2023-2024学年江西省赣州市南康区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市南康区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2.下列成语所描述的事件属于必然事件的是( )
A. 拔苗助长B. 瓜熟蒂落C. 竹篮打水D. 百步穿杨
3.若关于x的方程(m−3)x|m−1|+8x+2m=0是一元二次方程，则m的值是( )
A. 3B. −1C. 3或−1D. ±3
4.如图，直线l1//l2//l3，直线a、b与l1，l2，l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC=1：2，DE=4，则EF的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
5.如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在双曲线y=kx的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为3，则k的值是( )
A. 3
B. 6
C. 12
D. 18
6.如图，二次函数y=−x2+2x+m+1的图象交x轴于点A(a,0)和B(b,0)，交y轴于点C，图象的顶点为D.下列四个结论中：①当x>0时，y>0；②若a=−1，则b=3；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m=2时，△MCE周长的最小值为2 10+2；④图象上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<12，则y1>y2，其中正确的是( )
A. ①②③④B. ②④C. ③④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若x=1是关于x的方程x2+bx−6=0的解，则b= ______．
8.二次函数y=(k−2)x2的图象如图所示，则k的取值范围为______．
9.如图，在⊙O中，∠OBC=61°，OB⊥AC于D，则∠AOB= ______度.
10.小明有四张纸牌，正面分别写着−2，−1，0，1，背面都写着m，那么在摸牌游戏中，小明能使方程x2+x+m=0有实数根的概率为______．
11.如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点B顺时针旋转36°得到线段BE，连接AE，则∠DAE的度数为______．
12.如图，已知△ABC和△BDE为等腰直角三角形，且∠ACB=∠EDB=90°，BC=2，BD=3 2，将△BDE绕点B顺时针旋转180°，连接AE，在旋转过程中，当点D落在Rt△ABC的一边所在直线上时，AE的长为______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题3分)
解方程：3x2+6x=0．
14.(本小题3分)
如图，△ABC∽△CBD，若AB=6，BD=9，求BC的长．
15.(本小题6分)
已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，B(3,0)．
(1)求b，c的值；
(2)用配方法求抛物线的顶点坐标．
16.(本小题6分)
第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其中杭州主赛区设有四个竞赛场馆，分别为：A.杭州“大莲花”体育场、B.杭州奥体中心体育馆、C.杭州奥体中心游泳馆、D.杭州奥体中心同球中心.小云和小月都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
(1)小云被分配到B.杭州奥体中心体育馆做志愿者的概率为______；
(2)利用画树状图或列表的方法，求小云和小月被分配到同一场馆做志愿者的概率．
17.(本小题6分)
如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图(1)中作∠BAC的角平分线；
(2)连接BD，在图(2)中作∠ABD的角平分线．
18.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x−3与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点A(2,n)，在第三象限交于点B，过点B作BC⊥x轴于C，连接AC．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求△ABC的面积．
19.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−(k+2)x+k=0．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若Rt△ABC斜边长a=3，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
20.(本小题8分)
2023年9月，第19届亚洲夏季运动会在杭州举办，亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”.杭州市某工艺厂生产了一批吉祥物的纪念品，每个成本为20元，投放市场进行试销，经过调查发现，每天销售数量y(个)与销售单价x(元/个)满足一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)请你求出y与x的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；
(2)杭州市物价部门规定，该纪念品销售单价最高不能超过75元/个.若要让该工艺厂每天获得的销售利润为6032元，那么销售单价应定为多少元？
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，过点E作EF//CB交BD于点F．
(1)求证：△ACE∽△BAC；
(2)若AC= 5，AB=5，求CE及EF的长．
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，点E是劣弧AD的中点，连接BE，DE，OE，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE交BA的延长线交于点G．
(1)证明：GF是⊙O的切线；
(2)若EF=2 3，BD=4，求⊙O的半径；
(3)在(2)的基础上，求图中阴影部分的面积．
23.(本小题9分)
一名身高为1.8m的篮球运动员甲在距篮筐(点B)水平距离4m处跳起投篮篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m处(点A)出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图7所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运动路线(抛物线)的函数解析式；
