2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 4.1 切线方程（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 4.1 切线方程（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了斜率和倾斜角，“在型”的切线方程，“过型”的切线方程，切线或切点数量问题，公切线，切线方程的运用等内容，欢迎下载使用。

考点呈现
例题剖析
考点一 斜率和倾斜角
【例1-1】 (2023·江苏淮安）已知函数在处的切线斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】 (2023·重庆一中）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·辽宁）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为______．
2． (2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
3． (2023·湖南）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点二 “在型”的切线方程
【例2-1】 (2023·广西）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·广西·贵港市）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【一隅三反】
1． (2023·河南）已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·安徽）已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·安徽·巢湖市）曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
4． (2023·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点三 “过型”的切线方程
【例3】 (2023·河南洛阳）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A．B．C．D．
2 (2023·北京·汇文中学）过点的切线方程是__________.
3． (2023·四川·广安二中）函数过点的切线方程为
考点四 切线或切点数量问题
【例4-1】 (2023·河南洛阳）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·河南洛阳）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
2． (2023·湖北·宜城市第一中学）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．且
3． (2023·河南洛阳）若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
考点五 公切线
【例5-1】 (2023·安徽省舒城中学）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为_____.
【例5-2】 (2023·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
2． (2023·河北保定·二模）（多选）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·安徽·合肥一六八中学）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
考点六 切线与其他知识的运用
【例6-1】 (2023·湖北·黄冈中学）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【例6-2】 (2023·广东·深圳市光明区高级中学）已知函数，则曲线在点处的切线恒过定点_____________.
【一隅三反】
1． (2023·河北衡水）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·安徽）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·黑龙江·哈尔滨三中）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是__________．
考点七 切线方程的运用
【例7-1】 (2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】 (2023·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·江苏徐州）过平面内一点P作曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为（不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______．
3． (2023·云南曲靖·二模）设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·江西·新余市）若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______
4.1 切线方程（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 斜率和倾斜角
【例1-1】 (2023·江苏淮安）已知函数在处的切线斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，则，
，而，故，，故选：D
【例1-2】 (2023·重庆一中）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，，解得：，
当时，；当时，，，
又为偶函数，，即时，，
则，.故选：A.
【一隅三反】
1． (2023·辽宁）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为______．
【答案】
【解析】由题得，所以，所以曲线在点处的切线斜率为3，
又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得．故答案为：.
2． (2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】C
【解析】因为所以
当时，，此时，∴．
故选：C.
3． (2023·湖南）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，所以a的取值范围是．故选：D．
考点二 “在型”的切线方程
【例2-1】 (2023·广西）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵∴，所以，
又当时，， 所以在点处的切线方程为：，即.
故选：A.
【例2-2】 (2023·广西·贵港市）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】，，∴，∴．将代入得，∴．故选：C．
【一隅三反】
1． (2023·河南）已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的图象经过坐标原点，所以，所以，
所以所以．因为，所以．所以所求切线方程为，即．故选：A.
2． (2023·安徽）已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，则，
所以，又，故切线方程为，即.故选：A
3． (2023·安徽·巢湖市）曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由切点在曲线上，得①；由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，联立①②③，解之得
故选：A.
4． (2023·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设切点为，，
曲线在切点处的切线方程为，
整理得，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
则的取值范围是．故选：C.
考点三 “过型”的切线方程
【例3】 (2023·河南洛阳）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设切点为，，则切线斜率为，
所以，所求切线方程为，
将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得，
因此，所求切线方程为.故选：C.
【一隅三反】
1． (2023·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】设切点为，则，所以，
所以切线方程为，
因为切线过点（1，3），所以，即，即，
解得或，所以切线方程为或，故选：AB
2 (2023·北京·汇文中学）过点的切线方程是__________.
【答案】或
【解析】由题，设切点为，，所以，切线方程为：
因为点在切线上，所以，，即，解得或.
