北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线精品课后作业题

这是一份北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线精品课后作业题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=4，BC=9，则BD的长为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
3.如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
( )
A. △ABC的三条中线的交点处B. △ABC的三边的垂直平分线的交点处
C. △ABC的三条角平分线的交点处D. △ABC的三条高所在直线的交点处
4.如图，在△ABC中，∠B=90∘，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC=4cm，AC=5cm，则点O到边AB的距离为( )
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
5.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=11，AC=5，则BE的长( )
A. 3
B. 2
C. 5
D. 4
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE与CD交于点M，AE与BF交于点N，连接CN.下列说法正确的有( )
①∠BCD=2∠CAE；
②∠CME=∠CEM；
③CN=CE；
④若AC：AB=2：3，则S△ACE：S△ABE=2：3．
A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④
7.如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF，下列说法：①CP平分∠ACF；②∠ABC+∠MPN=180°；③∠ACB=2∠APB；④∠MPN=2∠APC；⑤AC=AM+CN.其中正确的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
8.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BM，CM交于点M，下列结论：
①∠MBC=∠MCB；
②∠BMC=∠MCB+∠MBC+∠A；
③∠BMC=90°+12∠A；
④点M到AB，AC的距离相等．
其中，正确的是( )
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
9.如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是( )
A. PC=PD
B. OC、PC不一定相等
C. ∠CPO=∠DPO
D. OC=OD
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，点P为AB上一动点，若CD=2，则PD的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是 ．
12.△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，如果点O到BC边的距离为5，则点O到AB边的距离为______．
13.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，M、N分别是边AB、AC上的点，DM=DN.若△ADM和△ADN的面积分别为30和16，则△ADE的面积是______．
14.如图，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于点C，∠OAP+∠OBP=180°.则AO+BO=12cm，则OC= ______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点G(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如果AB=6，AC=10，△ABG的面积为18，求△ACG的面积．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB>BC，作AC的垂直平分线l，作∠ABC的平分线交直线l于点D连接AD，CD．
(1)用尺规画出图形(保留作图痕迹)；
(2)判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
17.(本小题8分)
已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF.求证：△ABC是等边三角形．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中∠A=60°，BE、CF是△ABC的角平分线，且BE、CF相交于点O．
(1)求∠BOC的度数；
(2)求证：BC=BF+CE．
19.(本小题8分)
如图，已知△ABC．

