2023-2024学年江西省吉安市吉安县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省吉安市吉安县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数是负数的是( )
A. 0B. 13C. −(−3)D. 3−3
2.已知5x=6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )
A. x5=y6B. x6=y5C. xy=56D. x5=6y
3.用配方法解方程x2−6x+5=0，配方的结果是( )
A. (x−3)2=1B. (x−3)2=−1C. (x+3)2=4D. (x−3)2=4
4.如图所示几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=nx的图象的四个分支上，则实数n的值为
( )
A. −3B. −13C. 13D. 3
6.如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为( )
A. (4,2 3)B. (4,4)C. (4,2 5)D. (4,5)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.如果两个相似多边形面积之比为1：4，则它们的边长之比为______．
8.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x=4的两个根，则x12+x22= ______．
9.小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影可能是______(填序号)．
10.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，逐年扩建劳动教育基地，校园内劳动基地的面积在两年内，从300m2增加到363m2(每年的增长率一样)，设平均每年增长的百分率为x，则可列方程为______．
11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点A，B，E在x轴上，若OA=2，则点G的坐标为______．
12.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=________．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解方程：x2+8x−9=0；
(2)某糖果厂为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁(如图所示)请你为包装厂设计出它的主视图、左视图和俯视图．
14.(本小题6分)
已知一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，求此时m的值．
15.(本小题6分)
请仅用无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图①，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，请过E作出AB的平行线．
(2)如图②，在▱ABCD中，点E是CD的中点，请找出BC的中点．
16.(本小题6分)
九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．
(1)男生当选正班长的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．
17.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
(1)求证：△ADE≌△CED；
(2)求证：DE/​/AC．
18.(本小题8分)
如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙．
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；
(2)如果小亮的身高AB=1.6m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．
19.(本小题8分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天赢利600元，每件衬衫应降价多少元？
20.(本小题8分)
在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(2,−4)，B(4,−2).C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
(1)填空：C点的坐标是______，△ABC的面积是______；
(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？______．
(3)请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2,2)，反比例函数y=kx(x>0,k≠0)的图象经过线段BC的中点D．
(1)求k的值；
(2)若点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．
22.(本小题9分)
反比例函数y=kx的图象经过点A(−2,−3)，B是图象上在第一象限内的一个动点，
(1)求反比例函数解析式；
(2)直接写出当OA=OB时B点的坐标；
(3)已知点C(4,−2)，当B点移动到何处时，四边形OACB为平行四边形？
23.(本小题12分)
已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点(其中EP(1)如图1，若点F在CD边上(不与D重合)，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．
①求证：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2)拓展：如图2，若点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为(1)中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.0既不是正数也不是负数，不符合题意；
B. 13是正数，不符合题意；
C.−(−3)=3是正数，不符合题意；
D. 3−3=−33，是负数，符合题意；
故选：D．
根据负数的定义进行判断即可．
本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．根据两內项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．
【解答】
解：A.由x5=y6得，6x=5y，故本选项错误；
B.由x6=y5得，5x=6y，故本选项正确；
C.由xy=56得，6x=5y，故本选项错误；
D.由x5=6y得，xy=30，故本选项错误．
故选B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的解法：配方法，解答时要先进行移项，再将二次项系数化为1，然后两边同时加上一次系数一半的平方，最后利用完全平方公式进行配方即可．
【解答】
解：x2−6x+5=0，
x2−6x=−5，
x2−6x+9=−5+9，
(x−3)2=4，
故选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
【解答】
解：如图所示：几何体的俯视图是：．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接正方形的对角线，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO，∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°，
∴∠CAO=90°−∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD(AAS)，
∴S△AOC=S△OBD=32=|n|2，
∵点A在第二象限，
∴n=−3，