所以，当时，切线方程为：；当时，切线方程为：；
综上，所求切线方程为：或故答案为: 或
3． (2023·四川·广安二中）函数过点的切线方程为
【答案】或
【解析】由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，当时，切线为；当时，切线为，整理得.故选：C
考点四 切线或切点数量问题
【例4-1】 (2023·河南洛阳）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，解得或，所以过点作曲线的切线可以作2条，故选：C
【例4-2】 (2023·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图像知，即.故选：D.
【一隅三反】
1． (2023·河南洛阳）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，解得或，所以过点作曲线的切线可以作2条，故选：C
2． (2023·湖北·宜城市第一中学）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】D
【解析】作出的图象，由图可知，
若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，
设切点为，所以，，
所以切线斜率为，
整理得，即方程在上有两个不同的解，
所以，，所以且.故选：D．
3． (2023·河南洛阳）若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知，曲线，即令，则，
设切点为，切线方程的斜率为，
所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，
设函数，过点可作出曲线的三条切线，
可知两个函数图像与有三个不同的交点，
又因为，由，可得或，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为，
如图所示，
当时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.
4． (2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,故答案为：
考点五 公切线
【例5-1】 (2023·安徽省舒城中学）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为_____.
【答案】或
【解析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），
则，整理得，解得或，
当时，的方程为；当时，的方程为.故答案为：或.
【例5-2】 (2023·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设
切线：，即
切线：，即，
令
在上单调递增，在上单调递减，所以故选：A．
【一隅三反】
1． (2023·全国·模拟预测）若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
【答案】
【解析】设的切点为，，故，
则切线方程为：，即圆心到圆的距离为，即，
解得：或（舍去）所以，则的斜率为故答案为：
2． (2023·河北保定·二模）（多选）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】设直线与曲线相切于点，
与曲线相切于点，
对于函数，，则，解得，所以，即.
对于函数，，则，
又，所以，
又，所以，.故选：AD
3． (2023·安徽·合肥一六八中学）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
【答案】1或
【解析】设与和的切点分别为；
由导数的几何意义可得，即，
∴，∴∴
当时，，当时，∴或.故答案为：1或.
考点六 切线与其他知识的运用
【例6-1】 (2023·湖北·黄冈中学）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【答案】B
【解析】设切点为 ，的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，则 ，故切点为，
代入，得，
、为正实数，则，
当且仅当，时，取得最小值9，故选：B
【例6-2】 (2023·广东·深圳市光明区高级中学）已知函数，则曲线在点处的切线恒过定点_____________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，
由，得，则．
又，则曲线在点处的切线的方程为，
即，由可得，所以直线恒过定点．故答案为：．
【一隅三反】
1． (2023·河北衡水）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数， ， ，，
由点斜式直线方程得：切线l的方程为， ，
由于点P在直线l上，则且，即，
则
，当且仅当，即时取等号；2． (2023·安徽）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
，
设，则，即……①
又，即……②
由①②可得，.故选：B.
3． (2023·黑龙江·哈尔滨三中）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设曲线过点的切线的切点为，则切线的斜率，
所以，，切线方程为，所以恒成立，
所以恒成立，令，则
因为当，，，，
所以为的极小值点，又因为时，，
所以，所以.故答案为：.
考点七 切线方程的运用
【例7-1】 (2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，令，解得，所以，故的最小值为到的距离，．故选：B．
【例7-2】 (2023·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作出函数的图象如图：
依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，
所以，
故选：B
【一隅三反】
1． (2023·江苏徐州）过平面内一点P作曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为（不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设
当时，故切线为：，即
当时，，，故切线为：，即
两切线垂直，则，则所以，
，解得∴.故选：B．
2． (2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根．
故答案为：.
3． (2023·云南曲靖·二模）设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为对任意，，恒成立，
所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，
又，表示点与点的连线的斜率，
由图可知
即，故选：A
4． (2023·江西·新余市）若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______
【答案】
【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时，
此时两点距离的最小值为点到直线的距离，
因为，所以，即得，
，所以点到直线的距离为，
所以两点距离的最小值为．故答案为：