(1)尺规作图：作∠A的平分线，与边BC相交于点D(保留作图痕迹)；
(2)若∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．
20.(本小题8分)
如图1：在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥DB，且AB=6，AD=2．
(1)若∠CAD=∠ACB，求BC的长；
(2)如图2，若AE⊥BC交BC于E，交BD于F，且△ABE为等腰三角形，求BF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2，
故选：B．
作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
先根据角平分线的性质得到DC=DE=4，然后计算BC−CD即可．
【解答】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE=4，
∴BD=BC−CD=9−4=5．
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质有关知识，直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点．
故选C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键．
解答此题可过O作OP⊥AB，连接OB，然后根据角平分线的性质和三角形的面积可得结论．
【解答】
解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，
∴点O到△ABC三边的距离相等，
过O作OP⊥AB，连接OB，
则S△ABC=S△AOC+S△OAB+S△OBC=12OP·AC+12OP·AB+12OP·BC=12OP·(AB+BC+AC)，
又∵AC=5，BC=4，△ABC为直角三角形，∠B=90°
∴AB=3，
∴12×3×4=12·OP(3+4+5)，
解得：OP=1．
故选A．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=12(11−5)=3．
故选：A．
连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵CD是高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ACD+∠DAC=90°，∠BCD+∠DBC=90°，
而∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DAC，∠ACD=∠DBC，
∵AE是角平分线，
∴∠CAD=2∠CAE，
∴∠BCD=2∠CAE，所以①正确；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠CME=∠CAE+∠ACD，∠CEM=∠BAE+∠DBC，
而∠ACD=∠DBC，
∴∠CME=∠CEM，所以②正确；
∵∠CME>∠CNE，
∴∠CEM>∠CNE，
∴CN>CE，所以③错误；
∵AE是角平分线，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△ACE：S△ABE=AC：AB=2：3，所以④正确．
故选：C．
利用等角的余角相等证明∠BCD=∠DAC，∠ACD=∠DBC，再根据角平分线的定义得到∠CAD=2∠CAE，所以∠BCD=2∠CAE，从而可对①进行判断；根据角平分线的定义得到∠CAE=∠BAE，根据三角形外角性质得到∠CME=∠CAE+∠ACD，∠CEM=∠BAE+∠DBC，所以∠CME=∠CEM，则可对②进行判断；根据三角形外角性质得到∠CME>∠CNE，所以∠CEM>∠CNE，则利用大边对大角得到CN>CE，于是可对③进行判断；根据角平分线的性质得到点E到AB和AC的距离相等，则根据三角形面积公式得到S△ACE：S△ABE=AC：AB，从而可对④进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．
7.【答案】D
【解析】解：作PG⊥AC于点G，
∵∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PG，∠AMP=∠AGP=∠CGP=∠CNP=90°，
∴PN=PG，
∴点P在∠ACF的平分线上，
∴CP平分∠ACF，
故①正确；
∵∠AMP=∠BNP=90°，
∴∠ABC+∠MPN=360°−∠AMP−∠BNP=180°，
故②正确；
∵∠PAE=12∠CAE，∠PBE=12∠ABC，
∴∠APB=∠PAE−∠PBE=12(∠CAE−∠ABC)=12∠ACB，
∴∠ACB=2∠APB，
故③正确；
在Rt△APG和Rt△APM中，
AP=APPG=PM，
∴Rt△APG≌Rt△APM(HL)，
∴∠APG=∠APM=12∠MPG，AG=AM，
同理Rt△CPG≌Rt△CPN(HL)，
∴∠CPG=∠CPN=12∠NPG，CG=CN，
∴∠APC=∠APG+∠CPG=12(∠MPG+∠NPG)=12∠MPN，
∴∠MPN=2∠APC，AC=AG+CG=AM+AN，
故④正确，⑤正确，
故选：D．
作PG⊥AC于点G，由PM⊥BE，PN⊥BF，根据角平分线的性质得PM=PN，PM=PG，则PN=PG，即可证明CP平分∠ACF，可判断①正确；因为∠AMP=∠BNP=90°，所以∠ABC+∠MPN=360°−∠AMP−∠BNP=180°，可判断②正确；由∠PAE=12∠CAE，∠PBE=12∠ABC，可证明∠APB=12∠ACB，则∠ACB=2∠APB，可判断③正确；由AP=AP，PG=PM，根据“HL”证明Rt△APG≌Rt△APM，得∠APG=∠APM=12∠MPG，AG=AM，同理Rt△CPG≌Rt△CPN，则∠CPG=∠CPN=12∠NPG，CG=CN，即可推导出∠APC=12∠MPN，AC=AG+CG=AM+AN，则∠MPN=2∠APC，可判断④正确，⑤正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出的需要的辅助线是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过点M作MD⊥BC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，