故选：A．
本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，
当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，
∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，
∵AB=4，EC=ED=12AB=12×4=2，
∴BE= BC2+CE2= 42+22=2 5，
∴M(4,2 5)，
故选：C．
根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．
本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系．
7.【答案】1：2
【解析】解：两个相似多边形面积之比为1：4，则它们的边长之比为1：2．
故答案为：1：2．
相似多边形面积的比等于相似比的平方，由此即可得到答案．
本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方．
8.【答案】12
【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2−2x−4=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=−4，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=4+8=12．
故答案为：12．
由根与系数的关系可求得x1+x2与x1x2的值，代入x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2求值即可．
本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于−ba、两根之积等于ca是解题的关键．
9.【答案】②③④
【解析】解：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，
即相对的边平行或重合，
故①不可能，即不会是梯形．
故答案为：②③④．
在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
10.【答案】300(1+x)2=363
【解析】解：设平均每年增长的百分率为x；
第一年劳动基地的面积为：300(1+x)；
第二年劳动基地的面积为：300(1+x)(1+x)=300(1+x)2；
依题意，可列方程：300(1+x)2=363；
故答案为：300(1+x)2=363．
根据增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，由两年内，从300m2增加到363m2，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
11.【答案】(4,4)
【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△OAD∽△OBG，
∵相似比为1：2，OA=2，
∴OAOB=12，
∴OB=4，
∴AB=BC=2，
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△OBC∽△OEF，BCEF=12，
∴OBOE=BCEF=12，
∴OBOB+BE=12，
解得：BE=4，
∴点G的坐标为(4,4)．
故答案为：(4,4)．
根据位似变换的性质得到△OAD∽△OBG，且OAOB=12，根据相似三角形的性质求出BG即可得到答案．
本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，掌握位似变换的基本性质是解题的关键．
12.【答案】1或4或2.5
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解.需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解答】
解：①当△APD∽△PBC时，ADPC=PDBC，
即25−PD=PD2，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时，ADBC=PDPC，即22=PD5−PD，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是1或4或2.5．
13.【答案】解：(1)x2+8x−9=0，
(x+9)(x−1)=0，
x+9=0或x−1=0，
解得x1=−9，x2=1；
(2)如图所示：
．
【解析】(1)方程利用因式分解法求解即可；
(2)观察不倒翁，可得主视图和左视图都是三角形下面一个半圆，俯视图为有圆心的圆形．
本题考查了解一元二次方程以及实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
14.【答案】解：由一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，得
△=b2−4ac=(−4)2−4k>0，
解得k<4；
(2)由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0，得
x2−4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，
当x=1时，把x=1代入x2+mx−1=0，得1+m−1=0，解得m=0，
当x=3时，把x=3代入x2+mx−1=0，得9+3m−1=0，解得m=−83，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，m=0或−83．
【解析】(1)根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；
(2)根据解方程，可得x2−4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
本题考查了根的判别式，利用了根的判别式，同解方程．
15.【答案】解：(1)如图①，EF即为所求；

(2)如图②，点F即为所求．
【解析】(1)根据平行四边形的性质即可过E作出AB的平行线；
(2)根据平行四边形的性质和点E是CD的中点，即可画出BC的中点．
本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，菱形的性质．
16.【答案】12
【解析】解：(1)根据题意分析可得：共4名学生，其中二男二女，故男生当选班长的概率是24=12；(4分)
(2)树状图为：
(8分)
所以，两位女生同时当选正、副班长的概率是212=16.(列表方法求解略)(10分)
根据概率的求法，找准两点：(1)符合条件的情况数目；(2)全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
17.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵AC是折痕，
∴BC=CE=AD，
AB=AE=CD，
在△ADE与△CED中，
CE=ADAE=CDDE=ED，
∴△ADE≌△CED(SSS)；
(2)∵△ADE≌△CED，
∴∠EDC=∠DEA，
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，
∴∠OAC=∠CAB，
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴2∠OAC=2∠DEA，
∴∠OAC=∠DEA，
∴DE/​/AC．
【解析】(1)根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据SSS可证△ADE≌△CED(SSS)；
(2)根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，可得∠OAC=∠CAB，根据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．
18.【答案】解：(1)如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子．
(2)过M作MN⊥DE于N，
