江西省赣州市赣县区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省赣州市赣县区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，A，B，C三点在上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，△AOB中，∠AOB=90°，现在将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A'OB'，则∠A'OB的度数为（ ）
A．44°B．66°C．56°D．46°
5．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图形相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度为（ ）

A．7B．8C．9D．10
二、填空题
7．已知的半径为3，若点P在圆上，则 3（填“＞”、“＜”、“=”）．
8．若一元二次方程，则的值是 ．
9．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是 ．
10．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
11．如图，将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，若，，则的长为 ．
12．如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
三、解答题
13．（1）解方程：．
（2）如图，A、B、C、D是上的四点，，求证：
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）．求二次函数的解析式并写出它的顶点坐标．

15．如图，内接于，点P是弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．

(1)在图1中，画出中边上的中线；
(2)在图2中，画出中边上的中线．
16．已知关于x的方程，且方程的一个根为1，求a的值及方程的另一根．
17．班级团队建设联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个灯笼、、、．晚会结束后，每次随机摘下一个灯笼，且摘之前需先摘下，摘之前需先摘下直到个灯笼都被摘下．
(1)第一个摘下灯笼的概率是________；
(2)求第二个摘下灯笼的概率．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2(1﹣m)x+m2＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣1时，求的值．
19．四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF。
（1）求证：△ADE≌△ABF
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心________点，按顺时针方向旋转________度得到；
（3）若BC=8，DE=3，求△AEF的面积
20．超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
(1)若降价元，则平均每天销售数量为多少件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
21．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若且，求的半径．
22．如图1，是等边三角形，点D、E分别在、上，且．当绕点C旋转至处，使点A、、在同一直线上（如图2），连接．
(1)的度数为______；
(2)线段、之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E三点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断线段、、之间的数量关系．并说明理由．
23．已知抛物线，其中a为常数，且，将抛物线关于原点对称的抛物线记为．
(1)抛物线顶点坐标为______，抛物线的解析式为______（）；
(2)①求抛物线与x轴的交点坐标；
②当图象的最低点到x轴距离为3时，求a的值；
(3)抛物线、抛物线合起来得到的图象记为M，当时，若点在图象M上，求m的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．C
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，根据圆周角定理可得．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
4．D
【分析】由旋转的性质可得∠AOA'=44°，即可求解．
【详解】解：∵将△AOB绕点O逆时针旋转44°，得到△A′OB′，
∴∠AOA'=44°，
∵∠AOB=90°，
∴∠A'OB=46°，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解．
【详解】解：
=
=．
故选：D．
6．B
【分析】设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，求出点P的横坐标为：，点Q的横坐标为：，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，，，
∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，
∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同，
∴点P的横坐标为：，
点Q的横坐标为：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，求出点P、Q的横坐标．
7．=
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点在圆上时，即为点与圆心的距离等于半径，据此即可作答．
【详解】解：∵点P在圆上，的半径为3，
∴．
故答案为：=．
8．2
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程有两根为、，则 ，是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
故答案为：2．
9．
【分析】根据简单的概率公式求解即可．
【详解】解：卡片中有2张是物理变化，一共有6张卡片，
∴是物理变化的概率为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查简单的概率公式计算，理解题意是解题关键．
10．
【分析】根据二次函数“左加右减、上加下减”的平移规律即可得答案．
【详解】∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式是=，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：“左加右减，上加下减”，并用规律求函数解析式．
11．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据题意得到是等腰直角三角形．首先根据旋转的性质得到，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而可得结论．
【详解】解：∵矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1）