∴∠ABM=∠MBC=12∠ABC，∠ACM=∠MCB=12∠ACB，
∴∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)
=180°−(12∠ABC+12∠ACB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)
=180°−90°+12∠A，
=90°+12∠A，
∵∠A+∠ABM+∠ACM=180°−(∠MBC+∠MCB)，
∴∠BMC=∠A+∠ABM+∠ACM=∠A+∠MBC+∠MCB，
∵BM平分∠ABC，MD⊥BC，ME⊥AB，
∴MD=ME，
∵CM平分∠ACB，MD⊥BC，MF⊥AC，
∴MD=MF，
∴ME=MF，
∴点M到AB，AC的距离相等，
∵∠ABC≠∠ACB，
∴∠MBC≠∠MCB，
故②③④正确，①不正确；
故选：C．
过点M作MD⊥BC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为D，E，F，先利用角平分线的定义可得∠ABM=∠MBC=12∠ABC，∠ACM=∠MCB=12∠ACB，从而利用三角形内角和定理以及等量代换可得∠BMC=90°+12∠A，再利用三角形内角和定理可得∠A+∠ABM+∠ACM=180°−(∠MBC+∠MCB)，从而利用等量代换可得∠BMC=∠A+∠ABM+∠ACM=∠A+∠MBC+∠MCB，最后利用角平分线的性质可得MD=ME=MF，再根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠MBC≠∠MCB，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：A、∵△OPC≌△OPD，可得PC=PD，正确；
B、不对，OC、PC分别为Rt△OPC的直角边和斜边，所以一定不相等；
C、∵△OPC≌△OPD，可得∠CPO=∠DPO，正确；
D、∵△OPC≌△OPD，可得OC=OD，正确；
故选B．
利用角平分线上的一点到两边的距离相等可得△OPC≌△OPD，所以ACD都对，B不对．
本题主要考查了角平分线的性质．这种开放型的问题由已知得出结论后，要对选项逐个验证，证明，做到不重不漏．
10.【答案】B
【解析】解：由垂线段最短可知，当DP⊥AB时PD的值最小，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
即PD的最小值为2，
故选：B．
由垂线段最短可知，当DP⊥AB时PD的值最小，再根据角平分线的性质求解即可．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟记角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键．
11.【答案】15
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×10×3=15，
故答案为15．
12.【答案】5
【解析】解：∵△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，
∴点O到AB边的距离=点O到BC边的距离=5，
故答案为：5
根据角平分线的性质解答即可．
本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13.【答案】23
【解析】解：如图所示，过点D作DF⊥AB于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，
∴DE=DF，
在Rt△DFM，Rt△DEN中，
DM=DNDF=DE，
∴Rt△DFM≌Rt△DEN(HL)，
∴S△DFM=S△DEN，
在Rt△ADF，Rt△ADE中，
∠FAD=∠EAD∠AFD=∠AED=90°AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(AAS)，
∴S△AFD=S△AED=S△ADN+S△DEN=S△ADN+S△AFM，
设S△DFM=x，△ADM和△ADN的面积分别为30和16，
∴30−x=16+x，解方程得，x=7，
∴S△AFM=S△AEN=7，
∴S△ADE=S△ADN+S△AEN=16+7=23，
故答案为：23．
如图所示(见详解)，过点D作DF⊥AB于F，AD是△ABC的角平分线，DE⊥C于E，可证Rt△DFM≌Rt△DEN(HL)，同理可证Rt△ADF≌Rt△ADE(AAS)，设S△DFM=x，△ADM和△ADN的面积分别为30和16，列方程30−x=16+x即可求解．
本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
14.【答案】6cm
【解析】解：作PD⊥OB于D.如图所示：
∴∠PDO=90°．
∵P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA，
∴PC=PD.∠PCA=90°．
∴∠PCA=∠PDO．
在Rt△PCO和Rt△PDO中，
PO=POPC=PD，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO(HL)，
∴OC=OD．
∵∠OBP+∠DBP=180°，且∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠OAP=∠DBP．
在△ACP和△BDP中，
∠PCA=∠PDO∠OAP=∠DBPPC=PD，
∴△ACP≌△BDP(AAS)，
∴AC=BD．
∵AO+BO=AC+OC+BO，
∴AO+BO=BD+BO+OC，
∴AO+BO=OD+OC，
∴AO+BO=2OC，
∵AO+BO=12cm，
则OC=6cm．
故答案为：6cm．
作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质就可以得出PC=PD，根据HL可以判断△PCO≌△PDO，从而可得OC=OD，然后根据AAS就可以得出△ACP≌△BDP，从而得到AC=BD，进而得出OC．
本题考查了角平分线的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
15.【答案】解：(1)如图，AG为所作；

