北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共11页。

1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间，120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1－8题均有四个选项，等合题意的选项只有一个．
1．2024年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据北京市园林绿化局的数据信息，春节假期首日（2月10日），全市共接待游客71.1万人次．将71.1万用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
2．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．1D．－1
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点在下列某一函数图象上，且，那么这个函数可能是（ ）
A．B．C．D．
7．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则之间的距离约为（参考数据：，，结果保留整数）（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接交于．给出下面四个结论：
①；②；
③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．③
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
10．五边形的内角和等于______度．
11．若反比例函数的图象经过点，则该函数的解析式为______．
12．天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约为______米．
13．如图，已知是的直径，点C、D在上，且．则______．
14．如图，中，平分交于点．若，则______．
15．已知是反比例函数图象和正比例函数图象的交点．若，则的取值范围是______．
16．甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得______分．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
21．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？“该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”
下面有三种说法：
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．
②刘三姐的姐妹们给出的答穼是唯一正确的答案．
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．
所有正确说法的序号是______；
（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
22．在平面直角坐标系中，函数图象经过点和
（1）若，求该函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于的，结合函数图象，直接写出的取值范围．
23．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万卢提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致．据此推断；甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）：后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）．
24．如图，是的直径，弦，垂足为为上一点，过点作的切线，分别交的延长线于点．连接，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
25．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．
下表是种酶对面粉拉伸面积的影响表．
（1）根据表格中的数据，发现可以用函数刻画面粉拉伸面积和种酶添加量之间的关系，
当时，与满足______关系：
当时，与满足______关系；
（填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数”）
（2）当面粉拉伸面积不小于时，达到效果较好，结合（1）中的判断，请你求出面粉拉伸面积与种酶的添加量的函数关系式，并写出达到效果较好时的的取值范围．
26．在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点．
（1）若，求该拋物线的对称轴；
（2）已知点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由．
27．在中，为上一动点，连结．将绕点逆时针旋转得到线段，连接，取中点．
（1）如图1，点不与重合，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
（2）若，且，连接，依题意补全图2，并直接写出的值．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和点给出如下定义；若直线经过点，线段与只有一个公共点，且，则称点是弦的“关联点”．
（1）如图，点．
在点中，弦的“关联点”是______；
（2）若点，且点是弦的“关联点”，求线段的长；
（3）已知直线与轴、轴分别交于点．对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”．记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围．
2023－2024学年度第二学期初三年级数学练习1
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题2分，共16分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．； 10．540； 11．； 12．38； 13．； 14．； 15．或； 16．5
三、解答题（共68分，过程与标准答案不同，但合理，即可给分）
17．解：原式
18．解：原不等式组为
由①得，由②得，
不等式组的解集为．
19．解：原式
．即原式值为3．
20．（1）证明：点为中点，，．
四边形为平行四边形，．
又为边上的中线，
．．四边形为平行四边形．
又，平行四边形为矩形．
（2）解：为边上的中线，．
在Rt中，，．．
又点为中点，．
在Rt中，．．
21．（1）①；
（2）解：设数量多的三个群均有条狗，则数量少的群有条狗．
由题意，列方程为，
解得．则．
答：四个群里狗的条数分别为85，85，85，45．
22．（1），
函数图象经过点和．
，解得．该函数的解析式为．
（2）
23．（1）；（2）甲；（3）乙；甲
24．（1）证明：连接，为的切线，
．．
，．
在中，．
又，．．
．．
（2）解：，．
，．弦，
．
在Rt中，．
设半径，则，
在Rt中，，
，解得．
在Rt中，，，．
25．（1）一次函数；二次函数
（2）解：当时，依据表格数据，设，
代入得，解得．．
当时，依据表格数据，设，
代入和得，
解得．
综上所述，与的函数关系式为，，
达到效果较好时的的取值范围为．
26．（1）解：抛物线过，
即，
抛物线对称轴为直线；
（2）解：
理由如下：
设抛物线对称轴为直线，则抛物线上点关于对称轴的对称点为，
存在，恰好使．，即．
抛物线开口向上，在对称轴的左侧随增大而减小．
又关于对称轴的对称点为且
点都在对称轴左侧，且．
27．（1）线段与的数量关系：．
证明：倍长到，连接．
为的中点，．
绕点逆时针旋转得到线段，
．．
，．
又，．
．．
（2）的值：．
依题意补全图2如图：
28．（1）；
（2）解：如图，由题意可得，点在轴上且，
即图中和两个位置．过作轴于，
，
又在Rt中，，．
．同理可得，
．
综上所述，线段的长为或．
（3）或．项目统计量快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
中位数
甲
m
8
7
7
乙
8.5
8.5
7
n
种酶添加量
0
5
10
15
20
30
40
50
60
面粉拉伸面积
90
92.5
95
97.5
100
120
120
100
60
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
B
C
D
B
C