备战高考2024年数学第一轮专题复习9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）（解析版）

9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）

考点一 定点

【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．

（1）求C的方程；

（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．

【一隅三反】

1．（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．

2．（2022·南开模拟）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．

考点二 定值

【例2】（2022·柳州模拟）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C． 

（1）求曲线C的方程．

（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ． 

【一隅三反】

1．（2022·泰安模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，四个顶点组成的菱形面积为 ，O为坐标原点． 

（1）求椭圆E的方程；

（2）过 上任意点P做 的切线l与椭圆E交于点M，N，求证 为定值． 

2．（2022高三上·广州月考）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为．

（1）求双曲线的方程； 

（2）过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 

考点三 最值

【例3】（2022高三上·湖北开学考）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，

（1）若的面积为，求的值及圆的方程

（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|的取值范围.

【一隅三反】

1．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求 的最小值．

2．（2022·鹤壁模拟）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．

3．（2022·浙江模拟）如图，已知抛物线和点，点P到抛物线C的准线的距离为6．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点P作直线交抛物线C于A，B两点，M为线段的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足，过点Q作直线交抛物线C于另一点D，N为线段的中点，F为抛物线C的焦点，记的面积为，的面积为，求的最小值．