2023-2024学年江西省赣州市赣县区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市赣县区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
4．如图，△AOB中，∠AOB＝90°．现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°得到△A′OB′，则∠A′OB的度数为（ ）
A．44°B．66°C．56°D．46°
5．
如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．4πD．
6．坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若 AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、填空题（本大题共6小题））
7．已知⊙O的半径为3，若点P在圆上，则OP 3（填“＞”、“＜”、“＝”）．
8．若一元二次方程﹣x2+2x+4＝0，则x1+x2的值是 ．
9．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是 ．
10．将抛物线y＝x2﹣2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
11．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A'BC'D'，若AD＝1，AB＝2，则DD'的长为 ．
12．如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线y＝上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
三、（本大题共6小题）
13．解方程：x2+4x＝5．
14．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点C（0，﹣3），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．求二次函数的解析式并写出它的顶点坐标．
16．如图，Rt△ABC内接于⊙O，点P是BC弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出Rt△ABC中BC边上的中线；
（2）在图2中，画出Rt△ABC中AC边上的中线．
17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．若该方程的一个根为1，求a的值及另一个根．
18．班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下．
（1）第一个摘下D灯笼的概率是 ；
（2）求第二个摘下A灯笼的概率．
四、（本大题共3小题）
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若m＝﹣1时，求的值．
20．四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝3，求△AEF的面积．
21．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
五、（本大题共2小题）
22．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
23．如图1，△ACB是等边三角形，点D、E分别在CA、CB上，且CD＝CE．当△DCE绕点C旋转至△D1CE1处，使点A、D1、E1在同一直线上（如图2），连接BE1．
（1）∠AE1B的度数为 ；
（2）线段AD1、BE1之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断线段CM、AE、BE之间的数量关系．并说明理由．
六、（本大题共1小题）
24．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0），其中a为常数，且a≠0，将抛物线C1关于原点对称的抛物线记为C2．
（1）抛物线C1顶点坐标为 ，抛物线C2的解析式为 （x≥0）；
（2）①求抛物线C1与x轴的交点坐标；
②当图象C1的最低点到x轴距离为3时，求a的值；
（3）抛物线C1、抛物线C2合起来得到的图象记为M，当a＝1时，若点（m，5）在图象M上，求m的值．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题.）
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
解：∵∠BOC和∠A都对，
∴∠BOC＝2∠A＝2×50°＝100°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．如图，△AOB中，∠AOB＝90°．现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°得到△A′OB′，则∠A′OB的度数为（ ）
A．44°B．66°C．56°D．46°
【分析】由旋转的性质可得∠AOA'＝44°，再由∠AOB＝90°即可求解．
解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A′OB′，
∴∠AOA'＝44°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A'OB＝46°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
5．
如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．4πD．
【分析】利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC即可求解．
解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝﹣
＝
＝
＝（m2），
故选：D．
【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
6．坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若 AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】由AB，BC，CD的长度及抛物线的对称性可得点C与点P，点Q与点C的横坐标之差，进而求解．
解：∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝15，
∴xC﹣xP＝，
∵BC＝5，CD＝6，
∴BD＝BC+CD＝11，
∴xQ﹣xB＝，
∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）＝+﹣5＝8，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解．
二、填空题（本大题共6小题））
7．已知⊙O的半径为3，若点P在圆上，则OP ＝ 3（填“＞”、“＜”、“＝”）．
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
解：∵点P在圆上，⊙O的半径为3，
∴OP＝3．
故答案为：＝．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
8．若一元二次方程﹣x2+2x+4＝0，则x1+x2的值是 2 ．
【分析】根据根与系数的关系直接得到答案．
解：在一元二次方程﹣x2+2x+4＝0中，a＝﹣1，b＝2，则：
x1+x2＝﹣＝﹣＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
9．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是 ．