(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
(3)已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？
24.(本小题12分)
从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将线段BC绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°)，得到线段DC，取AD中点H，直线CH与直线BD交于点E，连接AE．

【感知特殊】
(1)如图1，当α=30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程；
【探究一般】
(2)①如图2，当0°<α<90°时，试探究线段EA，EC，EB之间的数量关系并证明；
②当90°<α<180°时，直接写出线段EA，EC，EB之间的数量关系．
【应用迁移】
(3)已知AC= 5，在线段DC的旋转过程中，当AE=3时，求线段EC的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】
解：A.沿对称中心旋转180度后能与原图重合，是中心对称图形，故A符合题意；
B.沿中心旋转180度后不能与原图重合，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.沿中心旋转180度后不能与原图重合，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.沿中心旋转180度后不能与原图重合，不是中心对称图形，故D不符合题意．
2.【答案】B
【解析】解：A、拔苗助长是不可能事件，故本选项不符合题意；
B、瓜熟蒂落是必然事件，故本选项符合题意
C、竹篮打水是不可能事件，故本选项不符合题意；
D、百步穿杨是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】B
【解析】解：若关于x的方程(m−3)x|m−1|+8x+2m=0是一元二次方程，
则|m−1|=2且m−3≠0，
解得m=−1，
故选：B．
只含有一个未知数，并且未知数的次数是2的整式方程叫做一元二次方程，由此解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，根据题意得出|m−1|=2且m−3≠0是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴DEEF=ABBC=12，
∴EF=2DE=2×4=8．
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，连接AO、CO，
∵⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，
∴BC/​/y轴，
∴S△BOC=2S△AOB=2S△ACD=2×3=6，
∵点C在双曲线y=kx的图象上，
∴k=2S△BOC=12．
故选：C．
根据反比例函数k值的几何意义，S△BOC=2S△AOB=2S△ACD=2×3=6，k=2S△BOC=12即可．
本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：①当a0.故①错误．
②a−2a=2−2×(−1)=1，
∴当a=−1时，b=3，故②正确．
③当m=2时，C(0,3)，E(2,3).E′与E关于x轴对称，
∴E′(2,−3)，
∴CE′=2 10，
∴△MCE的周长的最小值为2 10+2，故③错误．
④设x1关于对称轴的对称点x1′，
∴x1′=2−x1，
∵x1+x2>2，
∴x2>−x1+2，
∴x2>x1′，
∵x1<1∴x1<1∵函数图象在x>1时，y随x增大而减小，
∴y2∴④正确．
故选：B．
①错误．由图象可知当a0；
②正确．当a=−1时，b=3；
③错误．△MCE的周长的最小值为2 10+2；
④正确．设x1关于对称轴的对称点x1′，由题意推出x1<11时，y随x增大而减小，所以y2本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．
7.【答案】5
【解析】解：把x=1代入关于x的方程x2+bx−6=0得：
1+b−6=0，
b=5，
故答案为：5．
根据方程解的定义，把x=1代入原方程，得到含有关于b的一元二次方程，进行解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．
8.【答案】k>2
【解析】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k−2>0，
解得k>2．
故答案为：k>2．
由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k−2>0，据此易求k的取值范围．
本题考查了二次函数的图象．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
9.【答案】58
【解析】解：∵OB⊥AC于D，
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB=90°−∠OBC=90°−61°=29°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×29°=58°．
故答案为：58．
先利用垂直的定义得到∠BDC=90°，再利用互余计算出∠ACB=29°，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10.【答案】23
【解析】要使x2+x+m=0有实数根，
则Δ=12−4×1×m≥0，
解得m≤14，
在−1，0，2中符合要求的有2种结果，
所以在摸牌游戏中使x2+x+m=0有实数根的概率为23，
故答案为：23．
先根据根的判别式求出m值的可能结果，继而根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式与根的判别式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
11.【答案】18°
【解析】解：由正方形的性质得出∠BAD=90°，
将边AB绕点B顺时针旋转36°得到线段BE，
∴∠ABE=36°，AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴∠BAE=12(180°−∠ABE)=72°；
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90°−70°=18°．
故答案为：18°．
由正方形的性质得出∠BAD=90°，由旋转的性质得∠ABE=36°，AB=BE，∠BAE=∠BEA，从而得出∠BAE=12(180°−∠ABE)=72°；从而得出∠DAE的度数．
本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解答本题的关键．
12.【答案】6−2 2或2 5或2 7
