2023-2024学年江西省赣州市于都县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市于都县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a)2=b的形式，下列结果中正确的是( )
A. (x−4)2=6B. (x−8)2=6C. (x−4)2=−6D. (x−8)2=54
3.下列说法中，正确的是( )
A. 通过少量重复试验，可以用频率估计概率
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D. 概率很小的事件不可能发生
4.如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则ABC是( )
A. 优弧
B. 劣弧
C. 半圆
D. 无法判断
5.对于二次函数y=−x−12的图象的特征，下列描述正确的是( )
A. 开口向上B. 经过原点C. 对称轴是y轴D. 顶点在x轴上
6.近年来我国无人机产业发展迅猛，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人.若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为( )
A. 2.44(1+x)=6.72B. 2.44(1+2x)=6.72
C. 2.44(1+x)2=6.72D. 2.44(1−x)2=6.72
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.在平面直角坐标系中，点(−3,2)关于原点对称的点的坐标是_________．
8.若抛物线y=ax2(a≠0)经过点A(1,3)，则该抛物线的解析式为 ．
9.如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道(如图2)需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 mm．
10.下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+2x−1=0的具体过程，3x2+2x−1=0．
解：第一步：x2+23x−13=0
第二步：x2+23x=13
第三步：x2+23x+(13)2=13+(13)2
第四步：(x+13)2=49∴x+13=±23∴x1=13，x2=−1
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是______．
11.如图，已知⊙O的两弦AB、CD相交于E，且点A为CD的中点，若∠OBA=32°，则∠CEA的度数为______．
12.如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC=DE=2 3，将△ADE绕点A旋转逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<1800)，当点D恰好落在△ABC的边上时BD的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解方程：x2−4x−8=0．
(2)如图，已知∠BAC=30°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合.求∠AEC的度数．
14.(本小题6分)
如图，在⊙O中，AB=AC，∠BOC=120°.求证△ABC是等边三角形．
15.(本小题6分)
数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”.班主任决定从4名同学(小迎，小冬，小奥，小会)中通过抽签的方式确定2名同学去参加宣传活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，班主任先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
(1)“小冬被抽中”是______事件，“小红被抽中”是______事件(填“不可能”、“必然”、“随机”)，第一次抽取卡片抽中小会的概率是______；
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小奥被抽中的概率．
16.(本小题6分)
抛物线y=2x2平移后经过点A(0,3)，B(2,3)，求平移后抛物线的表达式．
17.(本小题6分)
如图是8×6的正方形网格纸.请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)如图①，线段AB的顶点在格点上，请在图中作以点A，B为顶点的四边形，使得该四边形是中心对称图形，且其顶点均在格点上(画出一个即可)；
(2)如图②，矩形ABCD的顶点都在格点上，点M是边AD上任意一点，请在图中画出直线MN，使得直线MN平分矩形ABCD的面积．
18.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD是正方形，点E在DC上，将△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，再将△ABF向右平移后与△DCH重合．
(1)旋转的中心为点______，旋转角的度数______；
(2)如果连接EF，那△AEF是______三角形；
(3)试猜想线段AE和DH的数量关系和位置关系，并说明理由，
19.(本小题8分)
如图，在直角坐标系内，已知点A(−1,0)．
(1)图中点B的坐标是______；
(2)点B关于原点对称的点D的坐标是______；点A关于y轴对称的点C的坐标是______；
(3)四边形ABCD的面积是______；
(4)在y轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC.那么点F的坐标为______．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−4=0．
(1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)若k=1，求该方程的根．
21.(本小题9分)
如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA=BP．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，PC=2 5，求线段AB的长．
22.(本小题9分)
某商品成本价为16元/瓶，当定价为20元/瓶时，每天可售出60瓶．市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．设销售单价上涨x元，每天的利润为y元．
(1)每天的销售量为______瓶，每瓶的利润为______元(用含x的代数式表示)．
