得到n，n＝﹣2m+2，然后即可得到mn＝﹣4，n+2m＝2，再将所求式子变形，再将mn＝﹣4，n+2m＝2代入计算即可．
【解答】解：∵函数y与y＝﹣2x+2的交点坐标为（m，n），
∴n，n＝﹣2m+2，
∴mn＝﹣4，n+2m＝2，
∴


，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，灵活地将所求式子变形和函数变形，利用整体代入的思想解答．
14．（3分）小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝4cm，AB＝16cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　10　cm．

【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【解答】解：设圆的半径为rcm，
∵C为弧AB的中心，CD⊥AB，
∴延长CD必过圆的圆心，设圆心为O，连接OA，如图，
∴，
由勾股定理，得：OA2＝AD2+OD2，
即：r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10；
∴圆形瓦片所在圆的半径为：10cm；
故答案为：10．

【点评】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第25个点的坐标为 　（5，0）　，第2022个点的坐标为 　（45，3）　．

【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，
…，
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
①∵52＝25，5是奇数，
∴第25个点是（5，0），
②∵452＝2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
即第2022个点是（45，3）
故答案为（5，0），（45，3）．
【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 　1　．

【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，

∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB＝2，
∴OA＝OB＝OE′＝1，
∵BC＝3，
∴OC，
则CE′＝OC﹣OE′1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）9x2＝81；
（2）x2﹣6x+3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）9x2＝81，
x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）x2﹣6x+3＝0，
x2﹣6x＝﹣3，
x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3，x2＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式Δ，然后再证明Δ≥0即可；
（2）不妨设方程的两实数根为x1，x2且x1＞x2，则x1﹣x2＝2，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，进而变形即可求解．
【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的根的判别式Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m+1）＝m2+4m+4﹣4m﹣4＝m2，
不论m取任何实数，都有m2≥0即Δ≥0成立；
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
故该方程总有两个实数根；
（2）不妨设方程的两实数根为x1，x2且x1＞x2，
则x1﹣x2＝2，
∴，
又∵x1+x2＝m+2，x1x2＝m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（m+2）2﹣4（m+1）＝4，
∴m＝2或m＝﹣2，
故m的值为2或﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键．
19．（8分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 　40　人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝　10　，C等级对应的圆心角为 　144　度；
（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．

【分析】（1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可；
（2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用360度乘以C等级所占的比例即可；
（3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
40×20%＝8（人），
补全条形统计图如图所示：

故答案为：40；
（2）4÷40＝10%，
．
故答案为：10；144；
（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：

共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
【点评】本题目考查了条形统计图与扇形统计图综合，掌握列表法或树状图法求概率是关键．
20．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b0的解集．（直接写出答案）

【分析】（1）由B点在反比例函数y上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，对应的x的范围．
【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y上，
∴m＝4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y的图象上，
∴n＝﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b图象上的点，联立方程组解得，
k＝2，b＝2，
∴，y＝2x+2；

（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD＝2，CO＝2，
∴△AOC的面积为：SAD•CO2×2＝2；

（3）由图象知：当0＜x＜1和x＜﹣2时函数y的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．

【点评】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．
21．（8分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相交于点D，且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，AD＝2．求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，可证明∠ODA＝∠DAB＝∠DAC，则OD∥AC，所以∠ODB＝∠C＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接DE，证明∠EAD∽△DAC，得，可求得AE＝6；也可以根据矩形的性质和勾股定理求解，作OF⊥AC于点F，设OD＝OA＝r，则CF＝OD＝r，可列方程（4﹣r）2+（2）2＝r2，解方程求出r的值即可．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAB，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵BC经过⊙O的半径OD的外端，且BC⊥OD，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD∽△DAC，
∴，
∵AC＝4，AD＝2，
∴AE6，
∴OA＝OEAE＝3，
∴⊙O的半径为3．
解法二：作OF⊥AC于点F，则∠OFA＝90°，
∵∠OFC＝∠C＝∠ODC＝90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵AC＝4，AD＝2，
∴OF＝CD2，
设OD＝OA＝r，则CF＝OD＝r，
∵AF2+OF2＝OA2，且AF＝4﹣r，
∴（4﹣r）2+（2）2＝r2，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3．

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22．（10分）服装店销售进价为30元/件的运动服，市场调查发现：当售价为50元/件时，月销售量为500件；每提价1元，月销售量减少10件．若该运动服提价后的售价为x（元/件）（x为整数），月销售量为y（件），月利润W（元），请解答下列问题：
（1）直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当售价为多少元时，月利润W（元）最大，最大月利润是多少元？
（3）若商场规定运动服销量不少于300件/月，且月利润不低于11250元时，求售价x的取值范围．
【分析】（1）根据题意得出月销售量为y＝500﹣10（x﹣50）；
（2）根据每件利润为（x﹣30）元，即可得出月销售利润W（元）与售价x（元/件）的函数关系式，再二次函数的性质可得最大值；
（3）根据题意列一元二次方程再结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x（50≤x≤100）；
（2）由题意得，W＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，
又∵﹣10＜0，
∴当x＝65时，W最大＝12250，
∴当售价为多少元时，月利润W最大，最大月利润是12250元；
（3）当W＝11250时，﹣10x2+1300x﹣30000＝11250，
解得x1＝75，x2＝55，
∵1000﹣10x≥300，
∴x≤70，
∴x的取值范围是55≤x≤70．
【点评】本题考查了二次函数的解析式的确定以及运用；根据题意得出y与x的函数关系式是解决问题的关键．
23．（10分）如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，DE，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MP，NP．

（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是 　PM＝PN　；位置关系是 　PM⊥PN　．
（2）将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）将△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝7，请直接写出△PMN面积的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PMCE，PNBD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PMBD，PNBD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝10，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PNBD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PMCE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
理由如下：
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PNBD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝11，
∴PM＝5，
∴S△PMN最大PM2（）2．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PMCE，PNBD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）连接AE，CE，当△ACE的面积最大时，求出△ACE的最大面积和点D的坐标；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），则DE＝﹣m2﹣3m，故进而求解；
（3）分BC、BQ、BE分别为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵B（1，0），AB＝4，
A（﹣3，0），
（1，0）、A（﹣3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3，
可得，
解得，
即y＝﹣x2﹣2x+3，
对称轴为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入得y＝﹣1+2+3＝4，
即顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）解：由题意可得：C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
将C（0，3），A（﹣3，0）代入可得：，
解得，
y＝x+3，
设D（m，m+3），
则E（m，﹣m2﹣2m+3），DE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
，
∴当时，S△ACE的值最大为，，
此时；
（3）解：存在，理由如下：
由m＝﹣2可得E（﹣2，3），
设Q（n，t），C（0，3），B（1，0）
当当BC为平行四边形的对角线时，
则，解得，
即Q（3，0）；
当BE为平行四边形的对角线时，
则，解得，
即Q（﹣1，0）；
当BQ为平行四边形的对角线时，
则，解得，
即Q（﹣3，6）；
综上所述，当Q点为（3，0），（﹣1，0），（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/20 14:22:20；用户：单静怡；邮箱：zhaoxia39@xyh.com；学号：39428212