专题4.5 线圆最值（隐圆压轴二）（题型专练）-2023-2024学年九年级数学上册期末复习《重难点题型》（人教版）

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考点：线圆最值
已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间的距离为d.
拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解
【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值为 ．
【答案】3
【解答】解：∵BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
•点E是AB 的中点，
∴AE＝BE＝1．；
∴点P在以点E为圆心，1为半径的弧上运动，
过点 P作PQ⊥CD 于点Q，
过点E作EF⊥CD于点F，
则＝PQ，
∴当PQ最小时，△PCD 的面积取得最小值•EP+PQ≥EF，
当E，P，Q三点共线时，PQ取得最小值，最小值为EF﹣EP的值；
∴四边形ABCD是矩形，
∴EF＝BC＝4，
∴PQ最小＝EF﹣EP＝3，
∴S△PCD最小＝PQ最小＝3，
故答案为：3．
【变式1-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆弧上，
如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，
连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，
∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，
∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，
∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，
∴BD＝，
在Rt△OBD中，OD＝＝，
∴PD的最小值为OD﹣OP＝．
故选：B．
【变式1-2】（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O
∵E点在以CD为直径的圆上
∴∠CED＝90°
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°
∴点E也在以AC为直径的圆上，
可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，
∵AC＝8，
∴OC＝4
∵BC＝3，∠ACB＝90°
∴OB＝＝＝5
∵OE＝OC＝4
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1
故选：A．
【典例2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，点M是DE的中点，连接BM，CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，△BMC面积的最大值为 ．
【答案】12．
【解答】解：连接AM，交BC于H，.
∵AB＝AC，AD＝AE，点M是DE的中点，
∴AM⊥DE，AH⊥BC，
将△ADE绕点A逆时针旋转180°，即M'、M、H在同一直线上时，△BMC面积取最大值．
∵AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，
∴AD＝AE＝2，BH＝＝＝3，
∴AM＝AD＝＝，
∴AM'＝，
∴M'H＝＝4，
此时，△BMC面积＝＝＝12．
故答案为：12．
【变式2-1】（思明区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
【解答】解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵OB＝OC，
∴BD＝CD＝BC＝1，
∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，
∴OD＝BC＝1，
∴OB＝＝，
∵BC＝2保持不变，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：+1，
∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．
故答案为：+1．
【变式2-2】如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．∠MPN＝90°，点C（0，3），则PC长度的最小值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵点P在平面内．∠MPN＝90°，
∴点P在以MN为直径的圆上，
如图，以MN为直径作⊙E，连接EC并延长交⊙E于点P′，
此时，PC长度最小为P′C，
∵直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，
∴M（﹣8，0），N（0，6），
∴OM＝8，ON＝6，
在Rt△MON中，MN＝＝＝10，
∴EM＝EN＝EP′＝＝5，
∵M（﹣8，0），N（0，6），点E为MN的中点，
∴E（﹣4，3），
∵C（0，3），
∴CE＝4，
∴P′C＝EP′﹣CE＝5﹣4＝1，
∴PC长度的最小值是1．
故答案为：1．
【变式2-3】如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 2﹣2 ．
【答案】2﹣2．
【解答】解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵点C在半圆的中点，
∴＝，
∴AC＝CB＝4，
∵CT＝TB＝2，
∴AT＝＝＝2，
∵CH⊥BD，
∴∠CHB＝90°，
∴点H在以BC为直径的圆上运动，
∵CT＝TB，
∴HT＝BC＝2，
∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，
∴AH的最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是矩形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值为 ．
【答案】2
【解答】解：∵∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的圆上，
即点P到BC的最大距离为2，
∴点P到AD的最小值＝3﹣×4＝1，
∴S△APD＝×4×1＝2，
∴△APD面积的最小值为2．
故答案为：2．
【变式3-1】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 ．
【解答】解：连接CE，作EG⊥BC于G，
∵AE＝EF＝2，
∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
CE＝＝＝2，
∴FC的最小值为CE﹣2＝2﹣2，
∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，
∴四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝4，
∴点F到线段BC的最短距离是2，
故答案为：2﹣2，2．
【变式3-2】如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ ．
【解答】解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP最短，
则AO＝OP′＝OB＝AB＝2，
∵AD＝2，∠BAD＝90°，
∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，
∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，
过P′作P′E⊥CD于点E，则
P′E＝DE＝DP′＝2﹣，
∴CE＝CD﹣DE＝+2，
∴CP′＝．
故答案为：2．
【变式3-3】（2022•邗江区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为 ．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT，BQ．
∵PB是⊙O的直径，
∴∠PQB＝∠CQB＝90°，
∴QT＝BC＝定值，AT是定值，
∵AQ≥AT﹣TQ，
∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，
在Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82，
解得x＝6，
∴BC＝2x＝12，
∴S△ABC＝AB•BC＝×8×12＝48，
故答案为：48．
【变式3-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：如图1，连接AG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，
∵F是AE的中点，
∴BF＝AE＝AF＝EF，
∵BF＝FG，
∴AF＝FG＝EF，
∴∠AGE＝∠AGD＝90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，
当O，G，C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，
∴OD＝OG＝2，
∴OC＝＝，
∴CG的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式3-5】矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠PCD+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PCD，
∴∠PBC+∠PBC＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴P点在以BC为直径的圆上，设圆心为O，
∵BC＝6，
∴CO＝3，
∵CD＝2，
∴DO＝，
∴PD的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【变式3-6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D是线段BC上的动点，连接AD，过点C作CM⊥AD于M，连接BM，则BM的最小值是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：如图，以AC为直径作⊙O，
∵CM⊥AD，
∴∠AMC＝90°，
∴点M在⊙O的上半圆上，
当且仅当点B、M、O三点共线时，BM最小，
∵OC＝AC＝×12＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴OB＝＝＝10，
∵OM＝OC＝6，
∴BM＝OB﹣OM＝10﹣6＝4，
即BM的最小值是4，
故答案为：4．
【典例4】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'B，A'C，则△A'BC面积的最小值为 ．
【答案】﹣1
【解答】解：如图，
由折叠知A'M＝AM，
又∵M是AD的中点，
∴MA＝MA'＝MD，
点A'的运动轨迹就是在以点M为圆心，MA长为半径的上，
过点M作ME⊥BC于点E，连接BD，
在菱形ABCD中，
∵AD＝AB，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵M是AD的中点，
∴点E与点B重合，
∴EM＝，
设点A'到BC的距离为h，当点A'在ME上时，h取得最小值，最小值为EM﹣A'M＝﹣1，
∴△A'BC面积的最小值为＝BC•h＝×2×（﹣1）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 ．
【答案】3．
【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，
∴，
由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，
∵BC'≥AB﹣AC'，
∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，
故答案为 ．
【典例5】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点D是AC边上一点，点E是平面内一点，且DE＝1，连接AE，CE，则四边形ABCE面积的最大值为 ．
【答案】
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝．
经分析，当DE⊥AC于D时，四边形ABCE面积的最大．
∴四边形ABCE面积的最大值为S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝DE＝＝．
故答案为：．
【变式5-1】如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（ ）​
A．B．1C．D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接AQ，
∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC，
∴△BCQ∽△BPC，
∴BQ：BC＝BC：BP，
∵AB＝BC，
∴BQ：AB＝AB：BP，
∵∠ABQ＝∠PBA，
∴△ABQ∽△PBA，
∴∠AQB＝∠BAP＝90°，
∴点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上，
如图，取AB中点O，连接OC交⊙O于Q，则CQ此时最小，
∵BC＝2，
∴OB＝1，
∴OC＝＝，
∵OQ＝1，
∴CQ＝﹣1．
故选：C．
【变式5-2】如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C．点P为⊙C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'．在点P运动的过程中，CP'长度的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：连接P'A，PC，
∵∠ABC＝∠P'BP＝90°，
∴∠P'BA＝∠PBC，
∵BP'＝BP，BA＝BC，
∴△P'BA≌△PBC（SAS）．
∴P'A＝PC＝2，
∴P'在以A为圆心，2为半径的圆上，
连接AC，则当P'在CA的延长线上时，P'C最长，
此时P'C＝P'A+AC＝2+＝5+2，
故选：A．
【变式5-3】在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（ ）
A．104B．116C．120D．100
【答案】B
【解答】解：取GF的中点O，连接OM，OD，DM．
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DGO＝90°，DG＝EF＝4，FG＝DE＝6，
∵MG2+MF2＝2GO2+2OM2，
∵OG＝OF＝3，
∴OM的值最大时，MG2+MF2的值最大，
∵DM＝2，OD＝＝＝5，
∴OM≤OD+DM＝5+2＝7，
∴OM的最大值为7，
∴MG2+MF2的最大值＝2×32+2×72＝116，
故选：B．
【变式5-4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠BCD＝90°，AB＝12，BC＝16．点M是AB上一点，AM＝4，点N是四边形ABCD内一点，且DN＝5，连接CN，MN．
（1）当M，N，D三点共线时，求MN的长；
（2）求四边形BCNM面积的最小值．
【解答】解：（1）延长DA到F，作MG⊥AF于G，AE⊥BC于E，
∵∠B＝60°，AB＝12，
∴BE＝6．
∴AD＝EC＝10，
∵AM＝4，∠AMG＝30°，
∴AG＝2，MG＝2，
∴DG＝12，
∵DM2＝DG2+MG2，
∴DM2＝122+（2）2，
∴DM＝2，
∴MN＝2﹣5；
（2）取BC中点K，连接MC，MK，作NH⊥MC于H，DL⊥MC于L，
∵∠B＝60°，BM＝BK＝8，
∴△MBK是等边三角形，
∴MK＝KC＝6，
∠MKB＝60°，
∴∠KMC＝∠MCK＝30°，
∴∠BMC＝90°
∴MC＝8，
∴S△MBC＝MC•MB＝32，
∴当△NMC面积最小时，四边形MBCN面积最小，
∵DN＝5，
∴当D，N，H三点共线时，NH最小，
△NMC面积最小，
由（1）知DC＝AE＝6，
∴DL＝DC＝9，
∴NH最小值为：4，
∴S△NMC的最小值为：CM•NH＝16，
∴四边形MBCN面积最小值为：32+16＝48．
位置关系
直线与O相离
直线与O相切
直线与O相交
图示
点Q到直线l距离的最大值
d＋r
2r
d＋r
此时点Q的位置
过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为点Q
点Q到直线l距离的最小值
d－r
0
r－d
此时点Q的位置
过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q