北师大版数学八年级下册 1.4.2 《角平分线（2）》课件+分层练习（含答案解析）

1.4.2角平分线（2）学习目标推理论证“三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等”这一性质.0102利用三角形三边的垂直平分线的性质解决问题.性质定理角平分线判定定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.情境导入 某校园内有一块由三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭给师生小憩，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置.你能解决这个问题吗？情境导入三角形的内角平分线 做一做：分别作出△ABC的三条角平分线问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？探究新知发现：三角形的三条角平分线相交于一点.该点在三角形的内部，这点是三角形的内心你发现了什么？探究新知 过内心向三角形三边作垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？过内心作三角形三边的垂线段都相等.探究新知 拿出任意剪的一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？怎么证明结论呢？猜想：三角形三个角的平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等探究新知已知：如图 1-25，在 △ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别是 D，E，F.求证：∠ A 的平分线经过点 P， 且 PD = PE = PF.探究新知证明：∵ BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，∴ PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF.∴ 点 P 在 ∠ A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即 ∠ A 的平分线经过点 P.直角和钝角的三条角平分线也具有同样的性质探究新知归纳总结三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.几何语言：在△ABC 中，∵ BM，CN，AH分别是△ABC的三条角平分线， 且PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴BM，CN，AH相交于一点P，且PD=PE=PF.探究新知归纳总结三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征，该交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.探究新知例：如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.（1）已知CD=4 cm，求AC的长；解析：求AC的长可转化为求BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cm，求出DB的长即可。要证AB=AC+CD，转化为证明AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.探究新知探究新知例：如图 ，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90 ° ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.（2）求证：AB=AC+CD.（2）证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.∵ BE = DE = CD，∴ AB = AE + BE = AC + CD.探究新知1.如图，点P是△ABC内一点，且PD＝PE＝PF，则点P是(　　)A.△ABC三边垂直平分线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三条中线的交点B随堂练习2.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论正确的是(　　)A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定B随堂练习3.如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为(　　)A．5B．6C．7D．8B随堂练习4. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB.若EC＝1，则EF＝________.2随堂练习5.如图，CP，BP分别是△ABC的外角∠BCM，∠CBN的平分线．求证：AP平分∠BAC.证明：如图，过P作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F∵BP平分∠CBN，PD⊥AB，PF⊥BC∴PD＝PF同理：PE＝PF，∴PD＝PE∵PD⊥AB，PE⊥AC ， ∴点P落在∠CAB的平分线上即AP平分∠BAC随堂练习8.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD＝CD，BE＝CF.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)写出AB＋AC与AE之间的数量关系，并说明理由.随堂练习(2)解：AB＋AC＝2AE.理由如下：由(1)可知：△ADE≌△ADF∴AE＝AF∴AB＋AC＝(AE－BE)＋(AF＋FC) ＝AE－BE＋AE＋BE ＝2AE8.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD＝CD，BE＝CF.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)写出AB＋AC与AE之间的数量关系，并说明理由.随堂练习9.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB，AC于点E，F，且BE＝EO.(1)说明OF与CF的大小关系；(2)若BC＝12 cm，点O到AB的距离为4 cm，求△OBC的面积.解：(1)由题知，OB，OC分别平分∠ABC与∠ACB，BE＝EO，∴∠EBO＝∠EOB＝∠OBC∴EF∥BC∴∠FCO＝∠OCB＝∠FOC∴OF＝CF随堂练习9.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB，AC于点E，F，且BE＝EO.(1)说明OF与CF的大小关系；(2)若BC＝12 cm，点O到AB的距离为4 cm，求△OBC的面积.(2)∵OB是∠ABC的角平分线∴点O到AB的距离＝点O到BC的距离＝4 cm∴SΔOBC＝ ×12×4＝24(cm2) 随堂练习 本节课我们利用角平分线的性质定理和判定定理证明了三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等. 并综合运用我们前面学过的定理解决几何中的计算和证明问题.课堂小结课程结束