北京市海淀区中国人民大学附属中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

这是一份北京市海淀区中国人民大学附属中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题，共33页。试卷主要包含了若，则3x+2y的值等于，如图，在平面直角坐标系中，A，估计的值应该在等内容，欢迎下载使用。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB的长度为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．若，则3x+2y的值等于（　　）
A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13
3．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）
4．下列二次根式属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点E为▱ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　　）

A．80° B．81° C．82° D．83°
6．已知＝2﹣3a，那么a的取值范围是（　　）
A．a≠ B．a＞ C．a≥ D．a≤
7．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．5 D．
8．估计的值应该在（　　）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（　　）

A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点D在线段AC上，过点A作BC的平行线交直线BD于点E，点F是DE的中点，连接OF，若AD＝AE＝2，BC＝4，则OF的长为（　　）.

A．2 B． C．2 D．3.5
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
11．在中，若，则的度数为_______．
12．已知是二次根式，则x的取值范围是___．
13．如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 _____．

14．如图，数轴上点A表示的数为a，化简|a﹣3|﹣＝_____．

15．如图，在▱ABCD中，AC平分∠BAD，连接BD交AC于点O，∠ABD＝30°，AO＝2，则▱ABCD的周长为 _____．

16．如图，在中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____．

17．若，则的值为 _____．
18．如图，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为 _____．

19．小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．

评卷人
得分



三、解答题
20．计算：
(1)；
(2)．
21．如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形．

22．已知，如图点M为∠BAC的边上的一个定点，点N为∠BAC内部的一个定点，连接MN，在射线∠BAC的内部求作一点P，使得∠APN＝∠AMN．下面是小兵设计一种尺规作图过程．
①连接AN；
②作线段AN的垂直平分线l，交AN与点O；
③连接MO，并延长MO至P，使得PO＝MO；
则点P即为所求．
根据小兵设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接AP，PN．
∵直线l为线段AN的垂直平分线，
∴AO＝NO，
∵PO＝MO，
∴四边形AMNP为平行四边形 （ 　 　）（填推理的依据）
∴∠APN＝∠AMN（ 　 　）（填推理的依据）．

23．先化简，再求值：，其中x＝9，y＝．
24．如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．

25．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．


(1)求证：BC＝CD+ED；
(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
26．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
27．如图，直线l1∥l2，点A，B为直线l1的两点，点C，D为直线l2的两点，且满足AB⊥AC，点E为直线l1，l2之间的一点，满足∠AEC＝90°．

(1)如图1，当∠CAE＝45°，AB⊥BE时，线段AB与AC的数量关系为 　　（直接写出答案）．
(2)直线BE交线段CD于点F，且满足∠CEF＝45°；
①如图2，若∠ACE＝30°，AB＝2，求AC的长；
②如图3，若AC＝CD，用等式表示线段AB，CF，AD之间的数量关系，并证明．
28．对于平面内的两个点M，N和图形Ω，若在图形Ω上存在两个点P，Q（P和Q点可以重合），使得PM+QN＝k（k为大于0的常数），则称点M和点N为图形Ω的k系距离点．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M（m，0），N（0，n）．

(1)如图1，当m＝6，n＝8时，图形Ω为一三象限的角平分线，点M和点N为图形Ω的k系距离点，在下列数值：①10；②8；③7中，实数k可能是 （填写正确的序号）．
(2)已知正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，A（a，0），
①如图2，当a＝3，m＝﹣1时，图形Ω为正方形OABC，若点M和点N为图形Ω的10系距离点，求n的取值范围．
②如图3，当a＝m＝5，n＝3时，点D，点E分别为线段AB和BC上的动点，且满足AD+CE＝DE，图形Ω为∠DOE，点M和点N为图形Ω的k系距离点，则k的最大值为 （直接写出答案）．

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
故选∶C．
【点睛】
此题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
2．A
【解析】
【分析】
根据非负数的性质即可求出x和y的值，再代入3x+2y中求值即可．
【详解】
∵，
∴，
解得：．
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握被开方数为非负数是解题关键．
3．D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），
∴AD=BC=3+1=4，
故点D的坐标为（1+4，2），即（5，2）
故选：D．
【点睛】
此题考查了坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
4．D
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义即可判断． 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母．
【详解】
A．=4，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；
B．=2，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；
C．=，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；
D． 为最简二次根式，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查了最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义．
5．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠AEB，进而得出∠ACB，然后利用平行四边形的性质解答即可.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝180°－∠B＝180°－72°＝108°，
∵AB＝BE，
∴，
∵AE＝EC，
∴，
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACE＝108°－27°＝81°,
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、三角形的外角、等腰三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的邻角互补解答.
6．D
【解析】
【分析】
由题意利用二次根式的性质，进而去绝对值讨论即可得出x的取值范围．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
7．A
【解析】
【分析】
求出A点关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．
【详解】
解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P即为所求点；
∵点A（1，1），
∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（1，-1），
∵A′（1，-1），B（3，3），
∴A′B==2，
即PA+PB的最小值为2，
故选∶A．

【点睛】
此题考查了最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．
8．C
【解析】
【分析】
先计算二次根式，再利用“夹逼法”估算无理数的大小．
【详解】
解：，
=，
=，
∵，，
∴；
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的大小，解题的关键是先估算出值的范围．
9．C
【解析】
【分析】
过点作于点，利用勾股定理求得，然后利用即可求解．
【详解】
解：过点作于点，

∵，，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
即，解得，
故选：C
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
连接AF，结合题目条件得到AF⊥DE，根据由点O为AB的中点，得到，又易得AC=6，再在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算出AB，从而得到OF的值.
【详解】
解：连接AF，

