数学七年级下册8.1 二元一次方程组同步测试题

这是一份数学七年级下册8.1 二元一次方程组同步测试题，共23页。
【例题讲解】
（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？
（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】（1）长是9cm，宽是4cm；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；
（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．
【详解】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则，解得．
答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；
（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
设裁出的长为3acm，宽为2acm，则3a•2a＝30，解得a＝，
∴裁出长方形的的长为3cm，宽为2cm，∵3＞6，
∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【综合解答】
1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面积．
2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中一个小长方形的面积．
3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽.
4．如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为21cm2， 并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．
5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
7．某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？
8．小明和小华分别用四个完全相同的，直角边为a，b（a＜b）的三角形拼图，小华拼成的长方形（如图①）的周长为20．小明拼成的正方形（如图②）中间有一个边长为1的正方形小孔．（1）能否求出图中一个直角三角形的面积？___（填“能”或“否”）；（2）若能，请你写出一个直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
9．为了庆祝建党100周年，某区在文化广场的一块长方形ABCD的空地上，用花卉摆放“100”字样和四个相同的小正方形（如图），其中米，米，三个数之间摆放的距离与四个小正方形的边长相等．设小正方形的边长为x米，数字的宽度均为y米．
（1）请用关于x，y的代数式表示“0”内部小长方形的长和宽．
（2）若“0”内部小长方形的长和宽分别是米和米．
①求x，y的值；
②为了整体美观，将在四个正方形、“100”及“0”的内部小长方形分别摆放甲、乙、丙三种花卉，三种花卉的单价都为整数，其中甲花卉的单价在元米之间含95和，乙、丙两种花卉的单价之和为300元米已知三种花卉总价为6200元，则丙花卉的单价是________元米．
10．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．
（1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？
11．如图，在数轴上有A，B两点，其中点A在点B的左侧，已知点B对应的数为4，点A对应的数为a．
(1)若，则线段的长为______（直接写出结果）；
(2)若点C在射线上（不与A，B重合），且，求点C对应的数；（结果用含a的式子表示）
(3)若点M在线段之间，点N在点A的左侧（M、N均不与A、B重合），且，当，时，求a的值．
12．有一个长方形，若它的长增加 9cm，则变为宽的两倍；若它的宽增加 5cm，则只比长少 1cm.
(1) 这个长方形的长和宽各是多少 cm？
(2) 将这个长方形的长减少 a cm，宽增加 b cm，使它变成一个正方形，若 a，b均为正整数，所得正方形的周长不大于原长方形的周长，求这个正方形的最大面积.
13．如图，在四边形中，．
(1)如图①，点P在线段上，连接，若，且，求度数；
(2)如图②，，点P，Q分别在线段上，连接，，且满足，求的长；
(3)点P，Q分别在线段，的延长线上，点M在线段上，，，且，，请补全图形并求出k的值．
14．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1．
（1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；
（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．
专题21 二元一次方程组的实际应用之几何图形问题
【例题讲解】
（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？
（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】（1）长是9cm，宽是4cm；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；
（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．
【详解】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则，解得．
答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；
（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
设裁出的长为3acm，宽为2acm，则3a•2a＝30，解得a＝，
∴裁出长方形的的长为3cm，宽为2cm，∵3＞6，
∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【综合解答】
1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面积．
【答案】72cm2
【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据所给出的图形列出方程组，求出x，y的值，再根据长方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，
依题意得：，
解得：，
则小长方形的长、宽分别为10cm，2cm，
图中阴影部分的面积是：S阴影部分=S四边形ABCD-6×S小长方形=16×（8+2+2）-6×2×10=72(cm2)．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组．
2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中一个小长方形的面积．
【答案】8
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴xy=4×2=8．
答：图中一个小长方形的面积为8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽.
【答案】长是10mm，宽是6mm
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个加2长的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可．
【详解】设长方形的长为x，宽为y，则

解得：
所以每个小长方形的长是10mm，宽是6mm．
【点睛】考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．
4．如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为21cm2， 并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．
【答案】大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm
【分析】根据题意结合图形列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
答：大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解答本题的关键．
5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
【答案】（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析
【分析】（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；
（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a即可得到大正方形的面积．
【详解】解：（1）设长为3x，宽为2x，
则：3x•2x=30，
∴x=（负值舍去），
∴3x=，2x=，
答：这个长方形纸片的长为，宽为；
（2）正确．理由如下：
根据题意得：，
解得：，
∴大正方形的面积为102=100．
【点睛】本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
【答案】(1) 长是1.5m，宽是0.5m；（2）不能
【分析】（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可．
【详解】解:（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym，由题意得：
解得:
∴长是1.5m，宽是0.5m．
（2）∵正方形的面积为7平方米，
∴正方形的边长是米，
∵