2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

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考点呈现
例题剖析
考点一 定点
【例1】 (2023·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求C的方程；
（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由离心率为，得，①
C的四个顶点围成的四边形面积为．②
由①②可得，，
C的方程为．
（2）解：由，得．
因为Q不在l上，所以，都不是零向量，故，
由题意可知l的斜率一定存在．
设l的方程为，，．
联立方程组得，消去y并整理得，
由，得．
所以，．
因为，
即
，
整理得，
因为，所以．
当时，满足，此时直线l的方程为，
所以直线l过定点．
【一隅三反】
1． (2023·河南模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由题意可得，，即，又
，解得，，，
则椭圆的方程为；
（2）证明：由（1）可得，
①当直线的斜率存在时，设，，，
由，所以，
又，代入整理得，
由消去整理得，
所以，，
所以，
整理得，
当时，直线过，不符合题意，
所以，即，
故直线的方程为，符合题意，
故恒过点；
②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，
即直线的方程为，必过定点，
综上可得，直线恒过定点；
2． (2023·南开模拟）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：设椭圆，
由离心率为，得，
又因为，
所以．
由在椭圆上可得，
解得，．
所以椭圆的方程为
（2）证明：当直线与x轴垂直时，设，则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与x轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得，
所以，．
由已知可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②，
并整理得，可得，
因为直线不经过点，
所以，故．
所以直线的方程为，经过定点．
综上所述，直线经过定点．
考点二 定值
【例2】 (2023·柳州模拟）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）解：Q（x，y），由题意，得 ，
化简得 ，所以Q的轨迹方程C为
法二：定义法依题意Q（x，y）到F（0，1）的距离与Q（x，y）到直线y＝－1的距离相等，由抛物线定义知Q的
轨迹方程C为以F（0，1）为焦点以 为准线的抛物线
所以Q的轨迹方程C为
（2）证明：不妨设 ，因为 ，所以 ，
从而直线PA的斜率为 ，解得 ，即A（2，1），
又F（0，1），所以 轴．要使 ，只需
设直线m的方程为 ，代入 并整理，得 ．
首先， ，解得 或 ．
其次，设M（ ， ），N（ ， ），则
故存在直线m，使得 ，
此时直线m的斜率的取值范围为
【一隅三反】
1． (2023·泰安模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，四个顶点组成的菱形面积为 ，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过 上任意点P做 的切线l与椭圆E交于点M，N，求证 为定值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由题意得 ， ，
可得 ，b＝2，
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）证明：当切线l的斜率不存在时，其方程为 ，
当 时，将 代入椭圆方程 得 ，
∴ ， ， ，
∴
当 时，同理可得 ，
当切线l的斜率存在时，设l的方程为 ， ， ，
因为l与 相切，所以 ，所以
由 ，得 ，
∴ ，
，∴ ，
∴ 或
∴
∴综上， 为定值 ．
2． (2023高三上·广州月考）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：设、，线段AM、AN的中点分别为、，
由已知，得；，
两式相减，得，即①
根据中点坐标及斜率公式，得
，，，．代入①，
得② 同理，得③，②③相乘，得．
∵，，∴④
由，与④联立，得，，
双曲线的方程为：.
（2）解：①当时，设，，，，由AM、AN互相垂直，得，
由解得（此时无实数解，故舍去），或（此时M、N至少一个点与A重合，与条件不符，故舍去）．综上，此时无符合条件的解．
②当不成立时，设直线，、，代入得，， 且，，（*）
∵
∴（*）代入，得即，或．
当时，过点，与条件不符，舍去．
∴，，过定点，
∴AP中点，由于（D为垂足），故．
综上所述，存在定点，使得为定值．
考点三 最值
【例3】 (2023高三上·湖北开学考）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
（1）若的面积为，求的值及圆的方程
（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由对称性可知：，设，由焦半径可得：，，解得：圆的方程为：
（2）解：由题意得：直线的斜率一定存在，其中，设关于直线的对称点为，则n+p2m=−1kn−p22=k⋅m2+b，解得：m=−b+pk+1kn=b+pk2+1−p2，联立与得：，设，则，则，则，解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，所以，
【一隅三反】
1． (2023·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）设 是椭圆上一点， ，则
故|PQ|的最大值是 .
（Ⅱ）设直线 ，直线与椭圆联立，得 ，
设 ，故
，与 交于C，则 ，
同理可得， .
则
等号在 时取到.
2． (2023·鹤壁模拟）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意得，，∴，
又∵，∴，
则椭圆C的标准方程为；
（2）解：设，，，，再设，
联立，得，
由，得，
此方程的判别式
则，，即，
同理，
设 ，，在直线，上，
即，，
直线的方程为，
与椭圆方程联立，可得，
，，
当时，且，
，
到的距离，
，
令，则，则 ，结合对勾函数的性质可知，
在递减，在时递增，
故，而 ，故，
；
当时 ，，故方程为：，，则，
∴综上所述，．
3． (2023·浙江模拟）如图，已知抛物线和点，点P到抛物线C的准线的距离为6．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点P作直线交抛物线C于A，B两点，M为线段的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足，过点Q作直线交抛物线C于另一点D，N为线段的中点，F为抛物线C的焦点，记的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题知，解得，
所以抛物线C的标准方程为
（2）解：当不经过点Q时，等价于，
即．
因为分别交C于A，B两点，
所以不平行于x轴，
设，，，，
联立与C方程，得，
且，
由韦达定理，得，，
又，
同理，
所以，
所以，
代入整理得，
要使该式恒成立，则，解得，
又经检验，当经过点Q时，仍然成立，
所以存在定点使得；
因为分别交C于A，B两点，
所以不平行于x轴，且，
又因为，设，，
联立与C方程，得，
且，所以；
因为N为中点，所以，
且，
所以，
所以，当时取到等号，
所以折线围成面积的最小值为2，
即最小值为2．
9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 定点
【例1】 (2023·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求C的方程；
（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．
【一隅三反】
1． (2023·河南模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
2． (2023·南开模拟）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．
考点二 定值
【例2】 (2023·柳州模拟）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ．
【一隅三反】
1． (2023·泰安模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，四个顶点组成的菱形面积为 ，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过 上任意点P做 的切线l与椭圆E交于点M，N，求证 为定值．
2． (2023高三上·广州月考）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点三 最值
【例3】 (2023高三上·湖北开学考）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
（1）若的面积为，求的值及圆的方程
（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|的取值范围.
【一隅三反】
1． (2023·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
2． (2023·鹤壁模拟）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．
3． (2023·浙江模拟）如图，已知抛物线和点，点P到抛物线C的准线的距离为6．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点P作直线交抛物线C于A，B两点，M为线段的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足，过点Q作直线交抛物线C于另一点D，N为线段的中点，F为抛物线C的焦点，记的面积为，的面积为，求的最小值．