∵AD＝AE，点F是DE的中点，
∴AF⊥DE，
又∵点O为AB的中点，
∴，
又，∠C＝90°,
∴，
∴，
∴BC=DC=4，
∴AC=AD+CD=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴,
故选择：B.
【点睛】
本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
11．50°
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对角相等即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠A=50°．
故答案为50°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
12．x≥3##3≤x
【解析】
【分析】
二次根式的被开方数是非负数，即x﹣3≥0，据此求得x的取值范围．
【详解】
解：依题意得：x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案是：x≥3.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题关键．
13．7
【解析】
【分析】
根据勾股定理先求CE的长，由∠B=45°，得出△ABE是等腰直角三角形，BE=AE=3，从而BC=BE+CE，再由平行四边形的性质得出AD=BC即可．
【详解】
∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°，
∴,
∵∠B=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,
∴BE=AE=3,
∴BC=BE+CE=7，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．1
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简绝对值即可．
【详解】
解：由数轴可得：3＜a＜4，
则|a﹣3|﹣
=a-3+
=a-3+4﹣a
=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围．
15．16
【解析】
【分析】
首先证明AB＝BC，再根据菱形和等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AO＝2，
∴ADBC，AB＝CD，AD=BC，AC=2AO=4，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴AB=BC=DC=AD
∴是菱形，
∴BD⊥AC，
∴∠ABO=∠CBO=
∵∠ABD＝30°，
∴∠ABC=60°，
∴是等边三角形，
∴AB＝AC＝4，
∴ABCD的周长＝4×AB=4×4＝16；
故答案为：16．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
16．         
【解析】
【分析】
如图，过作于，第一个空：根据为等边三角形，可得，，然后再根据，，利用等腰三角形的性质可求出，然后由即可得到答案；第二个空：根据和可确定的边边上的高等于，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得，则，代入数据计算即可得到答案．
【详解】
如图，过作于，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴
∵，
∴，
∴的边边上的高等于，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：；．


【点睛】
本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识．发现的边上的高等于的一半是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
两边同时平方得，，展开后求出，求出，从而开方求出的值．
【详解】
平方得：，
展开后，，
∴，
∴，
即，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，能分别求出，是解此题的关键．
18．
【解析】
【分析】
先利用三角形的中位线的性质求得线段，然后在，，，中分别利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵点D和点E分别是AB，AC的中点，BC＝10，
∴，
∵Rt△ABC中∠BAC＝90°，
∴，，，都是直角三角形，
∵GF＝6，EF＝4，
∴由勾股定理得， ①，
②，
③，
∴，得，
∵在中，，
∴，
解得或（不合题意，舍去）
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的中位线的性质及勾股定理的应用，此处勾股定理的灵活运算是解题的关键．
19．
【解析】
【分析】
如图，作出辅助线，每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，找出等量关系，列二元一次方程组解出a、b，再由勾股定理算出原图中的小正方形边长．
【详解】
解：如图，作辅助线，发现每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形长边直角边长为b，短边直角边长为a，由题意，得
，
解得：，
小正方形的边长为：a2 + b2，
故答案为：．

【点睛】
此题考查了用勾股定理构造图形解决问题，解题的关键是作出辅助线，找到等量关系求解．
20．(1)0
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
(1)




(2)





【点睛】
本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
21．证明过程见解析
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，由“AAS”可证△ADE≌△CBF，可得ED=FB，AE=CF，可得BE=DF，则可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AB=DC，
又∵∠1＝∠2，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝BF，
∴AE+BE＝CF+DF，
∴BE＝DF，且DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的判定和性质．
22．(1)作图见解析
(2)对角线相互平分的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等
【解析】
【分析】
（1）根据几何语言画出对应图形即可；
（2）根据证明过程补全相应知识点即可．
(1)
解：如图所示，点P即为所求．

(2)
证明：连接AP，PN．
∵直线l为线段AN的垂直平分线，
∴AO＝NO，
∵PO＝MO，
∴四边形AMNP为平行四边形 （对角线相互平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）
∴∠APN＝∠AMN（平行四边形对角相等）（填推理的依据）．

【点睛】
此题考查了尺规作图能力以及垂直平分线的性质和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
23．；
10
【解析】
【分析】
先化简二次根式，然后合并同类二次根式，再将x和y值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=，
将x＝9，y＝代入，
原式=3+2=9+1=10，
故答案为：10.
【点睛】
此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则．
24．3
【解析】
【分析】
由题易得出DE为的中位线，即．由勾股定理逆定理可判断，即可利用直角三角形斜边中线的性质求出，从而即可求出．
【详解】
∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE为的中位线，
∴．
∵AF＝5，BF＝12，AB＝13，
∴,
∴,
∴，
∴．
【点睛】
本题考查三角形中位线的性质，勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质．熟练掌握上述知识是解题关键．
25．(1)证明过程见解析
(2)6
【解析】
【分析】
（1）运用角平分线的性质和平行线的性质证AB=AE，再等量代换即可；
（2）过点F作FG⊥BC，先通过角平分线的性质和勾股定理算出GC=4， 在Rt中， AB2+AC2=BC2，设AE=AB=BG=x等量代换求出AE．
(1)
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC， AB=CD ，BC=AD=AE+ED，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
∴BC=AB+ED；
(2)
解：过点F作FG⊥BC，那么
∵BE是∠ABC的角平分线，AB⊥AC，AF=3，
∴GF =AF=3，AB=BG
又∵AC＝8，
∴FC=AC=AF=8-3=5，
在Rt中，GC===4，
由（1）知，AE=AB，设AE=AB=BG=x，
在Rt中， AB2+AC2=BC2，
即x2+82=(x+4)2，
解得：x=6，
即AE的长为6．


【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用上述知识，通过数形结合来求证求解．
26．(1)c>d
(2)md2，
∴c>d；
故答案为：>．
(2)
解：猜想：m