【分析】设点P（x，y），根据相切的定义由题意可得：点P到x轴的距离为1时相切，即|y|＝1，代入解析式可求点P坐标．
【详解】解：设点P（x，y），，
∵⊙P与x轴相切
∴|y|＝1
∴y＝±1
①当y＝1时，，
解得：x1＝3，x2＝－1
∴点P（3，1），（－1，1）
②当y＝－1时，，
解得：x＝1
∴点P（1，－1）
故答案为（3，1）或（－1，1）或（1，－1）
【点睛】本题考查了切线的性质、利用函数解析式求坐标，利用分类思想解决问题是解决问题的关键．
13．（1），；（2）见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程，弧与弦之间的关系，熟练掌握一元二次方程的常用解法是解题关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先证出，从而可得，再根据弧与弦之间的关系即可得证．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
，；
（2）证明：，
，
，即，
．
14．，顶点坐标
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可；
【详解】解：把代入中得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为；
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图：连接交与D，连接即可；
（2）如图：连接交于点，作射线交于点，即为所求．
【详解】（1）解：如图：线段即为所求．
（2）解：如图：线段即为所求．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线等分线段定理、三角形的中线等知识点，灵活运用垂径定理、平行线等分线段定理是解答本题的关键．
16．，方程的另一个根为．
【分析】本题主要考查了方程的解及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程解的定义．将方程的根代入方程得到a的方程，解关于a的方程即可得出a的值，将a的值代入原方程，得到x的方程，解方程即可得出另一个根．
【详解】解：∵关于x的方程的一个根为1，
∴，
解得：，
把代入方程得：，
即，
解得：，，
∴方程的另一个根为．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，
（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：∵第一次摘只能先从和中选择任意一个，
∴第一个摘下灯笼的概率是；
故答案为：．
（2）解：由题意，画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中第二个摘下灯笼的结果只有1种，
∴第二个摘下A灯笼的概率为．
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据根的判别式和得出△≥0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=，x1•x2=，把进行变形，再代入求出答案．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0有实数根，
则△＝b2﹣4ac≥0，
即[﹣2（1﹣m）]2﹣4×1×m2≥0，
∴；
∴m的取值范围为：；
（2）当m＝﹣1时，x2﹣4x+1＝0，
设x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝1，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
19．（1）详见解析；（2）A，90； （3）36.5
【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）观察图形可得；
（3）先利用勾股定理可计算出AE= ，再根据旋转的性质得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°
∵DE=BF
∴△AFB≌△AED（SAS）
（2）观察图形可知：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转 90度得到．
故答案为：A，90.
（3）S△AEF=S梯AFCD-S△ADE-S△EFC=--=36.5
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．掌握相关知识是解题的关键.
20．(1)件；
(2)20.
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价元．
【详解】（1）根据题意得：（件），
答：平均每天销售数量为件；
（2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得：
，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客得到更大实惠，
．
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
21．(1)见解析
(2)的半径为3
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟记切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：设的半径，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
解得，或（舍去），
∴的半径为3．
22．(1)
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，理解题意，综合运用各个知识点是解题关键．
（1）证明，推出，进一步可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得，
（3）结论； ．由“”可证，得出，由等腰三角形的性质可得，由线段的数量关系可得结论．
【详解】（1）解：如图2中，∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，
∴；
（3）结论；；
理由：∵和均为等腰直角三角形，
∴，
∴
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，为中边上的高，
∴为的中线，
∴，
由图可得：；
即．
23．(1)，
(2)①；②
(3)的值为或．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并会综合应用是解决问题的关键．
（1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用抛物线关于原点对称的抛物线记为得出抛物线的顶点坐标，即可求得抛物线的解析式；
（2）①令得到关于的一元二次方程，解方程即可得到答案；②由题意可得，抛物线的开口向上，且顶点坐标的绝对值为，解方程即可得到的值；
（3）把分别代入得到抛物线、抛物线的解析式，把点分别代入即可求得的值．
【详解】（1）解：抛物线
，
∴抛物线的顶点坐标为：；
抛物线关于原点对称的抛物线记为，
抛物线的顶点坐标为，且开口方向与抛物线相反，
抛物线的解析式为：，
故答案为：，；
（2）解：①当时，
，
，
解得：，，
，
抛物线与轴的交点坐标为：，
②由题意得，
图象的最低点到轴距离为3，
抛物线开口向上，则，且，
，
；
（3）解：把代入，
得：，
把代入，
得：，
若点在图象上，
即时，，
解得：（舍去），
若点在图象上，
即时，，
解得：，
综上所述，的值为或．