备战高考2024年数学第一轮专题复习9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）（原卷版）

9.5 三定问题及最值（精讲）（提升版）

考点一 定点

【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．

（1）求C的方程；

（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．

【答案】（1） （2）

【解析】（1）解：由离心率为，得，①

C的四个顶点围成的四边形面积为．②

由①②可得，，

C的方程为．

（2）解：由，得．

因为Q不在l上，所以，都不是零向量，故，

由题意可知l的斜率一定存在．

设l的方程为，，．

联立方程组得，消去y并整理得，

由，得．

所以，．

因为，

即

，

整理得，

因为，所以．

当时，满足，此时直线l的方程为，

所以直线l过定点．

【一隅三反】

1．（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．

【答案】（1）  （2）

【解析】（1）解：由题意可得，，即，又

，解得，，，

则椭圆的方程为；

（2）证明：由（1）可得，

①当直线的斜率存在时，设，，，

由，所以，

又，代入整理得，

由消去整理得，

所以，，

所以，

整理得，

当时，直线过，不符合题意，

所以，即，

故直线的方程为，符合题意，

故恒过点；

②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，

即直线的方程为，必过定点，

综上可得，直线恒过定点；

2．（2022·南开模拟）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．

【答案】（1）  （2）

【解析】（1）解：设椭圆，

由离心率为，得，

又因为，

所以．

由在椭圆上可得，

解得，．

所以椭圆的方程为

（2）证明：当直线与x轴垂直时，设，则．

由题意得：，即．所以直线的方程为．

当直线不与x轴垂直时，可设直线为，，，

将代入得，

所以，．

由已知可得①，

将和代入①，

并整理得②，

将，代入②，

并整理得，可得，

因为直线不经过点，

所以，故．

所以直线的方程为，经过定点．

综上所述，直线经过定点．

考点二 定值

【例2】（2022·柳州模拟）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C． 

（1）求曲线C的方程．

（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： ． 

【答案】（1）  （2）见解析

【解析】（1）解：Q（x，y），由题意，得 ， 

化简得 ，所以Q的轨迹方程C为

法二：定义法依题意Q（x，y）到F（0，1）的距离与Q（x，y）到直线y＝－1的距离相等，由抛物线定义知Q的

轨迹方程C为以F（0，1）为焦点以 为准线的抛物线

所以Q的轨迹方程C为

（2）证明：不妨设 ，因为 ，所以 ， 

从而直线PA的斜率为 ，解得 ，即A（2，1），

又F（0，1），所以 轴．要使 ，只需

设直线m的方程为 ，代入 并整理，得 ．

首先， ，解得 或 ．

其次，设M（ ， ），N（ ， ），则

故存在直线m，使得 ，

此时直线m的斜率的取值范围为

【一隅三反】

1．（2022·泰安模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率 ，四个顶点组成的菱形面积为 ，O为坐标原点． 

（1）求椭圆E的方程；

（2）过 上任意点P做 的切线l与椭圆E交于点M，N，求证 为定值． 

【答案】（1）   （2）

【解析】（1）解：由题意得 ， ，

可得 ，b＝2，

所以椭圆的标准方程为 ．

（2）证明：当切线l的斜率不存在时，其方程为 ， 

当 时，将 代入椭圆方程 得 ，

∴ ， ， ，

∴

当 时，同理可得 ，

当切线l的斜率存在时，设l的方程为 ， ， ，

因为l与 相切，所以 ，所以

由 ，得 ，

∴ ，

，∴ ，

∴ 或

∴

∴综上， 为定值 ．

2．（2022高三上·广州月考）已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为．

（1）求双曲线的方程； 

（2）过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 

【答案】见解析

【解析】（1）解：设、，线段AM、AN的中点分别为、， 

由已知，得；，

两式相减，得，即①

根据中点坐标及斜率公式，得

，，，．代入①，

得②    同理，得③，②③相乘，得．

∵，，∴④

由，与④联立，得，，

双曲线的方程为：.

（2）解：①当时，设，，，，由AM、AN互相垂直，得，

由解得（此时无实数解，故舍去），或（此时M、N至少一个点与A重合，与条件不符，故舍去）．综上，此时无符合条件的解．

②当不成立时，设直线，、，代入得，， 且，，（*）

∵

∴（*）代入，得即，或．

当时，过点，与条件不符，舍去．

∴，，过定点，

∴AP中点，由于（D为垂足），故．

综上所述，存在定点，使得为定值．

考点三 最值

【例3】（2022高三上·湖北开学考）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，

（1）若的面积为，求的值及圆的方程

（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|的取值范围.

【答案】见解析

【解析】（1）解：由对称性可知：，设，由焦半径可得：，，解得：圆的方程为：

（2）解：由题意得：直线的斜率一定存在，其中，设关于直线

的对称点为，则，解得：，联立与得：，设，则，则，则，解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，所以，

【一隅三反】

1．（2022·浙江）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求 的最小值．

【答案】见解析

【解析】解：（Ⅰ）设 是椭圆上一点， ，则

故|PQ|的最大值是 .

（Ⅱ）设直线 ，直线与椭圆联立，得 ，

设 ，故

，与 交于C，则 ，

同理可得， .

则

等号在 时取到.

2．（2022·鹤壁模拟）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．

【答案】见解析

【解析】（1）解：由题意得，，∴，

又∵，∴，

则椭圆C的标准方程为；

（2）解：设，，，，再设，

联立，得，

由，得，

此方程的判别式

则，，即，

同理，

设 ，，在直线，上，

即，，

直线的方程为，

与椭圆方程联立，可得，

，，

当时，且，

，

到的距离，

，

令，则，则 ，结合对勾函数的性质可知，

在递减，在时递增，

故，而 ，故，

；

当时 ，，故方程为：，，则，

∴综上所述，．

3．（2022·浙江模拟）如图，已知抛物线和点，点P到抛物线C的准线的距离为6．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点P作直线交抛物线C于A，B两点，M为线段的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足，过点Q作直线交抛物线C于另一点D，N为线段的中点，F为抛物线C的焦点，记的面积为，的面积为，求的最小值．

【答案】见解析

【解析】（1）解：由题知，解得，

所以抛物线C的标准方程为

（2）解：当不经过点Q时，等价于，

即．

因为分别交C于A，B两点，

所以不平行于x轴，

设，，，，

联立与C方程，得，

且，

由韦达定理，得，，

又，

同理，

所以，

所以，

代入整理得，

要使该式恒成立，则，解得，

又经检验，当经过点Q时，仍然成立，

所以存在定点使得；

因为分别交C于A，B两点，

所以不平行于x轴，且，

又因为，设，，

联立与C方程，得，

且，所以；

因为N为中点，所以，

且，

所以，

所以，当时取到等号，

所以折线围成面积的最小值为2，

即最小值为2．