【解析】解：①当点D在直线BC上时，如图，
∵△ABC和△BDE为等腰直角三角形，
∴点E在直线BA上，
∵∠ACB=∠EDB=90°，BC=2，BD=3 2，
∴AB=2 2，BE= 2BD=6，
∴AE=6−2 2；
②当点D在直线CA上时，如图，
∵△ABC和△BDE为等腰直角三角形，
∴AB= 2BC=2 2，BE= 2BD=6，∠ABC=∠EBD=45°，
∴ABBC=BEBD= 2，∠CBD=∠ABE，
∴△CBD∽△ABE，
∴∠BCD=∠BAE=90°，
∴AE= BE2−AB2= 62−(2 2)2=2 7；
③当点D在直线BA上时，如图，
∵△ABC和△BDE为等腰直角三角形，
∴AB= 2BC=2 2，BE= 2BD=6，∠ABC=∠EBD=45°，
∴AD=BD−AB=3 2−2 2= 2，
∴AE= AD2+DE2= 2+18=2 5．
综上，AE的长为6−2 2或2 5或2 7．
故答案为：6−2 2或2 5或2 7．
利用分类讨论的思想方法，依据等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质分三种情形解答即可．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
13.【答案】解：3x2+6x=0，
∴3x(x+2)=0，
∴x1=0，x2=−2．
【解析】利用因式分解法求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
14.【答案】解：∵△ABC∽△CBD，
∴ABCB=CBBD，
∴6BC=BC9
∴BC=3 6(负值已舍)．
【解析】根据相似三角形的性质得出比例式代入数据求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】解：(1)把点A(1,0)，B(−3,0)代入y=−x2+bx+c，
得−1+b+c=0−9−3b+c=0，
解得b=−2c=3；
(2)由(1)知，b=−2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,4)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出二次函数解析式，
(2)利用抛物线的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标．
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是正确求出二次函数的解析式．
16.【答案】14
【解析】解：(1)小云被分配到B.杭州奥体中心体育馆做志愿者的概率为14；
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小云和小月被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小云和小月被分配到同一场馆做志愿者的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小云和小月被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：(1)如图(1)，AD为所作；
(2)如图(2)，BF为所作．

【解析】(1)如图，BC与⊙O的交点为E，连接AE，根据圆周角定理得到∠AEB=90°，然后根据等边三角形的性质得到AE平分∠BAC；
(2)延长CO交⊙O于Q点，连接DQ交AE于P点，再延长BP交AC于F点，利用DQ平分ADB，AE平分∠BAD可得BF平分∠ABD．
本题考查了作图−复杂作图：熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)∵点A(2,n)在直线y=3x−3的图象上，
∴n=3，
∴A(2,3)，
∵A(2,3)在反比例函数图象上，
∴k=6，
∴反比例函数解析式为：y=6x；
(2)设直线y=3x−3与x轴交点为点D，令y=0，则x=1，
∴D(1,0)，

联立方程组：
y=3x−3y=6x，解得x=2y=3，x=−1y=−6，
∴B(−1,−6)，C(−1,0)，CD=2，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×2×3+12×2×6=9．
【解析】(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)先求出直线与x轴的交点坐标，再联立方程组求出点B的坐标，根据S△ABC=S△ACD+S△BCD套入数据计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
19.【答案】(1)证明：Δ=[−(k+2)]2−4k=k2+4>0，
则k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵Rt△ABC斜边长a=3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2=b2+c2，b+c=k+2，bc=k，
则9=(b+c)2−2bc，
∴9=(k+2)2−2k，
解得：k1=−1+ 6，k1=−1− 6(舍去)，
∴b+c=2+k=1+ 6，
故△ABC的周长C=4+ 6．
【解析】(1)直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案；
(2)直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及根与系数的关系和根的判别式，正确将原式变形是解题关键．
20.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，
由题意可知，当x=30时，y=200；当x=40时，y=180；
∴30k+b=20040k+b=180，
解得：x=−2b=260，
∴y与x的函数关系式为y=−2x+260；
(2)由题意得：(x−20)(−2x+260)=6032，
整理得：x2−150x+5616=0，
解得：x1=72，x2=78(不符合题意，舍去)，
答：销售单价应定为72元．
【解析】(1)根据待定系数法求出一次函数关系式即可；
(2)根据每天销售利润为6032元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)由待定系数法求出一次函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21.【答案】(1)证明：∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°=∠ACB，
∵D是AB的中点，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠DAC，
∴△ACE∽△BAC；
(2)解：∵AC= 5，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC= 25−5=2 5，
∵△ACE∽△BAC，
∴ACAB=CEAC，即 55=CE 5，
∴CE=1，