【分析】用物理变化的张数除以总张数即可．
解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10．将抛物线y＝x2﹣2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是 y＝（x﹣1）2+1 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2﹣2向右平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣1）2﹣2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+1，
故答案为y＝（x﹣1）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
11．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A'BC'D'，若AD＝1，AB＝2，则DD'的长为 ．
【分析】首先根据旋转的性质得到∠DBD′＝90°，DB＝D′B，得到△DBD′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BD的长，进而可得结论．
解：∵矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A′BC′D′，
∴∠DBD′＝90°，DB＝D′B，
∴△DBD′是等腰直角三角形，
∵AB＝2，AD＝1，
∴BD＝＝＝，
∴DD′＝BD＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，解答本题的关键是根据题意得到△DBD′是等腰直角三角形．
12．如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线y＝上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 （3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1） ．
【分析】设点P（x，y），由题意可得：点P到x轴的距离为1，即|y|＝1，代入解析式可求点P坐标．
解：设点P（x，y）
∵⊙P与x轴相切
∴|y|＝1
∴y＝±1
当y＝1时，1＝x2﹣x﹣
解得：x1＝3，x2＝﹣1
∴点P（3，1），（﹣1，1）
当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣x﹣
解得：x＝1
∴点P（1，﹣1）
故答案为：（3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1）
【点评】本题考查了切线的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用分类思想解决问题是解决问题的关键．
三、（本大题共6小题）
13．解方程：x2+4x＝5．
【分析】首先把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后进行开方即可．
解：∵x2+4x＝5，
∴x2+4x+4＝5+4，
∴x2+4x+4＝9，
∴（x+2）2＝9，
∴x+2＝±3，
∴x1＝1，x2＝﹣5．
【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程的知识，
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
14．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC．求证：AC＝BD．
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出＝，求出＝，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可．
【解答】证明：∵AB＝DC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过点C（0，﹣3），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．求二次函数的解析式并写出它的顶点坐标．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可．
解：把C（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c中得：c＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
16．如图，Rt△ABC内接于⊙O，点P是BC弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出Rt△ABC中BC边上的中线；
（2）在图2中，画出Rt△ABC中AC边上的中线．
【分析】（1）如图：连接OP交BC与D，连接AD即可；
（2）如图：过O作OD∥BC交AC与D，连接BD即可．
解：（1）如图：线段AD即为所求；
（2）如图：线段BD即为所求．
【点评】本题主要考查了垂径定理、平行线等分线段定理、三角形的中线等知识点，灵活运用垂径定理、平行线等分线段定理是解答本题的关键．
17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．若该方程的一个根为1，求a的值及另一个根．
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解方程求得a的值；然后利用根与系数的关系求得另一根．
解：把x＝1代入x2+ax+a﹣3＝0，得12+a+a﹣3＝0．
解得a＝1．
设该方程的另一根为x2，则1•x2＝﹣3．
故x2＝﹣3．
综上所述，a的值为1，另一个根是﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．
18．班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼A、B、C、D．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘A之前需先摘下B，摘C之前需先摘下D，直到4个灯笼都被摘下．
（1）第一个摘下D灯笼的概率是 ；
（2）求第二个摘下A灯笼的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下A灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵第一次摘只能先从B和D中选择任意一个，
∴第一个摘下D灯笼的概率是；
故答案为：；
（2）由题意，画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中第二个摘下A灯笼的结果只有1种，
∴第二个摘下A灯笼的概率为．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键，用到的知识点为：概率＝．
四、（本大题共3小题）
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若m＝﹣1时，求的值．
【分析】（1）先用m的式子表示根的判别式，再根据方程有实数根知△≥0，列出不等式求解即可得m的取值范围；
（2）把m＝﹣1代入方程，再根据根与系数的关系求得两根的和与积，再把变形，代入求解即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0有实数根，
则Δ＝b2﹣4ac≥0，
即[﹣2（1﹣m）]2﹣4×1×m2≥0，
∴，
∴m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，x2﹣4x+1＝0，
设x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝1，