设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，
∴DNMN=ABBC
又∵AB=1.6，BC=2.4，
DN=DE−NE=15−x
MN=EG=16
∴15−x16=1.62.4
解得：x=133，
答：旗杆的影子落在墙上的长度为133米．
【解析】(1)连接AC，过D点作AC的平行线即可；
(2)过M作MN⊥DE于N，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．
本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形．
19.【答案】解：设每件衬衫降价x元，则每件赢利(40−x)元，每天可以售出(10+x)件，
依题意，得：(40−x)(10+x)=600，
整理，得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元．
【解析】设每件衬衫降价x元，则每件赢利(40−x)元，每天可以售出(10+x)件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】(1,−1) 4 矩形
【解析】解：(1)根据题意点C坐标为(1,−1)，如图1．
S△ABC=3×3−12×3×1−12×3×1−12×2×2=4．
故答案为：(1,−1)，4
(2)如图2，
∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，
∴A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，
∴四边形AB1A1B是平行四边形，
∵AC=BC，
∴A1A=B1B，
∴平行四边形AB1A1B是矩形，
故答案为：矩形；
(3)存在．
由(1)知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8.同(1)中的方法得S△ABO=16−4−4−2=6；
当P在x轴负半轴时，S△APO=2，高为4，那么底边长为1，所以P(−1,0)；
当P在y轴负半轴时，S△APO=2，高为2，所以底边长为2，此时P(0,−2)；
而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；
故点P的坐标为(−1,0)，(0,−2)．
(1)根据题意点C在线段AB的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以C(1,−1)，利用分割法求出△ABC的面积即可；
(2)如图2，根据旋转的性质得到A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，推出四边形AB1A1B是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(3)由(1)知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8.同(1)中的方法得S△ABO=16−4−4−2=6；当P在x轴负半轴时，当P在y轴负半轴时，而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；于是得到结论．
本题考查了中心对称，三角形的面积的计算，矩形的判定，正确的画出图形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2,2)，
∴C(0,2)，
∵D是BC的中点，
∴D(1,2)，
∵反比例函数y=kx(x>0,k≠0)的图象经过点D，
∴k=2；
(2)当P在直线BC的上方时，即0如图1，∵点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动，
∴y=2x，
∴S四边形CQPR=CQ⋅PQ=x⋅(2x−2)=2−2x(0当P在直线BC的下方时，即x>1如图2，同理求出S四边形CQPR=CQ⋅PQ=x⋅(2x−2)=2−2x(x>1)，
综上S=2x−2x>12−2x0
【解析】本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答(2)问的函数解析式需要分段求，此题难度不大．
(1)首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数y=kx(x>0,k≠0)的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；
(2)分两步进行解答，①当P在直线BC的上方时，即01，如图2，依然根据S四边形CQPR=CQ⋅PG列出S关于x的解析式．
22.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx的图象经过点A(−2,−3)，
∴−3=k−2，
解得：k=6，
∴反比例函数解析式的解析式为：y=6x；
(2)∵点A(−2,−3)，
∴OA2=13，
设点B的坐标为：(x,6x)，
∵OA=OB，
∴x2+(6x)2=13，
即x4−13x2+36=0，
∴(x2−4)(x2−9)=0，
解得：x=±2或x=±3，
∵B是图象上在第一象限内的一个动点，
∴x=2或x=3，
∴点B的坐标为：(2,3)或(3,2)；
(3)∵四边形OACB为平行四边形，
∴OB/​/AC，OA//BC，OB=AC，OA=BC，
∴OB是由AC平移得到的；
∵点A(−2,−3)，
∴OB向上平移了3个单位，向右平移了2个单位，
∵点C(4,−2)，
∴点B的坐标为(6,1)，
∴当B点移动到(6,1)时，四边形OACB为平行四边形．
【解析】(1)由反比例函数y=kx的图象经过点A(−2,−3)，利用待定系数法，即可求得反比例函数解析式；
(2)由OA=OB，可设设点B的坐标为：(x,6x)，即可得方程：x2+(6x)2=13，解此方程即可求得答案；
(3)由四边形OACB为平行四边形，可得OB是由AC平移得到的，继而求得答案．
此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数上点的特征以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
23.【答案】解：(1)①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD为等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵∠PHG=∠PDFPH=PD∠GPH=∠FPD，
∴△HPG≌△DPF(ASA)，
∴PG=PF；
②结论：DG+DF= 2DP，
由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，
∴HD= 2DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴DG+DF= 2DP；
(2)不成立，数量关系式应为：DG−DF= 2DP，
如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，
∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD= 2DP，
∴∠GHP=∠FDP=180°−45°=135°，
在△HPG和△DPF中，
∵∠GPH=∠FPD∠GHP=∠FDPPH=PD
∴△HPG≌△DPF，
∴HG=DF，
∴DH=DG−HG=DG−DF，
∴DG−DF= 2DP．
【解析】(1)①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；
②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD= 2DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；
(2)过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD= 2DP，再证△HPG≌△DPF可得HG=DF，根据DH=DG−HG=DG−DF可得DG−DF= 2DP．
本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．