(2)若日销售利润销达到300元，求x的值．
(3)每天的销售利润销能否达到400元？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
23.(本小题12分)
综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD= 2，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
初步感知
(1)如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t=1时，S= ______；
②S关于t的函数解析式为______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
(3)若存在3个时刻t1，t2，t3(t1①t1+t2= ______；
②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做图形的对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，将其绕对称中心旋转180度后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】解：x2−8x=−10，
x2−8x+16=6，
(x−4)2=6．
故选：A．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3.【答案】B
【解析】解：A.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，原表述错误，不符合题意；
B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，正确，符合题意；
C.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票也不一定会中奖，原表述错误，不符合题意；
D.概率很小的事件发生的可能性小，原表述错误，不符合题意；
故选：B．
根据频率估计概率、可能性的大小及概率逐一判断即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
4.【答案】B
【解析】解：作AB和AC的垂直平分线，它们相交于O点，如图，
∵AC为小于直径的弦，
∴ABC为劣弧．
故选：B．
利用垂径定理作出圆心，则可判断AC不是直径，从而可判断ABC为劣弧．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
5.【答案】D
【解析】解：∵y=−x−12，
∴抛物线开口向下，顶点为(1,0)，对称轴为直线x=1，
故选：D．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．
6.【答案】C
【解析】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，
则可列出关于x的方程为2.44(1+x)2=6.72，
故选：C．
设年平均增长率为x，根据2017年及2019年的全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】(3,−2)
【解析】解：根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
∴点(−3,2)关于原点对称的点的坐标是(3,−2)，
故答案为(3,−2)．
根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，即可得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的坐标特点，熟记关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题关键．
8.【答案】y=3x2
【解析】解：把点A(1,3)代入y=ax2(a≠0)中，
得3=a×12，
解得a=3，
所以该抛物线的解析式为y=3x2．
故答案为：y=3x2．
把A(1,3)代入y=ax2(a≠0)中，可得a=3，即可得出答案．
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，根据题目所给条件代入计算是解决本题的关键．
9.【答案】900
【解析】解：设此圆弧所在圆的半径为R mm，
由弧长公式得：160πR180=800π，
解得：R=900，
即此圆弧所在圆的半径为900mm，
故答案为：900．
设此圆弧所在圆的半径为R mm，根据已知条件，利用弧长的计算公式即可求解．
本题考查了弧长的计算公式的应用，熟记弧长公式是解题的关键．
10.【答案】④①③②
【解析】【分析】
本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤．
把二次项系数化为1以后，把常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解．
【解答】
解：3x2+2x−1=0，
把二次项系数化1得：x2+23x−13=0，
移项得：x2+23x=13，
配方得：x2+23x+(13)2=13+(13)2，即(x+13)2=49，
开方得：x+13=±23，
解得：x1=13，x2=−1，
故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②，
故答案为：④①③②．
11.【答案】58°
【解析】解：连接OA交弦CD于点G，
∵点A为CD的中点，
∴OA⊥CD，
∴∠AGE=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAE=∠OBA=32°，
∴∠CEA=90°−∠OAE=90°−32°=58°．
故答案为：58°．
连接OA交弦CD于点G，由点A为CD的中点可知OA⊥CD，故∠AGE=90°，再由OA=OB可知∠OAE=∠OBA=32°，据此可得出结论．
本题考查的是垂径定理，圆心角、弧、弦的关系．根据题意作出辅助线是解题的关键．
12.【答案】3或3 3或3 5
【解析】解：当点D恰好落在△ABC的AB边上时，如图，
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC=DE=2 3，
∴BC=2AC=4 3，AE=12DE= 3，
∴AB= BC2−AC2= (4 3)2−(2 3)2=6，AD= DE2−AE2= (2 3)2−( 3)2=3，
∴BD=AB−AD=6−3=3；
当点D恰好落在△ABC的BC边上时，如图，
∵AD=3，BC=4 3，AC=2 3，AB=6，
∴S△ABC=12AC⋅AB=12×2 3×6=6 3，
又∵12BC⋅AD=12×4 3×3=6 3，
∴S△ABC=12BC⋅AD，
∴AD是斜边BC上的高，即AD⊥BC，
∴BD=AB⋅cs∠ABC=6cs30°=3 3；