∴，
∴＝．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
20．四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝3，求△AEF的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由图形直接可得；
（3）先利用勾股定理可计算出AE＝，再根据旋转的性质得到AE＝AF，∠EAF＝90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS）
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转 90度得到．
故答案为：A，90
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝8
又∵DE＝3，
∴AE＝＝
由旋转性质得：
∴AE＝AF＝，∠EAF＝90°
∴△AEF的面积＝AE2＝
【点评】本题考查了旋转的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．
21．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每件商品降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）元，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价20元．
解：（1）根据题意得：20+6×2＝32（件），
答：平均每天销售数量为32件；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）元，依题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又要让顾客得到更大实惠，
∴x＝20．
答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、（本大题共2小题）
22．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．
解：（1）证明：如图，连接OE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵DF＝FE，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠FED+∠OEC＝90°，
即∠FEO＝90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，
∴FE＝2BD＝2（r﹣1），
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2＝OF2，
∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，
解得r＝3，或r＝1（舍去），
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
23．如图1，△ACB是等边三角形，点D、E分别在CA、CB上，且CD＝CE．当△DCE绕点C旋转至△D1CE1处，使点A、D1、E1在同一直线上（如图2），连接BE1．
（1）∠AE1B的度数为 60° ；
（2）线段AD1、BE1之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断线段CM、AE、BE之间的数量关系．并说明理由．
【分析】（1）证明△ACD1≌△BCE1（SAS），推出∠AD1C＝∠CE1C＝120°，进一步可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得AD1＝BE1，
（3）结论；AE＝BE+2CM．由“SAS”可证△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，由等腰三角形的性质可得DE＝2CM，由线段的数量关系可得结论．
解：（1）如图2中，∵△ACB，△D1CE1都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠D1CE1＝∠CD1E1＝∠CE1D1＝60°，
∴∠ACD1＝∠BCE1，∠AD1C＝120°，
∵CA＝CB，CD1＝CE1，
∴△ACD1≌△BCE1（SAS），
∴∠AD1C＝∠CE1C＝120°，
∴∠AE1B＝∠BE1C﹣∠CE1D1＝60°，
（2）∵△ACD1≌△BCE1，
∴AD1＝BE1；
（3）结论；AE＝BE+2CM；
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM为△DCE的中线，
∴DE＝2CM，
由图可得：AE＝AD+DE＝BE+2CM；
即AE＝BE+2CM．
【点评】本题考查了三角形综合，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，理解题意，综合运用各个知识点是解题关键．
六、（本大题共1小题）
24．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0），其中a为常数，且a≠0，将抛物线C1关于原点对称的抛物线记为C2．
（1）抛物线C1顶点坐标为 （1，﹣5a） ，抛物线C2的解析式为 y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x≤0） （x≥0）；
（2）①求抛物线C1与x轴的交点坐标；
②当图象C1的最低点到x轴距离为3时，求a的值；
（3）抛物线C1、抛物线C2合起来得到的图象记为M，当a＝1时，若点（m，5）在图象M上，求m的值．
【分析】（1）先求出抛物线C1的顶点坐标，再利用抛物线C1关于原点对称的抛物线记为C2得出抛物线C2的顶点坐标，即可求得抛物线C2的解析式；
（2）①令y＝0得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案；②由题意可得，抛物线的开口向上，且顶点坐标的绝对值为3，解方程即可得到a的值；
（3）把a＝1分别代入得到抛物线C1、抛物线C2的解析式，把点（m，5）分别代入即可求得m的值．
解：（1）抛物线＝a（x﹣1）2﹣5a，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，﹣5a）；
∵抛物线C1关于原点对称的抛物线记为C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（﹣1，5a），且开口方向与抛物线C1相反，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣a（x+1）2+5a＝﹣ax2﹣2ax+4a（x≤0），
故答案为：（1，﹣5a），y＝﹣ax2﹣2ax+4a；
（2）①当ax2﹣2ax﹣4a＝0时，
∵a≠0，
∴x2﹣2x﹣4＝0，
解得：，，
∵x≥0，
∴抛物线C1与x轴的交点坐标为：，
②由题意得y＝ax2﹣2ax﹣4a＝a（x﹣1）2﹣5a，
∵图象C1的最低点到x轴距离为3，
∴抛物线开口向上，则a＞0，且|﹣5a|＝3，
∴5a＝3，
∴；
（3）把a＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0），
得：y＝x2﹣2x﹣4，
把a＝1代入y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x≤0），
得：y＝﹣x2﹣2x+4，
若点（m，5）在图象C1上，
即m≥0时，m2﹣2m﹣4＝5，
解得：（舍去），
若点（m，5）在图象C2上，
即m≤0时，﹣m2﹣2m+4＝5，
解得：m1＝m2＝﹣1，
综上所述，m的值为或﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并会综合应用是解决问题的关键．