(2)∵AG平分∠BAC，
∴G点到AB和AC的距离相等，
∴S△ABG：S△ACG=AB：AC，即18：S△ACG=6：10，
∴S△ACG=10×186=30．
【解析】(1)利用基本作图作∠BAC的平分线即可；
(2)先根据角平分线的性质得到G点到AB和AC的距离相等，则利用三角形面积公式得到S△ABG：S△ACG=AB：AC，然后利用比例的性质可求出△ACG的面积．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
16.【答案】解：(1)如图，直线l，射线BD即为所求．
(2)结论：∠BAD+∠BCD=180°．
理由：如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AED=∠CFD=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵直线l垂直平分AC，
∴DA=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
DA=DCDE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠BAD=∠FCD，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°．
【解析】本题考查作图−复杂作图，作线段的垂直平分线和角平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)结论：∠BAD+∠BCD=180°．过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于F，证明Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，利用全等三角形的性质解决问题即可．
17.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
AD=CDDE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC．
18.【答案】(1)解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CF均为△ABC的角平分线，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=120°．
(2)证明：在BC上截取BG=BF，如图所示：

∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵在△BOF和△BOG中BF=BG∠FBO=∠GBOBO=BO，
∴△BOF≌△BOG( SAS)，
∴∠BOF=∠BOG，
∵∠BOC=120°，
∴∠BOF=∠COE=60°，
∴∠BOG=60°，
∴∠COG=120°−60°=60°，
∴∠COE=∠COG，
∵OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵在△COG和△COE中∠GCO=∠ECOCO=CO∠GOC=∠EOC，
∴△COG≌△COE( ASA)，
∴CG=CE，
∴BC=BG+CG=BF+CE．
【解析】(1)先根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，再利用角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，则∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=60°，然后根据三角形内角和得到∠BOC的度数；
(2)在BC上截取BG=BF，先证明△BOF≌△BOG( SAS)得到∠BOF=∠BOG，由于∠BOC=120°，可得∠COE=∠COG，接着证明△COG≌△COE( ASA)得到CG=CE，然后利用等线段代换得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法．也考查了角平分线的定义．
19.【答案】(1)解：如图所示，点D即为所求；

(2)证明：如图所示，在AH上取一点H使得HD=HC，连接HD，
∴∠HDC=∠C，
∴∠AHD=∠HDC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AHD=∠B，
由角平分线的定义可得∠BAD=∠HAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AHD(AAS)，
∴AB=AH，BD=DH，
∴AC=AH+CH=AB+BD．
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
(2)如图所示，在AH上取一点H使得HD=HC，连接HD，证明∠AHD=∠B=2∠C，进而证明△ABD≌△AHD得到AB=AH，BD=DH，再根据线段的和差关系即可得到结论．
本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，延长AD交BC于点H．

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠HBD．
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=∠HDB=90°．
在△BAD和△BHD中，
∠ABD=∠HBDBD=BD∠ADB=∠HDB，
∴△BAD≌△BHD(ASA)．
∴HB=AB=6，HD=AD=2．
∴AH=4．
∵∠CAD=∠ACB，
∴CH=AH=4．
∴BC=CH+HB=4+6=10．
(2)如图，作AE⊥CB，交DB于点F．

∴∠HAE+∠AHE=90°，∠FBE+∠AHE=90°
∴∠HAE=∠FBE．
∵直角△ABE为等腰直角三角形，AE⊥BC，
∴AE=BE．
在△AHE与△BFE中．
∠AEB=∠AEHBE=AE∠EBF=∠HAE，
∴△AHE≌△BFE(ASA)．
∴BF=AH=4．
【解析】(1)延长AD交BC于点H，利用ASA证明△BAD和△BHD全等，可得BH=AB=6，DH=AD=2，那么AH=4.根据∠CAD=∠ACB，可得CH=AH=4，即可求得BC的长．
(2)设AE交DB于点F，利用ASA证明BF所在的△BFE和AH所在的△AHE全等即可得到BF=AH=4．
本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用．解题关键在于根据题意判断出相应的三角形全等．应注意有角平分线常常构造两个相等的角所在的三角形全等．