当点D恰好落在△ABC的AC边上时，如图，
则BD= AB2+AD2= 62+32=3 5；
综上所述，BD的长为3或3 3或3 5．
故答案为：3或3 3或3 5．
分三种情况：当点D恰好落在△ABC的AB边上时，当点D恰好落在△ABC的BC边上时，当点D恰好落在△ABC的AC边上时，分别求得BD的长．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和直角三角形的性质，解直角三角形，解本题的关键是分类讨论．
13.【答案】解：(1)x2−4x−8=0，
(x−4)(x+2)=0，
∴x1=4，x2=−2；
(2)∵把△ABC绕着点A顺时针旋转，
∴AE=AC，∠BAC=∠DAE=30°，
∵点B与CA的延长线上的点D重合，
∴∠CAE=150°，
∴∠AEC=15°．
【解析】(1)利用因式分解法解方程；
(2)由旋转的性质可得AE=AC，∠BAC=∠DAE=30°，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是利用因式分解法和掌握旋转的性质．
14.【答案】证明：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∵∠BOC=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】由AB=AC，推出AB=AC，根据∠BOC=120°，推出∠BAC=60°，即可证明△ABC是等边三角形．
本题考查了等边三角形的判定和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15.【答案】随机 不可能 14
【解析】解：(1)小冬被抽中”是随机事件，“小红被抽中”是不可能事件，
第一次抽取卡片抽中小会的概率是14，
故答案为：随机，不可能，14；
(2)把小迎，小冬，小奥，小会4名同学的卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小奥被抽中的结果有6种，
∴小奥被抽中的概率为612=12．
(1)由随机事件、不可能事件的定义和概率公式即可得出答案；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中小奥被抽中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及随机事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．
16.【答案】解：设平移后的抛物线解析式为y=2x2+bx+c，
∵抛物线y=2x2平移后经过点A(0,3)，B(2,3)，
∴c=32×22+2b+c=3，
解得b=−4c=3，
所以，平移后抛物线的表达式为y=2x2−4x+3．
【解析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得平移后抛物线解析式a=2，设平移后的抛物线解析式为y=2x2+bx+c，然后将点A、B的坐标代入求出b、c的值，从而得解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减．
17.【答案】解：(1)如图，四边形ABEF即为所求(答案不唯一)．

(2)如图，直线MN即为所求．

【解析】(1)按要求作一个平行四边形即可．
(2)连接AC，BD，交于点O，连接MO，则MO所在的直线即为所求的直线MN．
本题考查中心对称图形、矩形的性质，熟练掌握基本性质是解答本题的关键．
18.【答案】A 90° 等腰直角
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转的中心为点A和旋转的角度为90°，
故答案为：A；90°；
(2)如图，连接EF，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴AF=AE，∠FAE=∠BAD=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
(3)AE=DH，AE⊥DH.理由如下：
∵△ABF向右平移后与△DCH重合，
∴AF=DH，AF//DH，
∵AF⊥AE，AF=AE，
∴AE⊥DH，AE=DH．
(1)根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，然后利用旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合；
(2)连接EF，根据旋转的性质得AF=AE，∠FAE=∠BAD=90°，于是根据等腰直角三角形的判定方法即可得到△AEF是等腰直角三角形；
(3)先根据平移的性质得AF=DH，AF//DH，由(2)得AF⊥AE，AF=AE，所以AE⊥DH，AE=DH．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平移的性质，旋转的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
19.【答案】解：
(1)(−3,4)；
(2)(3,−4)， (1,0)；
(3) 8 ;
(4)(0,−3)或(0,1)
【解析】解：(1)根据图示知，点B的坐标为(−3,4)；
故答案为：(−3,4)；
(2)由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B(−3,4)关于原点对称点D的坐标为(3,−4)，
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A(−1,0)关于y轴对称点C的坐标为(1,0)，
故答案为：(3,−4)，(1,0)；
(3)如图
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×2×4+12×2×4=8，
故答案为：8；
(4)如图，
设F(0,m)，由(3)可知，
因为S△ABC=12S四边形ABCD=12×8=4=S△ADF，
所以S△ADF=12×|−1−m|×1+12×|−1−m|×3=4，
所以|−1−m|=2，
所以−1−m=±2，
所以m=−3或m=1
所以点F(0,−3)或(0,1)，
故答案为：(0,−3)或(0,1)．
(1)根据坐标的意义即可得出点B的坐标；
(2)根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点B关于原点对称的点D的坐标，同理根据关于y轴对称的两个点坐标之间的关系得出点A关于y轴对称的点C的坐标；
(3)S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，根据坐标可求出三角形ABC的面积和三角形ACD的面积；
(4)设F(0,m)，依据题意S△ABC=12S四边形ABCD=12×8=4=S△ADF，即可求出m，最后得出点F的坐标..