∵D是AB的中点，
∴CD=AD=52，
∴DE=32，
∵EF/​/CB，
∴△DEF∽△DCB，
∴DEDC=EFBC，即3252=EF2 5，
∴EF=6 55．
【解析】(1)由∠ACB=90°，D是AB的中点可得AD=CD，即∠CAD=∠DAC，结合直角即可得证；
(2)先由勾股定理求出BC，然后根据△ACE∽△BAC可求出CE，再求出CD，根据EF//CB可得△DEF∽△DCB，利用对应边成比例即可解答．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
22.【答案】(1)证明：如图，
∵点E是劣弧AD的中点，
∴AE=DE，
∴∠1=∠2，
∵OB=OE，
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3，
∴OE/​/BF，
∵EF⊥BC，
∴OE⊥GF，
∵OE是⊙O的半径，
∴GF是⊙O的切线；
(2)解：过点O作OM⊥BD于M，

∴∠OEF=∠OMF=90°，BM=12BD=2，
∵EF⊥BC，
∴∠EFM=90°，
∴四边形OEFM是矩形，
∴EF=OM=2 3，
∴OB= OM2+BM2=4，
∴⊙O的半径为4；
(3)解：∵sin∠OBM=OMOB= 32，
∴∠OBM=60°，
∴∠EOG=∠OBM=60°，
∵OE=4，
∴EG=4 3，
∴图中阴影部分的面积=△OEG的面积−扇形AOE的面积=12×4×4 3−60π×42360=8 3−83π．
【解析】(1)如图，根据角平分线的定义和等边对等角证明∠1=∠3，推出OE/​/BF，再由EF⊥BC，得到OE⊥GF，即可证明GF是⊙O的切线；
(2)过点O作OM⊥BD于M，证明四边形OEFM是矩形，得到EF=OM=2 3，根据勾股定理即可得到结论；
(3)先解直角三角形得到∠EOG=∠OBH=60°，求出EG=4 3，再根据S阴影=S△OEG−S扇形AOE进行求解即可．
本题主要考查了切线的判定和性质，矩形的性质与判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(0,3.5)，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+3.5．
由题意可知，抛物线上的点B的坐标为(1.5,3.05)．
∴2.25a+3.5=3.05，
解得a=−0.2，
∴抛物线的解析式为y=−0.2x2+3.5；
(2)设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为h m．
4−1.5=2.5(m)，0.25+1.8=2.05(m)．
由题意可得点A的坐标为(−2.5,2.05+h)，
∴2.05+h=−0.2×(−2.5)2+3.5，
∴h=0.2(m)．
∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2m；
(3)由题意可得出：y=3.3，
则3.3=−0.2x2+3.5
解得：x1=1，x2=−1，
∴2.5−1=1.5(m)，1.5−1=0.5(m)
∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球．
【解析】(1)设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05=−0.2×(−2.5)2+3.5．
(3)当y=3.3m，进而代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，∠BCD=α=30°，
∴∠ACD=120°，
∵CA=CB=CD，
∴∠CAD=∠CDA=30°，
∵H是AD的中点，
∴CH垂直平分AD，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
在△BCD中，CB=CD，∠BCD=30°，
∴∠CDB=∠CBD=75°，
∴∠EDA=∠CDB−∠CDA=75°−30°=45°=∠EAD，
∴∠AED=180°−∠EDA−∠EAD=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
(2)解：①EA+EB= 2EC，理由如下：
如图2.1，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F，

∴∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠ECF−∠ECB=∠ACB−∠ECB，即∠BCF=∠ACE，
在四边形ACBE中，∠AEB=∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠EBC=360°−∠AEB−∠ACB=180°，
∵∠FBC+∠EBC=180°，
∴∠FBC=∠EAC，
在△FBC和△EAC中，
∠FBC=∠EAC
BC=AC
∠BCF=∠ACE
∴△FBC≌△EAC(ASA)，
∴BF=AE，CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF= 2EC；
∵EF=EB+BF=EB+EA，
∴EB+EA= 2EC；
②EA−EB= 2EC.理由如下：
如图2.2，过点C作CF⊥CE，交BD于点F，

由①得，△ECF是等腰直角三角形，EF= 2EC，∠CEF=∠CFE=45°，
∴∠CFD=∠CEB=135°，
∵CB=CD，
∴∠CBE=CDF，
在△CBE和△CDF中，
∠CBE=∠CDFB
∠CEB=∠CFD
BC=DC
∴△CBE≌△CDF(AAS)，
∴EB=DF，
由(1)得EA=ED，
∴EA−EB=ED−DF=EF= 2EC；
(3)解：当0°
在Rt△ACB中，AC=BC= 5，
∴AB= 2AC= 10，
在△AEB中，AE=3，AB= 10，
∴EB= AB2−AE2= ( 10)2−32=1，
∴ 2EC=EB+EA=1+5=4，
∴EC=2 2；
Ⅱ.当90°
同理可得，EB=1，
∴ 2EC=EA−EB=5−1=2，
∴EC= 2；
综上所述，在线段DC的旋转过程中，EC=2 2或 2．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得CH垂直平分AD，∠EDA=45°=∠EAD，从而得证；
(2)①EA+EB= 2EC，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F，利用ASA得到△FBC≌△EAC，从而得BF=AE，△ECF是等腰直角三角形，即可得证；
②EA−EB= 2EC.过点C作CF⊥CE，交BD于点F，利用AAS证得△CBE≌△CDF，得到EB=DF，由(1)得EA=ED，利用EA−EB=ED−DF=EF= 2EC，即可得证；
(3)在Rt△ACB中求得AB= 10，在△AEB中，利用勾股定理得EB=1，再利用(2)中的结论，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．销售单价x(元/个)
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