本题考查点的坐标，关于x轴、y轴、原点对称的点坐标的关系，以及利用坐标求相应图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)由题可得a=1，b=2，c=k−4，
∴Δ=b2−4ac=22−4×1×(k−4)=20−4k，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0．
∴20−4k>0，
解得k<5；
(2)当k=1时，原方程化为x2+2x−3=0，
∴(x−1)(x+3)=0，
∴ x−1=0或x+3=0，
解得x1=1，x2=−3．
【解析】(1)根据根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
(2)当k=1时，原方程化为x2+2x−3=0，用因式分解的方法解一元二次方程即可求出方程的解．
本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根．
21.【答案】(1)证明：∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∵BP=BA，
∴∠BPA=∠BAP，
∵∠CPO=∠BPA，
∴∠CPO=∠BAP，
∵OP⊥OC，
∴∠COP=90°，
∴∠C+∠CPO=90°，
∴∠CAO+∠BAP=90°，
即∠BAO=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
(2)解：∵∠COP=90°，OC=4，PC=2 5，
∴OP= PC2−OC2= (2 5)2−42=2，
设BA=BP=x，
∵∠BAO=90°，
∴AB2+AO2=OB2，
∵OB=OP+PB，
∴x2+42=(2+x)2，
∴x=3，
∴线段AB的长为3．
【解析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质得到∠C=∠OAC，∠BPA=∠BAP，求得∠CPO=∠BAP，推出∠BAO=90°，根据切线判定定理得到AB是⊙O的切线；
(2)根据勾股定理得到OP= PC2−OC2= (2 5)2−42=2，设BA=BP=x，根据勾股定理即可得到结论．
22.【答案】(60−5x) (x+4)
【解析】解：(1)每天的销售量为(60−5x)瓶，每瓶的利润为：20+x−16=(x+4)(元)，
故答案为：(60−5x)，(x+4)；
(2)根据题意，得：(x+4)(60−5x)=300，
解得：x1=2，x2=6，
答：x的值为2或6；
(3)每天的销售利润销不能达到400元，理由如下：
根据题意，得：(x+4)(60−5x)=400，
整理得：x2−8x+32=0，
∵Δ=(−8)2−4×1×32<0，
∴此方程没有实数解，
∴每天的销售利润销不能达到400元．
(1)由题意即可得出结论；
(2)由日销售利润销达到300元，列出一元二次方程，解方程即可；
(3)由日销售利润销达到400元，列出一元二次方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】3 S=t2+2 4
【解析】解：(1)①当t=1时，CP=1，
又∵∠C=90°，CD= 2，
∴S=DP2=CP2+CD2=12+( 2)2=3．
故答案为：3；
②当点P由点C运动到点B时，CP=t，
∵∠C=90°，CD= 2，
∴S=DP2=CP2+CD2=t2+( 2)2=t2+2．
故答案为：S=t2+2；
(2)由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2=BD2=6，当点P运动到点A处时，PD2=AD2=18，
抛物线的顶点坐标为(4,2)，
∴BC= BD2−CD2= 6−2=2，AD= 18=3 2，
∴M(2,6)，
设S=a(t−4)2+2，将M(2,6)代入，得4a+2=6，
解得：a=1，
∴S=(t−4)2+2=t2−8t+18，
∴AC=AD+CD=3 2+ 2=4 2，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= (4 2)2+22=6，
CB+AC=2+6=8，
∴抛物线的解析式为S=t2−8t+18(2≤t≤8)；
(3)①如图，则∠AHD=90°=∠C，
∵∠DAH=∠BAC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB=AHAC，即DH2=3 26=AH4 2，
∴DH= 2，AH=4，
∴BH=2，DH=CD，
∵存在3个时刻t1，t2，t3(t1∴DP1=DP2=DP3，
∴CP1=t1，P2H=4−t2，
在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，
CD=HDDP1=DP2，
∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2(HL)，
∴CP1=HP2，
∴t1=4−t2，
∴t1+t2=4．
故答案为：4；
②∵DP3=DP1，DH=DC，∠DHP3=∠C=90°，
∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1(HL)，
∴P3H=CP1，
∵P3H=t3−4，
∴t3−4=t1，
∵t3=4t1，
∴t1=43，
∴S=(43)2+2=349．
(1)①当t=1时，CP=1，运用勾股定理即可求得答案；
②由题意得CP=t，运用勾股定理可得S=DP2=CP2+CD2=t2+( 2)2=t2+2；
(2)观察图象可得当点P运动到点B处时，PD2=BD2=6，当点P运动到点A处时，PD2=AD2=18，抛物线的顶点坐标为(4,2)，由勾股定理可得BC= BD2−CD2=2，AD=3 2，即M(2,6)，设S=a(t−4)2+2，将M(2,6)代入，即可求得S=t2−8t+18，再利用勾股定理即可求得线段AB的长；
(3)①过点D作DH⊥AB于点H，可证得△ADH∽△ABC，得出DHBC=ADAB=AHAC，可求得DH= 2，AH=4，根据存在3个时刻t1，t2，t3(t1②证明Rt△DHP3≌Rt△DCP1(HL)，得出P3H=CP1，建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．